Обложка Картан Э. Теория спиноров. Пер. с фр.
Id: 294461
599 руб. Новинка недели!

Теория спиноров.
Пер. с фр. Изд. стереотип.

Аннотация

Теория спиноров привлекает большое внимание физиков ввиду ее важных физических применений. Независимо от этих применений, теория спиноров n-мерных пространств была открыта одним из величайшим геометров XX в. Э. Картаном в 1913 г. Предлагаемая читателю книга Э. Картана написана в 1938 г., уже после того, как спиноры были переоткрыты Ван дер Варденом в 1928 г. в связи с физическими исследованиями Дирака. Эта книга по общей теории... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие к русскому переводу5
Предисловие автора7
ЧАСТЬ I Спиноры трехмерного пространства. Линейные представления группы вращений11
Глава I. ЭВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ11
I. Пространство Эвклида (1—6)11
II. Вращения и отражения (7—13)17
III. Мультивекторы (14—18)29
IV. Дивекторы и бесконечно малые вращения (19)35
Глава II. ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ37
I. Определение тензоров (20—24)37
II. Тензорная алгебра (25—28)41
III. Тензоры, приводимые и неприводимые (29—36)44
IV. Матрицы (37—47)51
V. Неприводимость p-векторов (48—51)60
Глава III. СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА64
I. Понятие спинора (52—54)64
II. Матрицы, соответствующие векторам (55—57)66
III. Представление симметрии и вращений (58—60)69
IV. Произведение двух спиноров и его разложение на неприводимые части (61—62)72
V. Случай вещественного эвклидова пространства (63—65)74
VI. Случай псевдоэвклидова пространства (66)77
Глава IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В E378
I. Линейные представления, выражаемые при помощи спиноров (67—71)78
II. Бесконечно малые вращения и определение эвклидовых тензоров (72—81)86
III. Линейные представления группы комплексных вращений (82-84)102
IV. Однозначность и двузначность (85—86)106
V. Линейные представления группы вращений и отражений (87-91)110
ЧАСТЬ II Спиноры пространства n > 3 измерений. Спиноры в римановой геометрии119
Глава V. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА E2v+1119
I. Изотропные v-плоскости и матрицы, соответствующие векторам (92—95)119
II. Представление вращений и отражений при помощи матриц порядка 2v (96—100)125
III. Фундаментальная полярность в пространстве спиноров. p-векторы, определяемые парой спиноров (101—105)131
IV. Простые спиноры и интерпретация их как поляризованных изотропных v-векторов (106—111)138
V. Случай вещественного эвклидова пространства (112-115)147
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств (116—119)152
Глава VI. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА E2v158
I. Изотропные ?-плоскости и полуспиноры (120—124)158
II. Матрицы, соответствующие p-векторам. Представление вращений и отражений (125—130)163
III. Разложение произведения двух спиноров (131—-136)167
IV. Частные случаи: v = 3 и v = 4 (137—141)172
V. Случай вещественного эвклидова пространства (142-145)180
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств (146—147)181
Глава VII. СПИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ДИРАКА183
I. Группа вращений в эвклидовом пространстве четырех измерений (148—152)183
II. Разложение произведения двух спиноров (153—154)189
III. Сопряженные векторы и спиноры в пространстве частного принципа относительности (155—156)192
IV. Уравнения Дирака (157—159)194
Глава VIII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА198
I. Линейные представления группы вращений Лоренца (160-161)198
II. Представления группы вращений и отражений Лоренца (162—165)200
III. Линейные представления группы вращений вещественного эвклидова пространства Еn (166—171)205
Глава IX. СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ209
I. Спинорные поля в эвклидовой геометрии (172—175)209
II. Спинорные поля в римановой геометрии (176—177)214
Библиография218
Предметный указатель219

Предисловие к русскому переводу

Автор издаваемых в русском переводе лекций по теории спиноров Э. Картан является творцом общей теории спиноров, основы которой он опубликовал в 1913 г. в своем классическом исследовании по теории представлений простых групп. Теория спиноров — это один из наиболее интересных отделов тензорного исчисления, дающий глубокий анализ природы тензоров метрической геометрии. Книга Картана — первая в мировой литературе, излагающая общую теорию спиноров n-мерных пространств. Написана она элементарно: благодаря тому, что автор базируется в своем изложении на геометрических представлениях и пользуется при исследовании ортогональных групп методом бесконечно малых преобразований, его изложение отличается значительной простотой и наглядностью. Поэтому эта книга вполне доступна для аспирантов и студентов старших курсов физико-математических факультетов университетов. Благодаря богатству содержащихся в ней идей и методов исследования она значительно расширяет кругозор начинающего математика и является прекрасным введением в общую теорию линейных представлений групп Ли. В то же время она будет полезна и для физиков-теоретиков, желающих углубить свои знания в области теории спиноров.

П. Широков


Предисловие автора

В квантовой механике физиками было введено понятие о спиноре. В наиболее общей математической форме спиноры были открыты автором этой книги в 1913 г. в связи с исследованием линейных представлений простых групп. Спиноры дают линейное представление группы вращений пространства п измерений, причем каждый спинор определяется при помощи 2V, составляющих (n = 2ѵ+1 или 2ѵ). Спиноры четырехмерного пространства входят в знаменитые уравнения Дирака для электрона, причем четыре волновые функции являются не чем иным, как составляющими спинора. Было опубликовано очень много исследований по общей теории спиноров. Герман Вейль и Рихард Брауер недавно опубликовали прекрасный мемуар, который можно рассматривать как основной, хотя многие из полученных результатов были очень кратко указаны в упомянутом выше исследовании. О. Веблен дал очень интересное исследование спиноров с другой точки зрения в неопубликованном курсе, прочитанном в Принстонском университете. Но почти во всех работах спиноры вводятся чисто формально, без интуитивной геометрической интерпретации, и это отсутствие геометрической природы спиноров сделало столь сложными попытки распространения на общую теорию относительности уравнений Дирака.

Одной из основных целей этой книги является систематическое развитие теории спиноров на основе чисто геометрического определения этих математических объектов. Благодаря этой геометрической основе матрицы, которыми пользуются в квантовой механике, возникают в ходе исследования самисобой, и выясняется самая основа тех свойств, которыми обладают гиперкомплексные числа Клиффорда-Липшитца в теории представления вращений в пространстве любого числа измерений. Наконец, эта геометрическая основа делает очень простым введение спиноров в римановой геометрии и, в частности, применение к этим геометрическим объектам понятия параллельного переноса. Становятся понятными также и те затруднения, которые встретились в связи с последним вопросом и которые являются непреодолимыми, если пользоваться классическими приемами исследования в римановой геометрии. Эти приемы применимы к векторам и тензорам, которые помимо метрической природы имеют чисто аффинный характер, но они не могут применяться к спинорам, имеющим метрическую, но не аффинную природу.

Книга делится на две части. Первая посвящена общим вопросам теории групп вращений n-мерного пространства и линейных представлений групп, теории спиноров пространства трех измерений и исследованию линейных представлений группы вращений этого пространства. Эти представления, как известно, играют важную роль в квантовой механике. Для их определения использован метод бесконечно малых, который требует минимума предварительных сведений для своего понимания; трансцендентный метод Г. Вейля, основанный на теории характеров, оставлен в стороне, несмотря на его большой интерес.

Вторая часть посвящена теории спиноров в пространстве любого числа измерений и специально в пространстве частного принципа относительности; указаны линейные представления группы Лоренца, а также дана теория спиноров в римановой геометрии.

Эта книга, воспроизводящая с некоторыми изменениями курс, прочитанный в Сорбонне в зимнем семестре 1935/36 г., составлена по запискам, написанным А. Мерсье и использованным автором, который выражает ему свою глубокую благодарность за сотрудничество.

ЭЛИ KAPTAH.


Об авторе
Картан Эли
Выдающийся французский математик, член Парижской академии наук (1931). В 1891 г. окончил Высшую нормальную школу. Был учеником Ж. Г. Дарбу и Софуса Ли. С 1912 г. профессор Парижского университета. Область научных интересов Э. Картана — теория непрерывных групп, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия. Он также автор ряда важных работ в области математической физики. В 1937 г. Казанское физико-математическое общество присудило Э. Картану премию им. Н. И. Лобачевского за исследования по геометрии и теории групп.