Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии Изд. 6

URSS. 2023. 432 с. ISBN 978-5-9710-8066-4.

Серия: Классический учебник МГУ

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 7 вариантов от 1199 р. ››

Аннотация

В настоящей книге, написанной известным отечественным математиком-геометром П.К.Рашевским, излагается учебный курс дифференциальной геометрии. Курс включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применениям к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрии... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к 3-му изданию				7
Введение				8
Глава 1. Первоначальные сведения о кривых на плоскости				10
1.1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой				10
1.2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки				13
1.3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы координаты				19
1.4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Параметрическое представление				25
1.5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные координаты				27
1.6. Строение кривой вблизи особых точек. Основные факты				32
1.7*. Строение кривой вблизи особых точек. Точная теория				38
1.8. Огибающая семейства кривых				51
1.9*. Семейство кривых вблизи данной точки				58
1.10. Асимптоты				64
1.11*. Асимптота как предельное положение касательной				67
1.12. Асимптоты алгебраических кривых				68
Глава 2. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие применения к теории кривых				73
2.1. Определение производной и техника дифференцирования				73
2.2. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой в параметрическом представлении				80
2.3. Достаточный признак обыкновенной точки				81
2.4. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции				83
2.5. Дифференциал вектор-функции				86
2.6. Две леммы				88
2.7. Ряд Тейлора для вектор-функции				90
2.8. Строение параметрически заданной кривой в окрестности произвольной точки				92
2.9. Длина дуги как параметр				97
2.10. Касание кривых				102
2.11*. Дополнительные сведения по теории касания кривых				107
Глава 3. Теория кривизны плоских кривых				114
3.1. Соприкасающаяся окружность				114
3.2. Построение соприкасающейся окружности предельным переходом				121
3.3. Кривизна				123
3.4. Векторы t, n				127
3.5. Формулы Френе				129
3.6. Эволюта				131
3.7. Эвольвента				136
3.8. Натуральное уравнение кривой				139
Глава 4. Теория кривизны пространственных кривых				147
4.1. Касательные; нормали				147
4.2*. Касание кривой с поверхностью				154
4.3. Точки распрямления				157
4.4. Соприкасающаяся плоскость				159
4.5. Сопровождающий трехгранник				163
4.6. Две леммы об окружности				167
4.7. Соприкасающаяся окружность				169
4.8. Кривизна пространственной кривой				172
4.9. Формулы Френе. Кручение				173
4.10. Вычислительные формулы для кривизны и кручения				180
4.11. Строение кривой вблизи обыкновенной точки				188
4.12*. Соприкасающаяся сфера				194
4.13. Натуральные уравнения				200
Глава 5. Первоначальные сведения по теории поверхностей				213
5.1. Криволинейные координаты на поверхности				213
5.2. Кривые на поверхности				218
5.3. Первая основная квадратичная форма				222
5.4. Вторая основная квадратичная форма на поверхности				231
5.5. Основная формула для кривизны кривой на поверхности				235
5.6. Теорема Менье				236
5.7. Линейная вектор-функция на плоскости				241
5.8. Собственные направления и собственные значения				243
5.9. Основная вектор-функция и главные направления				247
5.10. Исследования кривизны нормальных сечений				250
5.11. Формула Эйлера. Главные кривизны				252
5.12. Вычисление главных кривизн и главных направлений				255
5.13. Три типа точек на поверхности				259
5.14. Вычислительные формулы				265
5.15. Линии кривизны				268
5.16. Асимптотические линии				274
5.17. Третья основная квадратичная форма. Сопряженные направления				281
5.18*. Зависимость между тремя основными квадратичными формами				285
5.19. Сферическое отображение поверхности				286
Глава 6. Линейчатые и развертывающиеся поверхности				292
6.1. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях				292
6.2. Горловая точка				296
6.3. Горловая линия. Строение развертывающейся поверхности				299
6.4*. Параметр распределения				306
6.5. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра				308
6.6. Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства плоскостей				313
6.7*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей				314
6.8*. Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхности				320
6.9. Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой полной кривизны				322
6.10*. Ортогональные траектории развертывающихся поверхностей				324
6.11. Геометрические свойства линий кривизны				330
6.12*. Сопряженные сети на поверхности				334
Глава 7. Внутренняя геометрия поверхности				340
7.1. Понятие об изгибании				340
7.2. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности				341
7.3. Индексные обозначения				342
7.4. Деривационные формулы первой группы				344
7.5*. Деривационные формулы второй группы				348
7.6*. Роль второй квадратичной формы				350
7.7. Теорема Гаусса				354
7.8*. Формулы Петерсона—Кодацци				358
7.9*. Векторы на поверхности				360
7.10*. Градиент скалярного поля на поверхности				362
7.11*. Параллельное перенесение векторов на поверхности				365
7.12*. Свойства параллельного перенесения				368
7.13. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности				372
7.14. Вычисление геодезической кривизны				375
7.15. Геодезические линии на поверхности				378
7.16*. Геодезические линии с точки зрения параллельного перенесения на поверхности				382
7.17*. Полугеодезическая система координат на поверхности				382
7.18*. Экстремальное свойство геодезических				386
7.19*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны				390
7.20*. Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения				396
7.21*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны				402
7.22*. Поверхности вращения постоянной кривизны				406
7.23*. Обнесение вектора по замкнутому контуру				412
Краткие исторические сведения				422
Алфавитный указатель				426

Предисловие к 3-му изданию

При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т.д.

Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой.

Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия линейчатой поверхности.

К курсу присоединены также исторические сведения.

Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги А.З.Рывкину за его исключительно добросовестную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.

Автор

Об авторе

Рашевский Петр Константинович

Выдающийся советский математик-геометр. Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил МГУ. Воспитанник школы В. Ф. Кагана. Преподавал в Московском энергетическом институте и в Московском педагогическом институте. До конца жизни заведовал кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ.

П. К. Рашевский — автор многих фундаментальных работ по различным разделам геометрии: римановой, аффинной, дифференциальной, по созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, и другим. Им были написаны учебники и монографии в области геометрии и математической физики: "Риманова геометрия и тензорный анализ" (М.: URSS), "Курс дифференциальной геометрии" (М.: URSS), "Геометрическая теория уравнений с частными производными" (М.: URSS), "Теория спиноров" (М.: URSS). Первые две книги переведены на испанский язык. Ученики П. К. Рашевского, входившие в созданную им школу, развивали также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления.