| Предисловие | 10
|
| Введение | 12
|
| Часть 1. Численные методы алгебры и анализа | 16
|
| Глава 1. Элементы теории погрешностей | 17
|
| Глава 2. Численные методы алгебры | 21
|
| 1. Численные методы решения СЛАУ | 22
|
| 1.1. Метод Гаусса | 22
|
| 1.2. Метод прогонки | 30
|
| 1.3. Обоснование метода прогонки | 36
|
| 1.4. Матричная прогонка | 37
|
| 1.5. Нормы векторов и матриц | 39
|
| 1.6. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций | 42
|
| 1.7. Метод Зейделя решения СЛАУ | 50
|
| 1.8. Метод Зейделя для нормальных СЛАУ | 52
|
| 2. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений | 54
|
| 2.1. Способы отделения корней | 55
|
| 2.2. Методы уточнения корней | 57
|
| 2.3. Скорость сходимости. Процедура Эйткена ускорения сходимости | 71
|
| 2.4. Замечания к методам отделения корней. О корнях функций Бесселя | 73
|
| 3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений | 77
|
| 3.1. Метод простых итераций и метод Зейделя решения систем нелинейных уравнений | 78
|
| 3.2. Метод Ньютона | 81
|
| 4. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц линейных преобразований | 84
|
| 4.1. Основные определения и спектральные свойства матриц | 84
|
| 4.2. Метод вращений Якоби численного решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц | 88
|
| 4.3. Частичная проблема собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод | 97
|
| Глава 3. Теория приближений | 103
|
| 1. Исчисление конечных разностей | 105
|
| 2. Задача интерполяции | 106
|
| 2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа | 107
|
| 2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона | 108
|
| 2.3. Погрешность многочленной интерполяции | 109
|
| 2.4. Интерполяционный многочлен Ньютона, построенный с помощью разделенных разностей | 112
|
| 2.5. Сплайн-интерполяция | 114
|
| 3. Метод наименьших квадратов | 125
|
| 4. Численное дифференцирование | 133
|
| 4.1. Метод Рунге уточнения формул численного дифференцирования | 136
|
| 5. Численное интегрирование функций | 140
|
| 5.1. Формула прямоугольников | 141
|
| 5.2. Формула трапеций | 143
|
| 5.3. Формула Симпсона численного интегрирования | 146
|
| 5.4. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения формул численного интегрирования | 151
|
| Глава 4. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений | 156
|
| 1. Основные определения и постановка задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений | 156
|
| 2. Метод Эйлера численного решения задач Коши для ОДУ и систем ОДУ | 159
|
| 2.1. Метод Эйлера для нормальных систем ОДУ | 161
|
| 3. Метод Эйлера—Коши (Эйлера с пересчетом) | 162
|
| 3.1. Метод Эйлера—Коши для нормальных систем ОДУ | 163
|
| 4. Метод Рунге—Кутта | 164
|
| 4.1. Метод Рунге—Кутта для нормальных систем ОДУ | 167
|
| 5. Выбор шага численного интегрирования задач Коши | 168
|
| 6. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения численного решения задач Коши | 169
|
| 7. Численные методы решения краевых задач для ОДУ | 180
|
| 7.1. Постановка краевых задач для ОДУ | 180
|
| 7.2. Конечно-разностный метод с использованием метода прогонки решения краевых задач для ОДУ | 181
|
| 7.3. Конечно-разностная схема со вторым порядком аппроксимации краевых условий, содержащих производные | 183
|
| 7.4. Метод пристрелки численного решения краевых задач для ОДУ | 186
|
| 7.5. Метод пристрелки с использованием итерационной процедуры Ньютона | 188
|
| Глава 5. Численные методы оптимизации | 199
|
| 1. Классификация численных методов оптимизации | 199
|
| 2. Численные методы безусловной минимизации функций одной переменной. Прямые методы | 200
|
| 2.1. Метод перебора | 201
|
| 2.2. Метод деления отрезка пополам | 203
|
| 2.3. Метод золотого сечения | 205
|
| 3. Методы минимизации, использующие производные. Метод Ньютона | 210
|
| 4. Безусловная минимизация функций многих переменных | 212
|
| 4.1. Метод градиентного спуска | 212
|
| 4.2. Метод наискорейшего спуска | 218
|
| 4.3. Метод сопряженных направлений | 221
|
| Часть 2. Численные методы решения задач для уравнений математической физики | 226
|
| Глава 6. Метод конечных разностей | 227
|
| 1. Постановка задач математической физики | 227
|
| 1.1. Постановка задач для уравнений параболического типа | 228
|
| 1.2. Постановка задач для уравнений гиперболического типа | 230
|
| 1.3. Постановка задач для уравнений эллиптического типа | 232
|
| 2. Основные определения и конечноразностные схемы для различных задач математической физики | 234
|
| 2.1. Основные определения | 234
|
| 2.2. Конечно-разностная аппроксимация задач для уравнений гиперболического типа | 237
|
| 2.3. Конечно-разностная аппроксимация задач для уравнений эллиптического типа | 239
|
| 3. Основные понятия, связанные с конечно-разностной аппроксимацией дифференциальных задач | 241
|
| 3.1. Аппроксимация и порядок аппроксимации | 241
|
| 3.2. Устойчивость | 243
|
| 3.3. Сходимость и порядок сходимости | 243
|
| 3.4. Теорема эквивалентности о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью | 244
|
| 3.5. Консервативность и корректность | 244
|
| 4. Анализ порядка аппроксимации разностных схем | 245
|
| 5. Исследование устойчивости конечно-разностных схем | 247
|
| 5.1. Метод гармонического анализа | 247
|
| 5.2. Исследование устойчивости методом гармонического анализа явной и неявной схем для уравнения теплопроводности | 248
|
| 5.3. Исследование устойчивости методом гармонического анализа явной и неявной схем для волнового уравнения | 250
|
| 5.4. Принцип максимума | 252
|
| 5.5. Спектральный метод исследования устойчивости | 253
|
| 5.6. Энергетический метод исследования устойчивости конечно-разностных схем | 254
|
| 6. Конечно-разностный метод решения задач для уравнений параболического типа | 260
|
| 6.1. Однородные и консервативные конечно-разностные схемы для задач теплопроводности с граничными условиями, содержащими производные | 260
|
| 6.2. Неявно-явная конечно-разностная схема с весами. Схема Кранка—Николсон | 266
|
| 6.3. Метод прямых | 270
|
| 7. Метод конечных разностей решения задачи для волнового уравнения с граничными условиями, содержащими производные | 274
|
| 8. Метод установления и его обоснование | 277
|
| Глава 7. Метод конечных разностей решения многомерных задач математической физики. Методы расщепления | 282
|
| 1. Метод матричной прогонки | 284
|
| 2. Метод переменных направлений Писмена—Рэчфорда | 287
|
| 3. Метод дробных шагов Н. Н. Яненко | 291
|
| 4. Метод переменных направлений с экстраполяцией В. Ф. Формалева | 294
|
| 4.1. Аппроксимация | 296
|
| 4.2. Устойчивость | 300
|
| 5. Схема метода полного расщепления Формалева—Тюкина | 301
|
| 6. Методы расщепления численного решения эллиптических задач | 304
|
| 7. Методы решения задач для уравнений гиперболического типа | 305
|
| 7.1. Метод характеристик решения квазилинейных гиперболических систем | 305
|
| 7.2. Метод сквозного счета. Задача о распаде произвольного разрыва. Метод С. К. Годунова | 310
|
| Глава 8. Метод конечных элементов | 318
|
| 1. Основы МКЭ | 319
|
| 2. Система базисных функций | 320
|
| 2.1. Кусочно-постоянные базисные функции | 320
|
| 2.2. Линейные кусочно-непрерывные базисные функции | 323
|
| 3. Методы взвешенных невязок. Весовые функции | 324
|
| 3.1. Метод поточечной коллокации | 325
|
| 3.2. Метод Галеркина | 326
|
| 3.3. Метод наименьших квадратов | 326
|
| 4. Конечно-элементный метод Галеркина решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений | 327
|
| 4.1. Слабая формулировка метода Галеркина | 328
|
| 4.2. Формирование локальной и глобальной матриц жесткости. Ансамблирование элементов | 330
|
| 4.3. Случай граничных условий, содержащих производные | 334
|
| 5. Метод конечных элементов в стационарных задачах математической физики | 336
|
| 5.1. Основные этапы решения стационарных задач математической физики методом конечных элементов | 336
|
| 5.2. Принципы разбиения плоских областей на конечные элементы | 338
|
| 5.3. Аппроксимация линейными многочленами и базисные функции | 339
|
| 5.4. Слабая формулировка конечноэлементного метода Галеркина | 342
|
| 5.5. Ансамблирование элементов и построение глобальной СЛАУ | 348
|
| 6. Прямоугольные конечные элементы. Билинейные базисные функции | 349
|
| 6.1. Прямоугольные элементы в МКЭ | 349
|
| 6.2. Ансамблирование элементов | 360
|
| 7. Метод конечных элементов в многомерных нестационарных задачах математической физики | 364
|
| 8. Особенности решения пространственных задач математической физики методом конечных элементов | 366
|
| 9. Оценка погрешности метода конечных элементов | 368
|
| 9.1. Погрешность конечно-элементного метода решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений | 368
|
| 9.2. Погрешность конечно-элементного метода решения задач для уравнений в частных производных | 374
|
| 10. Вариационный принцип в МКЭ | 377
|
| 10.1. Введение в вариационное исчисление | 377
|
| 10.2. Конечно-элементный вариационный принцип на основе симметричного дифференциального оператора. Вариационный метод Релея—Ритца | 380
|
| 10.3. Решение задач с помощью конечноэлементного вариационного принципа | 384
|
| Глава 9. Метод граничных элементов решения многомерных стационарных задач математической физики | 388
|
| Список литературы | 398
|
Данный учебник написан на основе двухсеместрового курса лекций, читавшегося автором на протяжении двадцати пяти лет студентам математических и механических специальностей Московского авиационного института (национального исследовательского университета) (МАИ). Он состоит из двух частей. Первая часть учебника содержит следующие разделы: элементы теории погрешностей, численные методы алгебры (как линейной, так и общей), теорию приближений, численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы оптимизации.
Вторая часть включает в себя численные методы решения задач для уравнений математической физики, исследование аппроксимации, устойчивости, сходимости и консервативности конечно-разностных, конечно-элементных и гранично-элементных методов. Кроме этого, во вторую часть учебника вошли разделы по методу конечных разностей решения многомерных задач математической физики, среди которых такие методы, как методы расщепления, установления, прямых, характеристик, метод С. К. Годунова, а также методы конечных и граничных элементов с анализом погрешностей.
Отбирая материал для учебника, автор не загромождал его изложением всего множества существующих алгоритмов, а ограничился описанием наиболее широко используемых на практике и популярных методов, а также изложением новых эффективных методов.
Вместе с тем изложенные методы вычислений описаны на таком конструктивном уровне, с использованием решенных примеров и упражнений, что читателю нет необходимости при освоении материала обращаться к другим источникам по вычислительной математике. Правда, он должен обладать знанием основ линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчислений, обыкновенных дифференциальных уравнений, а для освоения второй части — основами теории уравнений в частных производных.
Книга состоит из девяти глав, первые пять из которых составляют первую часть и содержат материал стандартного односеместрового курса численных методов, причем, поскольку численные методы оптимизации читаются, как правило, в отдельном курсе, то в содержание главы 5 включены только алгоритмы безусловной минимизации.
В существующих учебниках отсутствует систематическое изложение метода конечных элементов. Поэтому в данном учебнике, наряду с систематическим изложением метода конечных разностей в задачах для ОДУ и уравнений математической физики, подробно изложены методы конечных и граничных элементов на основе метода взвешенных невязок Б. Г. Галеркина, а также метод конечных элементов на основе вариационного принципа.
Кроме этого, в раздел методы расщепления численного решения многомерных задач математической физики включены новые, экономичные, абсолютно устойчивые методы численного решения многомерных задач для уравнений математической физики, содержащих смешанные дифференциальные операторы, разработанные автором. Приведено доказательство теорем об аппроксимации и абсолютной устойчивости.
В отличие от первой части, где для усвоения каждого метода разбирается соответствующий пример, вторая часть изложена на основе конкретных задач, обобщающих определенный раздел.
Таким образом, с позиции содержания материала учебник носит универсальный характер. В этой связи первую часть учебника можно рекомендовать для студентов, обучающихся по техническим специальностям с односеместровым курсом «Численные методы» или «Численные методы и алгоритмы». Для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика», «Прикладная механика» и другим специальностям с углубленным изучением математических дисциплин, наряду с первой частью рекомендуется и вторая часть учебника, соответствующая двухсеместровому курсу численных методов.
Кроме студентов, обучающихся упомянутым выше специальностям, учебник полезен аспирантам, инженерам, научным работникам, а также преподавателям вычислительной математики, которые, кроме всего прочего, могут использовать вторую часть для чтения специальных курсов.
Рисунки выполнены доцентом Б. А. Гарибяном, редактирование текста выполнено профессором С. А. Колесником и доцентом Б. А. Гарибяном, за что автор приносит им благодарность. Особую благодарность автор приносит научному сотруднику Института права Н. А. Ткачевой за компьютерный набор всего учебника.
Формалев Владимир Федорович