Предисловие к 3-му изданию | 7
|
Введение | 8
|
Глава 1. Первоначальные сведения о кривых на плоскости | 10
|
1.1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой | 10
|
1.2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки | 13
|
1.3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы координаты | 19
|
1.4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Параметрическое представление | 25
|
1.5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные координаты | 27
|
1.6. Строение кривой вблизи особых точек. Основные факты | 32
|
1.7*. Строение кривой вблизи особых точек. Точная теория | 38
|
1.8. Огибающая семейства кривых | 51
|
1.9*. Семейство кривых вблизи данной точки | 58
|
1.10. Асимптоты | 64
|
1.11*. Асимптота как предельное положение касательной | 67
|
1.12. Асимптоты алгебраических кривых | 68
|
Глава 2. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие применения к теории кривых | 73
|
2.1. Определение производной и техника дифференцирования | 73
|
2.2. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой в параметрическом представлении | 80
|
2.3. Достаточный признак обыкновенной точки | 81
|
2.4. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции | 83
|
2.5. Дифференциал вектор-функции | 86
|
2.6. Две леммы | 88
|
2.7. Ряд Тейлора для вектор-функции | 90
|
2.8. Строение параметрически заданной кривой в окрестности произвольной точки | 92
|
2.9. Длина дуги как параметр | 97
|
2.10. Касание кривых | 102
|
2.11*. Дополнительные сведения по теории касания кривых | 107
|
Глава 3. Теория кривизны плоских кривых | 114
|
3.1. Соприкасающаяся окружность | 114
|
3.2. Построение соприкасающейся окружности предельным переходом | 121
|
3.3. Кривизна | 123
|
3.4. Векторы t, n | 127
|
3.5. Формулы Френе | 129
|
3.6. Эволюта | 131
|
3.7. Эвольвента | 136
|
3.8. Натуральное уравнение кривой | 139
|
Глава 4. Теория кривизны пространственных кривых | 147
|
4.1. Касательные; нормали | 147
|
4.2*. Касание кривой с поверхностью | 154
|
4.3. Точки распрямления | 157
|
4.4. Соприкасающаяся плоскость | 159
|
4.5. Сопровождающий трехгранник | 163
|
4.6. Две леммы об окружности | 167
|
4.7. Соприкасающаяся окружность | 169
|
4.8. Кривизна пространственной кривой | 172
|
4.9. Формулы Френе. Кручение | 173
|
4.10. Вычислительные формулы для кривизны и кручения | 180
|
4.11. Строение кривой вблизи обыкновенной точки | 188
|
4.12*. Соприкасающаяся сфера | 194
|
4.13. Натуральные уравнения | 200
|
Глава 5. Первоначальные сведения по теории поверхностей | 213
|
5.1. Криволинейные координаты на поверхности | 213
|
5.2. Кривые на поверхности | 218
|
5.3. Первая основная квадратичная форма | 222
|
5.4. Вторая основная квадратичная форма на поверхности | 231
|
5.5. Основная формула для кривизны кривой на поверхности | 235
|
5.6. Теорема Менье | 236
|
5.7. Линейная вектор-функция на плоскости | 241
|
5.8. Собственные направления и собственные значения | 243
|
5.9. Основная вектор-функция и главные направления | 247
|
5.10. Исследования кривизны нормальных сечений | 250
|
5.11. Формула Эйлера. Главные кривизны | 252
|
5.12. Вычисление главных кривизн и главных направлений | 255
|
5.13. Три типа точек на поверхности | 259
|
5.14. Вычислительные формулы | 265
|
5.15. Линии кривизны | 268
|
5.16. Асимптотические линии | 274
|
5.17. Третья основная квадратичная форма. Сопряженные направления | 281
|
5.18*. Зависимость между тремя основными квадратичными формами | 285
|
5.19. Сферическое отображение поверхности | 286
|
Глава 6. Линейчатые и развертывающиеся поверхности | 292
|
6.1. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях | 292
|
6.2. Горловая точка | 296
|
6.3. Горловая линия. Строение развертывающейся поверхности | 299
|
6.4*. Параметр распределения | 306
|
6.5. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра | 308
|
6.6. Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства плоскостей | 313
|
6.7*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей | 314
|
6.8*. Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхности | 320
|
6.9. Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой полной кривизны | 322
|
6.10*. Ортогональные траектории развертывающихся поверхностей | 324
|
6.11. Геометрические свойства линий кривизны | 330
|
6.12*. Сопряженные сети на поверхности | 334
|
Глава 7. Внутренняя геометрия поверхности | 340
|
7.1. Понятие об изгибании | 340
|
7.2. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности | 341
|
7.3. Индексные обозначения | 342
|
7.4. Деривационные формулы первой группы | 344
|
7.5*. Деривационные формулы второй группы | 348
|
7.6*. Роль второй квадратичной формы | 350
|
7.7. Теорема Гаусса | 354
|
7.8*. Формулы Петерсона—Кодацци | 358
|
7.9*. Векторы на поверхности | 360
|
7.10*. Градиент скалярного поля на поверхности | 362
|
7.11*. Параллельное перенесение векторов на поверхности | 365
|
7.12*. Свойства параллельного перенесения | 368
|
7.13. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности | 372
|
7.14. Вычисление геодезической кривизны | 375
|
7.15. Геодезические линии на поверхности | 378
|
7.16*. Геодезические линии с точки зрения параллельного перенесения на поверхности | 382
|
7.17*. Полугеодезическая система координат на поверхности | 382
|
7.18*. Экстремальное свойство геодезических | 386
|
7.19*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны | 390
|
7.20*. Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения | 396
|
7.21*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны | 402
|
7.22*. Поверхности вращения постоянной кривизны | 406
|
7.23*. Обнесение вектора по замкнутому контуру | 412
|
Краткие исторические сведения | 422
|
Алфавитный указатель | 426
|
При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т.д.
Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой.
Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия линейчатой поверхности.
Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги
А.З.Рывкину за его исключительно добросовестную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.