| Предисловие переводчика | 7
|
| МЕТОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА, ТЕОРИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП И ОБОБЩЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА | 11
|
| От автора | 11
|
| I. Метод подвижного трехгранника | 13
|
| II. Приложение метода подвижного трехгранника к теории минимальных кривых | 15
|
| III. Теория плоских кривых в аффинной геометрии | 24
|
| IV. Метод приведенных уравнений | 28
|
| V. Понятие репера в геометрии данной группы | 33
|
| VI. Уравнения структуры Дарбу—Маурера—Картана | 41
|
| VII. Метод подвижного репера в его полной общности | 47
|
| VIII. Метод подвижного репера, основанный на уравнениях структуры | 54
|
| IX. Рассмотрение уравнений структуры как уравнений, позволяющих построить пространство | 59
|
| X. Обобщенные пространства | 64
|
| Примечания переводчика | 75
|
| ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА | 83
|
| Предисловие автора | 83
|
| Часть первая МЕТОД ПОДВИЖНОГО ТРЕХГРАННИКА В ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ | 85
|
| Введение | 85
|
| Глава I. Подвижной триортогональный триэдр. Действительные пространственные кривые | 87
|
| I. Инфинитезимальное смещение триортогонального триэдра | 87
|
| II. Приложение теории семейств трехгранников, зависящих от одного параметра, к теории пространственных кривых | 95
|
| III. Теория пространственных кривых, основанная на теории семейств трехгранников, зависящих от нескольких параметров | 100
|
| IV. Метод приведенных уравнений | 105
|
| Глава II. Теория минимальных кривых | 109
|
| I. Циклические триэдры | 110
|
| II. Определение элементов различных порядков, присоединенных к минимальной кривой | 114
|
| III. Проблемы равенства и касания | 120
|
| IV. Дополнения | 124
|
| Глава III. Теория действительных линейчатых поверхностей | 135
|
| I. Элементы различных порядков | 135
|
| II. Проблемы равенства и касания; геометрические построения | 139
|
| Глава IV. Теория изотропных линейчатых поверхностей | 141
|
| I. Элементы первого порядка; касания первого порядка | 141
|
| II. Поверхности, на которых инвариант k постоянен | 147
|
| III. Поверхности, на которых инвариант k — переменная величина | 150
|
| Часть вторая ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП | 153
|
| Глава V. Подвижной репер конечной непрерывной группы | 153
|
| I. Преобразования; группа; подвижной репер | 153
|
| II. Компоненты инфинитезимального смещения подвижного репера | 165
|
| Ill. Три теоремы относительно компонент инфинитезимального смещения подвижного репера | 177
|
| IV. Группа параметров | 182
|
| V. Несколько задач интегрирования | 186
|
| Глава VI. Различные соотношения, которые могут существовать между двумя группами | 192
|
| I. Подобные группы | 192
|
| II. Понятие изоморфизма | 193
|
| III. Реперирование объектов заданного класса объектов | 197
|
| IV. Группы, изоморфные данной, группе | 200
|
| Глава VII. Соотношения, существующие между группой и ее группой параметров | 204
|
| I. Просто транзитивная группа | 204
|
| II. Транзитивная группа | 204
|
| III. Интранзнтивная группа | 208
|
| Глава VIII. Определяющие уравнения преобразований конечной непрерывной группы | 211
|
| Введение | 211
|
| I. Случай просто транзитивной группы | 211
|
| II. Случай транзитивной группы | 215
|
| III. Случай интранзитивной группы | 228
|
| Глава IX. Представления данной абстрактной группы. Определение подгрупп группы | 231
|
| I. Транзитивные группы, представляющие данную абстрактную группу | 231
|
| II. Интранзитивные группы, представляющие данную абстрактную группу | 236
|
| III. Дополнения | 239
|
| Глава X. Дифференциальная геометрия | 241
|
| I. Метод подвижного репера | 241
|
| II. Аффинная унимодулярная геометрия. Теория плоских действительных кривых | 248
|
| III. Проективная геометрия. Теория плоских действительных кривых | 259
|
| Часть третья СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП | 272
|
| Глава XI. Уравнения структуры Э. Картана | 272
|
| I. Введение. Уравнения Дарбу | 272
|
| II. Дифференциалы; внешнее дифференцирование | 275
|
| III. Уравнения структуры Э. Картана. Вторая основная теорема теории групп | 278
|
| IV. Определение групп и подгрупп | 292
|
| Глава XII. Дифференциальная геометрия (продолжение) | 295
|
| I. Применение метода подвижного репера | 295
|
| II. Проективная геометрия. Теория плоских кривых | 300
|
| III. Евклидова геометрия. Теория поверхностей | 316
|
| Глава XIII. Третья основная теорема теории групп | 330
|
| I. Прямая часть третьей основной теоремы | 330
|
| II. Канонические параметры С. Ли | 334
|
| III. Доказательство (неполное) третьей основной теоремы | 339
|
| Глава XIV. Уравнения структуры Софуса Ли | 343
|
| I. Скобки двух инфинитезимальных преобразований | 343
|
| II. Вторая основная теорема С. Ли | 346
|
| III. Определение групп и подгрупп | 352
|
| IV. Присоединенные группы и третья основная теорема | 358
|
| Библиография | 362
|
| Предметный указатель | 365
|
В настоящем издании дается перевод двух работ Э. Картана. Первая работа «Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства» содержит наиболее доступное изложение сущности метода подвижного репера и теории конечных непрерывных групп и в этом отношении может служить хорошим введением к методу Э. Картана. Содержание этой работы составляют лекции, прочитанные Э. Картаном в Москве в Научно-исследовательском институте математики и механики 16—20 июня 1930 г. Эти лекции составлены по моим записям; они уже издавались у нас в 1933 г., но в настоящее время это издание стало библиографической редкостью.
Второй, основной работой настоящего издания служит монография «Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера». Как показывает само название, в этой, работе параллельно излагается теория конечных непрерывных групп и дается приложение этой теории к отдельным вопросам дифференциальной геометрии. Все это проводится единым методом — методом подвижного репера.
В первой части автор рассказывает об основах метода подвижного репера и прилагает этот метод к теории пространственных кривых (глава I), теории минимальных кривых (глава II), теории линейчатых поверхностей, как действительных (глава III), так и изотропных (глава IV).
Во второй части излагаются основные понятия теории конечных непрерывных групп: вводится подвижной репер группы (глава V); рассматриваются различные соотношения (изоморфизм, подобие и т. п.), которые могут существовать между двумя группами (глава VI) и между самой группой
и ее группой параметров (глава VII); выписываются определяющие уравнения группы (глава VIII); строится теория представлений данной абстрактной группы (глава IX), и, наконец, заканчивается эта часть приложением всех рассмотренных вопросов к теории плоских действительных кривых в аффинной унимодулярной и проективной геометрии (глава X).
В третьей части выводятся уравнения структуры группы Э. Картана (глава XI) и С. Ли (глава XIV) и устанавливается связь между ними; кроме того, здесь рассматриваются вопросы, связанные с доказательством прямой и обратной частей третьей основной теоремы С. Ли (главы XIII и XIV). В качестве приложений здесь рассматриваются проективная теория плоских кривых и обычная евклидова теория поверхностей.
Книга послужит хорошим руководством для каждого, кто пожелает изучить теорию конечных непрерывных групп.
Картан Эли