URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Аффинная геометрия: Идеи и методы высшей (аффинной) геометрии без отрыва от элементарной геометрии Обложка Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Аффинная геометрия: Идеи и методы высшей (аффинной) геометрии без отрыва от элементарной геометрии
Id: 294144
699 р.

Аффинная геометрия:
Идеи и методы высшей (аффинной) геометрии без отрыва от элементарной геометрии. Изд. 2

URSS. 2023. 248 с. ISBN 978-5-9710-5997-4.
Типографская бумага

Аннотация

В настоящей книге авторы преподносят идеи и методы высшей (аффинной) геометрии без отрыва от элементарной геометрии. В пособии приводится около 400 задач по элементарной геометрии, решаемых с помощью аффинных и проективных преобразований.

Книга рекомендуется студентам и преподавателям физико-математических факультетов (в первую очередь педагогических вузов), руководителям школьных математических кружков, всем, кто начинает изучать высшую... (Подробнее)


Содержание
top
Предисловие к первому изданию3
Введение9
Задачи (1—8)18
Часть первая. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ23
Глава I. Аффинные преобразования и аффинная геометрия23
§ 1. Параллельное проектирование плоскости на плоскость23
1. Параллельное проектирование и его свойства23
2. Основная теорема о параллельном проектировании29
Задачи (9—26)32
§ 2. Аффинные преобразования плоскости34
3. Определение и примеры34
Задачи (27—33)40
4. Свойства аффинных преобразований40
5. Аффинные преобразования первого и второго рода46
6. Основная теорема теории аффинных преобразований49
7. Конструктивное описание аффинных преобразований50
Задачи (34—40)54
8. Группа аффинных преобразований. Аффинная геометрия55
Задачи (41—49)58
9. Аффинная геометрия как самостоятельная наука60
Задачи (50—55)69
§ 3. Аффинные координаты и аналитическое представление аффинных преобразований70
10. Аффинные координаты70
Задачи (56—64)76
11. Аналитическое представление аффинных преобразований78
Задачи (65—67)82
12. Аналитический вывод свойств аффинных преобразований82
Задачи (68—70)86
13. Аффинные преобразования в пространстве; пространственная аффинная геометрия87
Задачи (71—74)90
Глава II. Аффинные свойства эллипса, гиперболы и параболы91
§ 1. Эллипс91
14. Определение и простейшие свойства эллипса91
Задачи (75—96)99
15. Эллипс как сечение прямого кругового цилиндра102
Задачи (97—100)103
16. Эллиптический поворот103
Задачи (101—109)108
17. «Параллельная проекция» евклидовой геометрии109
Задачи (110—113)111
§ 2. Гипербола112
18. Равносторонняя гипербола112
Задачи (114—116)116
19. Гиперболический поворот116
Задачи (117—128)125
20. Гипербола общего вида126
Задачи (129—137)131
21. Гипербола как эталон измерения длин; псевдоевклидова геометрия132
Задачи (138—148)136
§ 3. Парабола138
22. Определение параболы138
Задачи (149—150)140
23. Параболический поворот141
Задачи (151—174)145
24. Аффинные преобразования параболы148
Задачи (175—177)150
§ 4. Площади, ограниченные гиперболой и параболой. Гиперболические функции151
25. Площадь гиперболической трапеции; геометрическая теория логарифмов151
Задачи (178—186)158
26. Площадь параболической трапеции160
Задачи (187—191)163
27*. Тригонометрия равносторонней гиперболы. Гиперболические функции164
Задачи (192—197)171
28*. Связь между гиперболическими и показательной функциями172
Задачи (198—199)174
§ 5. Элементы аффинной аналитической геометрии. Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка174
29. Аналитические определения эллипса, гиперболы,параболы174
Задачи (200—203)176
30. Аффинная классификация кривых второго порядка177
Задачи (204—207)182
31. Геометрические свойства кривых второго порядка; теория диаметров182
Задачи (208—211)186
§ 6. Элементы (экви)аффинной дифференциальной геометрии. Эллипс, гипербола, парабола как кривые постоянной аффинной кривизны187
32. Некоторые сведения из векторной алгебры187
Задачи (212—220)194
33. Дифференциальная геометрия плоских кривых (начало)195
Задачи (221—228)200
34. Дифференциальная геометрия плоских кривых (окончание)203
Задачи (229—234)214
Ответы и указания к решению задач. Введение215
Глава I216
Глава II220

Предисловие к первому изданию
top

Эта книга, состоящая из трех частей, задумана как учебное пособие по курсу «Проективная геометрия», изучаемому в педагогических институтах. Она содержит разнообразный материал, связанный с идеями и методами аффинной и проективной геометрии. В книге излагаются изучаемые в педагогическом институте основные факты двумерной аффинной и проективной геометрии, причем эти факты, как правило, освещаются с нескольких различных точек зрения (так, например, принцип двойственности получает три разные трактовки, исторически связанные с именами Ж. В. Понселе, Ж. Д. Жергонна и А. Ф. Мебиуса); третья часть книги содержит также довольно обстоятельное изложение неевклидовой геометрии Лобачевского. Особое внимание уделено идеям теоретико-группового обоснования геометрии и Эрлангенской программе Ф.Клейна, поскольку ознакомление студентов с теоретико-групповой точкой зрейия на геометрию является одной из основных целей курса проективной геометрии в педагогическом институте.

В намерения авторов не входило, однако, создание еще одного учебника проективной геометрии, каких в настоящее время на русском языке имеется уже немало. Установки, которыми мы руководствовались, были совсем иными. Настоящая книга предназначена для студентов (и преподавателей) педагогических институтов — и именно это обстоятельство играло руководящую роль как при отборе материала, так и при выборе метода изложения. В нашей методической литературе неоднократно высказывалась мысль о желательности большего приближения читаемых в пединститутах математических курсов к запросам школьного преподавания; один из авторов настоящей книги также участвовал в свое время в написании довольно обстоятельной статьи), пропагандирующей эту мысль. Однако мы убеждены, что идеи такого рода не могут быть раскрыты в методической статье, а требуют для своей реализации обстоятельного учебного руководства. Настоящая книга и демонстрирует, как нам представляется, один из возможных вариантов приближения преподавания математики в педагогическом институте к интересам будущего учителя математики.

Главной особенностью этой книги, отличающей ее от других учебных руководств, является то, что идеи и методы высшей (аффинной и проективной) геометрии здесь преподносятся без отрыва от геометрии элементарной. Перефразируя название замечательной книги Ф. Клейна (также обращенной к настоящим и будущим учителям математики средней школы), можно сказать, что мы стремились излагать «высшую математику с точки зрения элементарной».

Многие из рассматриваемых в этой книге вопросов (изучение свойств треугольников и четырехугольников, теорию построений с помощью одной линейки, геометрическую теорию логарифмов, тригонометрию гиперболы и т. д.) смело можно отнести к элементарной геометрии, или, шире, к элементарной математике. При этом связь с элементарной геометрией отнюдь не исчерпывается включением в книгу отдельных тем, близких по духу или по содержанию школьному курсу геометрии,—она определяет общий подход к материалу, всю систему его изложения. Так мы на первых порах больше говорим об аффинных и проективных теоремах элементарной геометрии, чем о соответствующих геометриях; другими словами, аффинная и проективная геометрии первоначально выступают у нас лишь как некоторые разделы той геометрии, которую проходят (и преподают) в средней школе. Эти разделы отличаются от «школьной» геометрии вовсе не объектом исследования, а лишь специфическими методами, связанными с использованием аффинных и проективных преобразований (причем последние также не появляются в этой книге сразу в своем обычном обличий, далеком от привычных для элементарной геометрии точек зрения, — сначала они вводятся как отображения, получаемые в результате элементарной операции параллельного или центрального проектирования одной плоскости на другую). Лишь постепенно читатель подводится к мысли о том, что рассматриваемые элементарно-геометрические теоремы можно выделить из рамок элементарной геометрии, после чего они составят содержание самостоятельной геометрической дисциплины, которую можно описать, указав группу преобразований, играющих в новой «геометрии» роль движений. В соответствии с изложенными общими установками вся теория конических сечений —как аффинная, так и проективная,— также строится в этой книге фактически в рамках элементарной геометрии.

Из сказанного видно, что изложение основ аффинной и проективной геометрии начинается в этой книге с демонстрации тех выгод, которые можно извлечь из новых идей, оставаясь в рамках элементарной геометрии,—именно эта сторона дела должна быть, как нам кажется, в первую очередь уяснена будущим учителем математики. Однако такой порядок изложения связан и с довольно серьезными потерями, хорошо нами сознаваемыми. Принятый нами путь вынуждает далеко отодвинуть создание «внутренних» методов аффинной и проективной геометрии, т. е. методов, не апеллирующих к чуждым для этих наук соображениям, заимствованным из арсенала средств элементарной (метрической) геометрии. Можно сказать, что для этой книги характерны как раз «неаффинные» и «непроективные» доказательства аффинных и проективных теорем. Построение же аффинной и проективной геометрии чисто внутренними методами излагается (и притом довольно бегло, эскизно) лишь впоследствии, когда основной фактический материал каждой из этих геометрий уже известен читателю.

Студент педагогического института, прослушавший курс проективной геометрии, построенный по рекомендуемому нами плану» будет лучше, чем студенты, прослушавшие обычный курс, разбираться в характере отдельных предложений школьного курса геометрии и сумеет применить полученные знания для решения элементарно-геометрических задач, хотя, быть может, студенты, прослушавшие обычный курс, будут лучше представлять себе структуру проективной геометрии как самостоятельной научной дисциплины, независимой от геометрии Евклида. Хорошо понимая важность идеи о существовании ряда независимых геометрий, мы вовсе не склонны нигилистически отрицать значение традиционного курса проективной геометрии и призывать к повсеместной замене его курсом, построенным по нашей схеме. Однако практический опыт преподавания убеждает нас, что студенты пединститутов с большим интересом относятся к курсу, построенному в соответствии с этой книгой, и лучше усваивают его — обстоятельство, которое, возможно, доставит такому курсу известное преимущество перед обычным. Преподавателю, ведущему преподавание по этой книге, мы склонны рекомендовать никоим образом не пренебрегать заложенными здесь возможностями подчеркнуть пути построения аффинной и проективной геометрии как самостоятельных наук (здесь в первую очередь хочется указать на разделы книги, посвященные аксиоматическому построению аффинной и проективной геометрии). С другой стороны, и при преподавании по принятой в настоящее время программе может оказаться возможным использовать кое-что из собранного здесь материала для сближения проективной геометрии с элементарной.

Отказ от написания учебника, строго следующего программе курса педагогического института, предоставил нам значительные возможности для пополнения книги необязательным, „факультативным" материалом, — и мы постарались не пренебречь этой возможностью. Многие пункты и даже параграфы, обозначенные в книге звездочкой, отклоняются довольно значительно от основной линии изложения и свободно могут быть опущены при первом чтении. Частично здесь содержится материал, включение которого преследовало цель еще более сблизить книгу с элементарной математикой: в качестве примера можно указать на синтетическую теорию гиперболических функций, на использование проективных преобразований для доказательства теорем Чевы и Менелая или на применение проективной теории конических сечений к «геометрии треугольника». С другой стороны, мы стремились полнее осветить содержание аффинной и проективной геометрии, рассматриваемых как отдельные ветви геометрической науки: этой цели посвящено изложение элементов аффинной и проективной аналитической геометрии и (быть может, несколько неожиданные для элементарного учебника) параграфы, посвященные элементам аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Весьма важным для будущего учителя математики мы считаем принципиальный вопрос о связи теоретико-групповой точки зрения на геометрию с «принципами относительности» в физике, иллюстрируемый в третьей части геометрической трактовкой классической кинематики Ньютона и изложением идей специальной теории относительности Эйнштейна. Характер „дополнений" к основному тексту книги имеют также заключительные замечания в конце отдельных пунктов, напечатанные мелким шрифтом.

Стремление к определенной широте охвата предмета и включение большого дополнительного материала привело к значительному увеличению объема книги; это вынудило нас к почти полному отказу от освещения аффинной и проективной геометрии в пространстве, с идейной стороны содержащей сравнительно мало нового. Большой объем книги делает невозможным изложение всего ее материала в рамках одного лекционного курса проективной геометрии; на базе этой книги можно строить разные варианты курса, испытанные нами в разные годы и в разных педагогических институтах (Орехово-Зуевском, Шахтинском, Московском имени В. И. Ленина, Московском заочном). Дополнительный материал (в том числе и материал, отнесенный нами в задачи) может быть использован для курсовых работ студентов, в специальных курсах и на спецсеминарах. Кое в чем эта книга, возможно, окажется полезной и для лиц, ведущих преподавание по курсу аналитической геометрии (от последнего курса книга практически совсем не зависит) и оснований геометрии.

Основная направленность книги отразилась и на содержании приведенных в ней задач. Здесь собрано очень много задач по элементарной геометрии, решаемых с использованием аффинных и проективных преобразований. Так, первая и вторая части aкниги начинаются с применений параллельного и центрального проектирования к решению обычных, „школьных" задач; аффинная теория эллипса, гиперболы, параболы и проективная теория конических сечений также сразу же используется для доказательства элементарно-геометрических предложений и т. д. В качестве примера можно указать, скажем, на задачи 128 п. 19, 173 а) и б) п. 23, 168 того же п. 23 или на отмеченную в задаче 137 б) п. 20 возможность вывести элементарную теорему Гаусса (задача 25 п. 2) из свойств эллипсов и гипербол — во всех этих случаях речь идет о довольно тонких предложениях „школьного" типа, которые с раскрытой здесь более глубокой точки зрения преобретают новое, весьма прозрачное содержание. Отметим, наконец, большое внимание, уделяемое в задачах и в тексте принципиальным вопросам теории геометрических построений.

«Неэлементарные» по своей формулировке задачи также подбирались с таким расчетом, чтобы они способствовали повышению элементарно-геометрической культуры читателя.. Многие задачи книги наряду с «неэлементарной» допускают и «элементарную» формулировку; так, например, большинство задач IV главы, трактующей о проективных свойствах конических сечений, остаются содержательными и тогда, когда под «коническим сечением» понимается просто окружность. В условиях задач (а частично и в тексте) многократно встречаются одни и те же теоремы элементарной геометрии, знание которых представляется нам полезным для будущего учителя и которые мы поэтому стремились осветить с разных точек зрения: теоремы Чевы и Менелая, теоремы об окружности девяти точек, о прямой Симеона и др. Чтобы облегчить читателю решение задач, в конце книги к задачам даются краткие указания и ответы (там, где это возможно). Более трудные задачи, отмеченные в тексте звездочкой, сопровождаются иногда довольно подробными указаниями; впрочем, и здесь читателю зачастую придется проявить известную самостоятельность в доведении решения задачи до конца.

Несмотря на то что время, отводимое существующим учебным планом педагогического института, позволяет разобрать на практических занятиях по проективной геометрии лишь весьма небольшую часть приведенных в этой книге задач (одна только первая часть книги фактически содержит около 400 задач), мы считаем задачи весьма существенной частью книги и рассчитываем, что ни один читатель — будь то преподаватель или студент — не пройдет мимо них. Почти каждый из пунктов, на которые разбита книга, сопровождается задачами, — и они отнюдь не являются лишь приложением, которое можно свободно опустить. Выше уже отмечалось, что одна из основных целей книги заключается в том, чтобы научить читателя применять аффинные и проективные преобразования для решения геометрических задач, — но ясно, что без практических упражнений эта цель никак не может быть достигнута. Задачи иллюстрируют почти каждое содержащееся в тексте утверждение, иногда дополняя и развивая его; в отдельных случаях в задачах предлагается доказать тот или иной факт, лишь отмеченный в основном тексте, и соответственно этому в тексте книги довольно часто встречаются прямые ссылки на сопровождающие изложение задачи. Иной раз содержащееся в задачах дальнейшее развитие основной линии изложения является довольно существенным или идет довольно далеко; в качестве примеров здесь можно указать на уточнения основных теорем, дающих конструктивное описание аффинных и проективных преобразований плоскости, или на аффинную (не эквиаффинную!) дифференциальную геометрию на плоскости, освещенную только в задачах. В таких случаях на задачи можно смотреть как на дополнение развиваемой теории и не решать их самостоятельно, а сразу разбирать приведенные в конце книги указания. Однако основную часть задач составляют не слишком сложные упражнения, предназначенные для самостоятельного решения учащимися.

Авторы вообще склонны придавать решению задач в курсе проективной геометрии педагогического института очень большое значение. Навык . в решении задач по элементарной математике, в частности по элементарной геометрии, настолько важен для учителя математики, что его необходимо развивать и укреплять в течение всего периода обучения в институте; ограничиваться тут только курсом элементарной математики было бы глубоко неправильно. И упражнения по курсу проективной геометрии представляют, как нам кажется, превосходные возможности для дополнительной тренировки в решении элементарно-геометрических задач.

Внимательный читатель отметит влияние, оказанное на эту книгу первым томом „Аналитической геометрии" Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова (М.—Л., Гостехиздат, 1948) и вторым томом „Геометрических преобразований" И. М. Яглома (М., Гостехиздат, 1956). Широко использованы здесь, в частности, задачи, собранные в посвященной аффинной и проективной геометрии III главе книги „Геометрические преобразования".

Рукопись книги была очень внимательно прочитана А. М. Ягломом, строгая критика которого бесспорно пошла книге на пользу. Ряд ценных замечаний сделал Г. Б. Гуревич, также ознакомившийся с рукописью. Много выиграла книга (особенно ее отдел задач) от нашего общения с таким глубоким знатоком элементарной и синтетической геометрии, как 3. А. Скопец. Высоко склонны мы ценить компетентную редакцию В. В. Гольдберга и помощь, оказанную нам Т. Е. Ашкинуае. Много инициативы проявил П. М. Николаев при изготовлении чертежей. Всем этим лицам мы рады выразить здесь нашу искреннюю признательность.

И. М. Яглом, В. Г. Ашкинузе.

1962 г.


Об авторах
top
photoЯглом Исаак Моисеевич
Выдающийся советский математик и педагог, автор популярных учебных и образовательных книг по математике. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Свердловский университет в 1942 г.; учился в аспирантуре переехавшего тогда в Свердловск Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова под руководством заведующего кафедрой дифференциальной геометрии В. Ф. Кагана. Преподавал математику в различных вузах, в том числе в МГУ имени М. В. Ломоносова и Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина.

Будучи блестящим ученым, педагогом и популяризатором науки, И. М. Яглом написал более 40 книг, многие из которых стали классическими не только в нашей стране, но и за рубежом. Он один из соавторов знаменитого трехтомника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ставшего на долгие годы основным руководством для многих любителей математики. Кроме популярных математических задачников и пособий, И. М. Яглом выпустил ряд работ по истории математики, в которых исследовались связи математики с естественными и гуманитарными науками, а также ее роль в жизни общества.

photoАшкинузе Владимир Георгиевич
Советский математик. Один из инициаторов открытия в СССР в 1960-е годы математических школ, для которых сам разрабатывал программы и учебники. Внес значительный вклад в открытие и изучение полуправильных многогранников. Тринадцать многогранников были открыты еще Архимедом. Прошло более двух тысяч лет, и в конце 50-х — начале 60-х годов XX века в ряду архимедовых тел была обнаружена брешь. В. Г. Ашкинузе был первым из математиков (публикация 1957 г.), которые, находясь в разных странах, практически одновременно и независимо друг от друга указали четырнадцатый многогранник, удовлетворяющий определению архимедова тела.