Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике:
Элементарное введение. Изд. стереотип.

Содержание

Из лекции 1. Что такое нелинейная динамика?

Введение

Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени.

Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели – чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И.Мандельштама ("Лекции по теории колебаний"), можно сказать, что "было бы бесплодным педантизмом стараться "точно" определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности".

Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.

Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя нелинейных функций другого класса. Геометрический образ нелинейной функции – кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным "безразличием" к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придается приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений.

Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой – линейный или нелинейный – математический аппарат, какие – линейные или нелинейные – математические модели она использует.

Физики прошлого пребывали в уверенности, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лике линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводы линейной теории. Их уверенность в этом укрепляли блестящие успехи линейной теории, и в первую очередь, ее высшее достижение – электродинамика Максвелла.

Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин "нелинейность": его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности, и определили через отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как "не нелинейность". Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных яркими физическими идеями и образами сущностей, позволяющими физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.

Принцип суперпозиции

Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания, – принцип суперпозиции – позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.

Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было "не так", все противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. "Искусственная линеаризация" оказывалась малоэффективной, "большей частью ничему не научала, а иногда бывала прямо вредной" (Л.И.Мандельштам).

Нелинейное мышление Л.И.Мандельштама

Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.А.Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь показаниями ставшего ненадежным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.

Уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода "математического старательства" и принимается решать нелинейные проблемы "поштучно", используя их специфические индивидуальные особенности. Л.И.Мандельштам в предисловии к первому изданию знаменитой (и многострадальной) "Теории колебаний" А.А.Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина писал:

Тот путь, конечно, сам по себе правилен. Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути.

Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.

Выделенные курсивом слова "нелинейных колебаний" не уменьшают общности утверждения. Их следует читать как "нелинейной физики", ведь они принадлежат Л.И.Мандельштаму.

Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы – линейной физики. Необходимо создать "нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах" (А.А.Андронов).

Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик – академик Л.И.Мандельштам.

Итак, приступаем к изучению математических моделей нелинейной динамики. Начнем мы с простейших моделей – дискретных отображений.

Об авторе

Данилов Юлий Александрович

Специалист в области математической физики и инвариантно-группового анализа, одна из наиболее ярких фигур отечественной синергетики. В течение нескольких десятилетий был одним из руководителей Московского семинара по синергетике, сыгравшего огромную роль в становлении этого междисциплинарного подхода в России. Блестящий переводчик, педагог, популяризатор науки, член редакционных коллегий журналов "Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика" и "Квант". В 1963 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Вся его творческая жизнь прошла в теоретическом отделе отделения молекулярной физики Института атомной энергии имени И. В. Курчатова. Обладал уникальной способностью аккумулировать знания, владел более чем 20 языками и перевел на русский язык 110 книг по математике, физике, истории науки. В сфере интересов Ю. А. Данилова была также история развития естествознания. Он одним из первых стал пропагандировать новое направление в научном мире — синергетику и включился в поиск законов самоорганизации, описываемых едиными уравнениями в физике, химии, биологии, социологии, медицине.