URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах
Id: 294446
1259 р.

О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. Изд. 6, стереотип.

URSS. 2023. 368 с. ISBN 978-5-9710-6756-6.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Книга представляет собой руководство по математической физике, основанное на курсе лекций, которые автор читал учащимся Морской Академии.

Освещаются труды великих авторов — Фурье, Пуассона, Коши, предлагаются образцы решения вопросов, с которыми читатель может встретиться на практике, объясняется важность и всеобщность тех явлений, которые известны под общим названием «резонанса».

Для студентов младших курсов технических и физико-математических... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к пятому изданию6
Предисловие к первому изданию8
Предисловие ко второму изданию11
Глава I Обыкновенные линейные уравнения с постоянными коэффициентами15
1. Уравнение второго порядка с последним членом. Общий интеграл его15
2. Составление частного решения данного вида, применяя способ неопределенных коэффициентов15
3—5. Случай, когда последний член выражается суммою, составленной из синусов или косинусов разных кратностей переменной независимой. Амплитуда, разность фаз, декремент17
6. Резонанс21
7. Биения24
8. Действие сил малой продолжительности27
9. Линейные уравнения высших порядков. Символический способ интегрирования их31
10. Малые колебания системы с несколькими степенями свободы36
11. Случай равных корней характеристического уравнения. Численный пример42
12. Нормальные координаты и основные колебания системы45
13. Малые колебания системы в сопротивляющейся среде. Функция рассеяния47
14. 15. Вынужденные колебания системы. Резонанс50
16—20. Приведение векового уравнения к виду, удобному для численного решения его. Пример. Особенные случаи55
21. Колебания при постоянном трении73
22. Общие замечания об устройстве регистрирующих приборов. Прибор для записи вибрации корабля. Индикатор Уатта. Прибор Фрама76
23. Поперечные колебания вращающегося вала83
Глава II Линейные уравнения с частными производными высших порядков и с постоянными коэффициентами86
24. Метод Даламбера и Эйлера интегрирования уравнений, где во всех членах порядок производных один и тот же86
25. Общий вид линейного уравнения с постоянными коэффициентами и его самого общего решения88
26. Пример—уравнение распространения тепла90
27. Случай равных корней характеристического уравнения92
28. Обобщение формул § 2592
29. Начальные условия и нахождение решения, им удовлетворяющего93
30. Формулы Фурье94
31. Доказательство теоремы Фурье95
32. Метод Коши99
33. Случай уравнения с последним членом101
34—37. Пример 1-й: колебания неограниченной упругой среды102
38, 39. Пример 2-й: уравнение движения неограниченной пластинки107
Глава III Интегрирование линейных уравнений с частными производными при условиях на границах ограниченной среды. Первый метод Пуассона111
40. Замечание об истории вопроса111
41. Изложение метода на примере уравнения колебания струны112
42. Свойства колебательного движения струны120
43. Задачи 1-я и 2-я относительно интегрирования уравнения движения струны при разных граничных условиях124
44, 45. Задача 3-я: уравнение распространения тепла в пруте131
Глава IV Интегрирование линейных уравнений с частными производными при условиях на границах ограниченной среды. Второй метод Пуассона138
46. Изложение метода на примере уравнения движения струны. Сравнение полученного решения с даламберовым138
47. Пример приложения метода к уравнению распространения тепла в пруте145
48. Поперечные колебания упругого стержня149
49. Замечания о вычислении корней трансцендентных уравнений157
Глава V Приложения теории функции мнимого переменного и свойств интегральных вычетов к интегрированию линейных уравнений обыкновенных и с частными производными. Метод Коши161
50. Понятие о функции мнимой переменной161
51. Понятие об интеграле от функции мнимой переменной163
52. Теорема Коши. Интегральный вычет166
53. Две основные теоремы об интегральных вычетах170
54. Приложение интегральных вычетов к нахождению определенных интегралов. Примеры171
55. 56. Приложение интегральных вычетов к разложению функций в ряды174
57, 58. Приложение интегральных вычетов к интегрированию обыкновенных линейных уравнений185
59. Определение постоянных произвольных по данным начальным значениям неизвестной и ее производных189
60, 61. Интегрирование систем линейных уравнений194
62. Теорема Гурвица198
63, 64. Приложение интегральных вычетов к интегрированию линейных уравнений с частными производными199
Глава VI Некоторые замечания о сходимости рядов Фурье и им подобных и о суммировании сих рядов206
65. Теорема Абеля206
66. Приложение теоремы Абеля к определению условий сходимости рядов Фурье207
67. Порядок коэффициентов ряда Фурье относительно 1/n при разложении разного рода функций209
68. 69. Места разрывов и величины скачков функции и ее производной и их связь с коэффициентами ее разложения в ряд Фурье. Применение этих формул к усилению быстроты сходимости рядов Фурье211
70. Нахождение производных функций, представленных рядами Фурье, когда почленное дифференцирование недопустимо224
71. Ряды, подобные рядам Фурье227
Глава VII Решение линейных дифференциальных уравнений с частными производными и постоянными коэффициентами, имеющих последний член. Вынужденные колебания струн и стержней и другие практические приложения общей теории229
72. Изложение общего метода на примере определения вынужденных колебаний струны229
73. Случай, когда колебания происходят в сопротивляющейся среде237
74. Вынужденные поперечные колебания стержня239
75. Поперечные колебания стержня, вызываемые равномерно движущейся нагрузкой242
76. Действие на балку малой массы равномерно движущейся нагрузки. Уравнение Стокcа, интегрирование его250
77. Поперечные колебания балки под действием периодически изменяющейся нагрузки251
78, 79. Колебания тяжелого груза, подвешенного на упругой нити. Технические вопросы, приводимые к этой задаче257
80. Приложение выводов предыдущего параграфа к теории индикатора Уатта263
81. Частные случаи предыдущей задачи268
82. Действие внезапно приложенной силы270
83—85. Анализ записи давления в цилиндре компрессора, полученной индикатором Виккерса275
86. Крутильные колебания вала283
87. Колебания струны, вызываемые заданным колебательным движением данной ее точки284
88—94. Распространение тока по кабелю288
95—100. Продольные колебания ствола орудия при выстреле308
101—103. Графическое представление полученного решения320
104—106. Вибрация судов. Общий метод расчета323
107, 108. Метод численного интегрирования329
109, 110. Определение постоянных произвольных332
111. Влияние местной жесткости на общую выбрацию333
112, 113. Численный пример334
114. Метод вычисления фундаментальных функций и характеристических чисел численным интегрированием348
Глава VIII Радиальные колебания полого цилиндра352
115. Уравнения, к которым приводит вопрос о радиальных колебаниях полого цилиндра. Случай действия переменного давления на внутреннюю поверхность352
116, 117. Определение свободных колебаний354
118, 119. Основные свойства функций Бесселя358
120. Трансцендентное уравнение, определяющее основные тона363
121, 122. Определение вынужденных колебаний при действии переменного давления на внутреннюю поверхность363
123. Численный пример—радиальные колебания 12-дюймовой пушки365

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
top

Книга покойного академика Алексея Николаевича Крылова «О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах» в первом издании вышла в 1913 году в Известиях Морской Академии. Как пишет А. Н. Крылов в предисловии к этому изданию, содержание книги составлено из лекций, которые он читал в 1912 году слушателям Академии. Второе и третье издания появились в 1931—1933 годах в серии научно-технической литературы Академии Наук СССР. По сравнению с первым изданием они были дополнены изложением работы А. Н. Крылова о численном решении векового уравнения и рядом технических примеров. Четвертое издание было опубликовано в 1948 году, уже после смерти автора, в Собрании его трудов, которые и по сие время издаются Академией Наук СССР. В этом издании в отдельных местах, относящихся к теоретическим вопросам, были сделаны несущественные изменения, а также проверены таблицы.

Настоящее пятое издание воспроизводит предыдущее.

Книга А. Н. Крылова представляла собою в 1913 году и представляет до настоящего времени единственное большое руководство по математической физике, в котором, с одной стороны, весьма полно изложены классические работы по математической физике первой половины XIX века, а с другой стороны—большое внимание уделено приложениям методов математической физики к конкретным, практически важным техническим задачам. Среди этих задач центральное место занимают вынужденные колебания упругих систем и, в частности, явление резонанса.

Основным методом исследования является здесь применение метода Фурье или, как его называл А. Н. Крылов, «второго метода Пуассона», обобщенного А. Н. Крыловым на случай вынужденных колебаний. Основным в этом отношении является мемуар А. Н. Крылова о вынужденных колебаниях стержней постоянного сечения, опубликованный в 1905 году. Содержание этой работы с некоторыми дополнениями изложено в VII главе книги. Тот же метод применен в VIII главе к исследованию вынужденных радиальных колебаний полого цилиндра. Во всех случаях проводится глубокое качественное исследование характера воздействия вынуждающей силы на упругую систему.

В первой главе подробно исследуются вынужденные колебания, описываемые линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, в связи с вопросом об устройстве различных регистрирующих приборов.

Еще в работе 1905 года А. Н. Крылов приметил тот факт, что вынуж дающая сила может не удовлетворять предельным условиям собственных колебаний, в связи с чем в результате применения того метода, о котором мы говорили выше, ответ на задачу выражается медленно сходящимся рядом— особенно вблизи концов основного промежутка. Таким образом, естественно возникает задача улучшения сходимости рядов Фурье и им подобных рядов. А. Н. Крылов указал чрезвычайно простой и остроумный прием для решения этой задачи—прием, основанный на выделении из суммы ряда элементарных функций так, чтобы уничтожались те части коэффициентов ряда Фурье, которые медленно убывают при возрастании значка. Этот прием изложен в VI главе настоящей книги.

Отметим еще, что в первой главе А. Н. Крылов дает новый простой метод вычисления корней векового уравнения. Сначала излагается история вопроса, связанная с именами Лагранжа, Лапласа, Леверрье и Якоби. Основная трудность развертывания векового уравнения состоит в том, что неизвестное (искомая частота) входит в диагональные члены определителя, равенство нулю которого и дает вековое уравнение. А. Н. Крылов указывает прием, при помощи которого это неизвестное можно сосредоточить в одном столбце определителя—прием, основанный на вычислениях, аналогичных тем, при помощи которых система дифференциальных уравнений, породивших вековое уравнение, приводится к одному уравнению высшего порядка. В связи с этим исследованием А. Н. Крылова у нас появился целый ряд работ, посвященный этому же вопросу. В работах H. Н. Лузина, И. Н. Хлодовского и Ф. Р. Гантмахера дан алгебраический анализ метода А. Н. Крылова и в работе А. Данилевского дан новый алгебраический метод развертывания векового уравнения.

В предисловии к изданным им лекциям П. Л. Чебышева А. Н. Крылов рекомендует эти лекции инженерам, ибо, как он пишет, Чебышев не задавался целью сделать свой курс безукоризненно строгим, а довольствовался «той разумной строгостью, которая, предохраняя от ошибок, сообщает непреложность выводам». Эти слова достаточно характеризуют и стиль предлагаемой книги.

Акад. В л. Смирнов


ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
top

По уставу 1909 г. продолжительность курса для технических отделов Морской Академии увеличена до трех лет, причем в учебный план третьего года включены необязательные для слушателей лекции по математике.

Чтение этого необязательного курса было поручено Конференцией Академии мне, и предметом его избрано изложение способов интегрирования дифференциальных уравнений математической физики, встречающихся в технических вопросах.

Прочитанный мною в продолжение осеннего полугодия 1912 г. при трех часовых лекциях в неделю курс и составляет содержание этой книги.

В главе I я напоминаю слушателям известную уже им из общего курса теорию интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, подробно останавливаясь на уравнении второго порядка и разборе его решений в разных случаях; здесь же выясняются столь важные для всех технических приложений явления резонанса. Затем*я перехожу к уравнениям высших порядков и показываю символический способ нахождения их решений. Этот способ вошел во всеобщее употребление в английских руководствах и вообще в английскую литературу, с которою особенно часто и придется иметь дело морским инженерам. Рассмотрев общую теорию малых колебаний системы с несколькими степенями свободы, я даю, в заключение главы, несколько примеров технического характера, в которых приходится иметь дело с уравнениями разобранного в главе вида и с явлениями резонанса.

В главе II я даю изложение метода Коши интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и с частными производными высших порядков при начальных условиях, относящихся к среде неограниченной. Эта глава составлена мною по лекциям покойного проф. А. Н. Коркина, прочитанным им в 1891 г. группе своих учеников, собиравшихся на квартире проф. А. И. Садовского. Эти лекции были мною тогда же тщательно записаны и проредактированы, и в этой главе воспроизведено с возможною точностью образцовое изложение моего незабвенного учителя, столь многие годы трудившегося на пользу нашей Морской Академии.

Изложенные в этой главе вопросы находят ряд применений при исследованиях, относящихся к распространению электрических колебаний и беспроволочной телеграфии. Этих приложений я не касаюсь, так как в Академии читается специальный по этому делу курс.

В главе III я рассматриваю первый метод Пуассона для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с частными производными и постоянными коэффициентами при условиях, относящихся к среде ограниченной. Здесь я также сперва воспроизвожу сообщенное мне А. Н. Коркиным изложение этого метода, затем проделываю ряд примеров, взятых главным образом из мемуара Пуассона, помещенного в XIX тетради журнала «École polytechnique».

В главе IV я излагаю метод Фурье, или второй метод Пуассона, интегрирования тех же уравнений для ограниченной среды и поясняю этот метод рассмотрением классических примеров, относящихся к определению свободных колебаний струн и стержней.

В главе V я даю краткое изложение теории интегральных вычетов и показываю, следуя мемуарам Коши, приложения этой теории к интегрированию уравнений обыкновенных и в частных производных, а также к разложению функций в ряды, подобные рядам Фурье, которые встречались в главе IV и где условия их сходимости не могли быть обоснованы. Метод Коши дает как эти условия, так и общий способ для нахождения коэффициентов при разложении в ряды по функциям, зависящим от корней трансцендентных уравнений. Таким образом, эта глава составляет естественное теоретическое дополнение предыдущей.

В главе VI я рассматриваю сперва, независимо от теории Коши, условия сходимости рядов Фурье и им подобных, и показываю затем прием усиления быстроты сходимости таких рядов, приложимый во многих довольно общих случаях. Этот прием не только дает практическую возможность с удобством пользоваться такими рядами в приложениях, получая желаемую степень точности, взяв самое ограниченное число (3—5) членов преобразованного ряда, но часто приводит к представлению суммы предложенного ряда в замкнутой форме под видом разрывной функции. Этот же прием дает возможность находить производные от функций, представленных такими рядами Фурье, почленное дифференцирование которых недопустимо. Этого приема я не встречал ни в руководствах, ни в литературе, хотя, по его простоте и очевидности, я не смею утверждать, что он является новым.

В главе VII я излагаю общий способ интегрирования линейных дифференциальных уравнений с частными производными и постоянными коэффициентами с последним членом, придерживаясь того метода, который дан мною в статье «Ueber die erzwungenen Schwingungen von gleichfôrmigen elastischen Staben», напечатанной в «Mathematische Annalen» за 1905 г. Я прилагаю этот метод к рассмотрению вынужденных колебаний струн, стержней и балок, к теории индикатора, колебаний вала и тому подобным вопросам практического характера, выясняю при этом явление резонанса и разбираю случаи действия сил «малой продолжительности», причем решения всех этих вопросов даются как в виде рядов, так и в виде разрывных функций, представляющих суммы этих рядов.

В главе VIII я рассматриваю вынужденные радиальные колебания полого упругого цилиндра, чтобы дать пример уравнения с переменными коэффициентами и ознакомить слушателей Академии с простейшими свойствами функций Бесселя. Вопрос же этот мною избран потому, что он имеет практическое значение при проектировании орудий и был мне предложен таким знатоком этого дела, как ген.-лейт. А. Ф. Бринк.

Из этого общего обзора содержания предлагаемого курса видно, что я придерживался главным образом способов изложения «старых авторов», Фурье, Пуассона, Коши, для которых главная цель состояла в нахождении решения, а не в безукоризненно строгом его обосновании и не в доказательстве его существования в общем случае или при установленных необходимых ограничениях. Эта часть мне представлялась имеющей лишь специально математический интерес; вместе с тем желающие ознакомиться с этими вопросами найдут их изложение в сочинениях акад. В. А. Стеклова, напечатанных частью на русском, частью на французском языках.

Для технических же приложений поверка полученного решения может быть сделана при помощи приемов, показанных мною в главе VI и поясненных на ряде примеров в главе VII.

Я не касался в своем курсе уравнения Лапласа ни для двух, ни для трех переменных, ибо это уравнение рассматривается в курсе электричества и в курсе теории земного магнетизма, читаемых в Академии; что же касается приложения этого уравнения к изучению струйного течения жидкостей, то мне просто пришлось бы воспроизвести труды проф. H. Е. Жуковского, и я предпочел отослать слушателей к изучению их в подлиннике.

Наконец, в новейшее время, для решения вопросов математической физики, проф. Д. Гильберт в Геттингене развил особый метод «интегральных уравнений». Этого метода я также не касаюсь в своем курсе, так как его можно найти в изложении проф. Кнезера—«Die Integralgleichungen», вполне приспособленном для учебных целей.

Само собою разумеется, что такой обширный предмет, как интегрирование уравнений математической физики, не может быть изложен с исчерпывающей полнотой ни в каком курсе. Но не в этом состояла моя задача: я имел целью дать слушателям, ознакомив их с трудами великих авторов, образцы решения могущих встретиться в их практике вопросов и выяснить важность и всеобщность тех явлений, которые известны под общим названием «резонанса».

Составление такого курса для высших учебных заведений вообще является настоятельно необходимым при современном развитии техники; но если не считать имеющей более элементарный характер прекрасной книги Hort'a «Die technische Schwirigungslehre», то мне такого курса неизвестно. Ввиду того, что предлагаемый курс является, таким образом, первою попыткой в достижении намеченной цели, он, с разрешения начальника Академии и согласно постановлению Конференции Академии, печатается в ее «Известиях».

В заключение считаю своим долгом выразить глубочайшую благодарность Типографии Академии Наук, сделавшей из этой книги образец книгопечатного искусства, в особенности же—штатному корректору типографии Н. А. Виташевскому, который не только тщательно держал корректуру, но не раз обращал мое внимание на погрешности и неясности в самом оригинале.

А. Крылов


ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
top

Первое издание этой книги составляло 2-й выпуск «Известий Морской Академии» и вышло в составе 500 экз. в 1913 г. Этот выпуск «Известий» очень быстро разошелся и составил затем библиографическую редкость.

Ввиду того, что вопросы, рассматриваемые в этой книге, имеют непосредственное приложение к технике в широком смысле этого слова и соответствуют нуждам нашего строительства и многочисленных высших учебных заведений, особенно технических, Редакционно-издательский совет Академии Наук постановил выпустить второе издание, предложив мне сделать в книге надлежащие дополнения.

Эти дополнения составили около одной трети первоначального объема книги и заключают: §§ 16—20. Численное решение уравнения, которым определяются частоты малых колебаний материальной системы, §§ 83—85. Анализ одной замечательной индикаторной диаграммы; §§ 88—94. Распространение тока по кабелю; §§ 95-—103. Продольные колебания орудия при выстреле; §§ 104—114. Вибрация судов. В остальном первоначальный текст оставлен без изменения, но тщательно пересмотрен и где нужно исправлен. Целый ряд необходимых исправлений был мне указан проф. В. С. Игнатов-ским, который при чтении первого издания этой книги проверил все выкладки и результаты, исправил все замеченные им опечатки и ошибки и, узнав о готовящемся новом издании книги, сообщил мне о них.

Считаю своим долгом принести проф. В. С. Игнатовскому свою особенную благодарность.

При издании этой книги Издательством и Типографией Академии Наук проявлены в полной мере их обычная заботливость и тщательность.

Чтобы сделать книгу более компактной, принят сравнительно мелкий шрифт, а чтобы иметь его четким и отчетливым, шрифт был взят вновь отлитый, не бывший еще в употреблении. Набор сложных математических формул этим мелким шрифтом представлял большие технические трудности, и надо было все необыкновенное искусство тт. наборщиков Типографии Академии Наук, чтобы эти трудности преодолеть с таким успехом, что внешность этой книги нисколько не уступает математическим изданиям знаменитой типографии Готье-Вилляра в Париже.

Корректуру правил ученый корректор Академии Наук С. А. Шабуневич, следивший с одинаковою тщательностью как за верностью текста, так и за внешностью его, испещряя поля гранок множеством чисто технических типографских указаний.

Выражая свою искреннюю признательность Издательству и Типографии Академии Наук, я прошу тт. наборщиков и С. А. Шабуневича принять выражения моей особенной благодарности за их труд, исполненный не только с величайшею заботливостью, тщательностью и искусством, но и с той истинной любовью к делу, которая служит вернейшим залогом его успеха.

А. Крылов

Декабрь 1931 г.


Об авторе
top
photoКрылов Алексей Николаевич
Выдающийся кораблестроитель, механик и математик; академик АН СССР. Родился в сельце Висяга Симбирской губернии, в семье артиллерийского офицера. В 1884 г. окончил с отличием Морское училище, в 1890 г. — Морскую академию. В 1900–1908 гг. — заведующий Опытовым бассейном, в 1908–1910 гг. — главный инспектор кораблестроения. С 1910 г. — ординарный профессор Николаевской морской академии, консультант Адмиралтейского и Балтийского заводов. В 1911–1913 гг. — экстраординарный профессор Института инженеров путей сообщения. В 1916 г. возглавлял Главную физическую обсерваторию и Главное военно-метеорологическое управление. В 1919–1920 гг. — начальник Морской академии. В 1921 г. был направлен в Лондон как представитель Советского правительства для восстановления зарубежных научных связей страны (вернулся в СССР в 1927 г.). С 1928 г. — директор Физико-математического института АН СССР. Лауреат Сталинской премии (1941), Герой Социалистического Труда (1943).

А. Н. Крылов — автор около 300 книг и статей, покрывающих огромный диапазон человеческого знания, включая судостроение, магнетизм, артиллерийское дело, математику, астрономию и геодезию. Он является одним из основоположников школы советского судостроения; его труды по теории кораблестроения создали ему мировую известность. Обширные исследования были проведены им в области артиллерии и внешней баллистики, теории гироскопов, теории девиации магнитных компасов. Большой интерес представляют его книги и статьи, посвященные разработке наследия классиков науки — И. Ньютона, Л. Эйлера, К. Гаусса и др. Он был замечательным знатоком истории физико-математических и технических наук; им созданы яркие очерки о жизни и деятельности выдающихся ученых, переведена на русский язык книга И. Ньютона "Математические начала натуральной философии".