Галеев Э.М. Оптимизация:
Теория, примеры, задачи. Изд. стереотип. (6-му, испр.)

2025. 340 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Аннотация

Настоящая книга посвящена важнейшим проблемам оптимизации; в ее основе лежат курсы и спецкурсы по теории оптимизации, прочитанные автором на механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова. Рассматриваются фрагменты следующих разделов теории экстремальных задач: линейного и выпуклого программирования, математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления. Приводятся как необходимые, так... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие ко второму и третьему изданиям				9
Предисловие				10
Введение				13
Глава 1. Экстремальные задачи				15
§ 1. Конечномерные задачи без ограничений				15
1.1. Постановка задачи				15
1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума				15
1.2.1. Функции одной переменной				15
1.2.2. Функции нескольких переменных				18
1.2.3. Теорема Вейерштрасса и следствие из нее				20
1.2.4. Критерий Сильвестра				20
1.2.5. Метод Ньютона (метод касательных)				21
1.3. Правило решения				23
1.4. Примеры				24
1.5. Задачи				30
§ 2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами				31
2.1. Постановка задачи				31
2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума				32
2.2.1. Принцип Лагранжа				32
2.2.2. Конечномерная теорема об обратной функции				34
2.2.3. Необходимое условие экстремума II порядка				34
2.2.4. Достаточное условие экстремума II порядка				35
2.3. Правило решения				37
2.4. Примеры				38
2.5. Задача Аполлония				39
2.6. Задачи				42
§ 3. Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами				43
3.1. Постановка задачи				43
3.2. Необходимые и достаточные условия экстремума				43
3.2.1. Принцип Лагранжа				43
3.2.2. Необходимое условие экстремума II порядка				44
3.2.3. Достаточное условие экстремума II порядка				45
3.3. Правило решения				46
3.4. Примеры				47
3.5. Задачи				49
§ 4. Выпуклые задачи				51
4.1. Элементы выпуклого анализа. Субдифференциал				51
4.2. Теоремы отделимости				54
4.3. Задачи без ограничений				55
4.4. Задачи с ограничением				56
4.5. Задача выпуклого программирования				56
4.6. Задачи, упражнения				61
§ 5. Элементы функционального анализа				62
5.1. Нормированные и банаховы пространства				62
5.1.1. Определение пространств				62
5.1.2. Произведение пространств				64
5.1.3. Примеры банаховых пространств				64
5.1.4. Сопряженное пространство, оператор				65
5.2. Определения производных				65
5.2.1. Производная по направлению				66
5.2.2. Вариация по Лагранжу				66
5.2.3. Производная Гато				66
5.2.4. Производная Фреше				67
5.2.5. Строгая дифференцируемость				67
5.2.6. Частные производные				68
5.2.7. Производные высших порядков				68
5.2.8. Контрпримеры на дифференцируемость				69
5.3. Некоторые теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах				71
5.3.1. Теорема о суперпозиции				71
5.3.2. Формула Тейлора				74
5.3.3. Теорема о среднем				74
5.3.4. Теорема о полном дифференциале				77
5.4. Дополнительные сведения из алгебры и функционального анализа				78
5.5. Задачи				84
§ 6. Гладкая задача без ограничений				86
6.1. Постановка задачи				86
6.2. Необходимые условия I порядка				86
6.3. Необходимые и достаточные условия II порядка				87
§ 7. Гладкая задача с равенствами				89 7.1. Постановка задачи\|\|89
7.2. Необходимые условия I порядка				89
7.3. Необходимые условия II порядка				91
7.4. Достаточные условия II порядка				92
§ 8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами				93
8.1. Постановка задачи				93
8.2. Необходимые условия I порядка				93
8.3. Необходимые условия II порядка				97
8.4. Достаточные условия II порядка				102
§ 9. Элементы общей теории поля				108
Ответы к задачам главы 1				110
Глава 2. Линейное программирование				117
§ 1. Симплекс- метод				118
1.1. Постановки задач. Геометрическая интерпретация				118
1.2. Правило решения задач по симплекс- методу				120
1.3. Примеры				123
1.4. Задачи				127
§ 2. Двойственность в линейном программировании				128
2.1. Элементы выпуклого анализа. Преобразование Лежандра				128
2.2. Примеры				129
2.3. Вывод двойственных задач				131
2.3.1. Вывод задачи двойственной к задаче в общей форме				131
2.3.2. Вывод задачи двойственной к двойственной задаче для задачи линейного программирования в общей форме				132
2.3.3. Вывод задачи двойственной к задаче в канонической форме				133
2.3.4. Упражнения				133
§ 3. Обоснование симплекс- метода				134
3.1. Теоремы существования, двойственности, критерий решения				134
3.2. Свойства множества допустимых точек				137
3.3. Доказательство симплекс- метода				139
§ 4. Методы нахождения начальной крайней точки				142
4.1. Переход к решению двойственной задачи				142
4.2. Метод искусственного базиса				144
4.3. Примеры				147
4.4. Задачи				153
§ 5. Транспортная задача				154
5.1. Постановка задачи				154
5.2. Особенности задачи				156
5.3. Методы нахождения начальной крайней точки				157
5.4. Метод потенциалов				162
5.5. Примеры транспортных задач				163
5.6. Задача двойственная к транспортной задаче				170
5.7. Обоснование метода потенциалов решения транспортной задачи				171
5.8. Задача о назначении. Пример				173
5.9. Задачи				175
Ответы к задачам главы 2				176
Глава 3. Вариационное исчисление				178
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления				179
1.1. Постановка задачи				179
1.2. Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления				179
1.3. Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дюбуа-Реймона				181
1.4. Векторный случай				183
1.5. Интегралы уравнения Эйлера				184
1.6. Примеры				184
1.7. Задачи				185
§ 2. Задача Больца				190
2.1. Постановка задачи				190
2.2. Необходимое условие экстремума				191
2.3. Многомерный случай				192
2.4. Пример				193
2.5. Задачи Больца				195
§ 3. Задача с подвижными концами				196
3.1. Постановка задачи				196
3.2. Hеобходимые условия экстремума				197
3.3. Пример				197
3.4. Задачи с подвижными концами				199
§ 4. Изопериметрическая задача				202
4.1. Постановка задачи				202
4.2. Необходимое условие экстремума				203
4.3. Пример				205
4.4. Задача Дидоны				206
4.5. Изопериметрические задачи				208
§ 5. Задача со старшими производными				211
5.1. Постановка задачи				211
5.2. Вывод уравнения Эйлера—Пуассона с помощью леммы Лагранжа				212
5.3. Вывод уравнения Эйлера—Пуассона с помощью леммы Дюбуа-Реймона				213
5.4. Пример				215
5.5. Задачи со старшими производными				217
§ 6. Задача Лагранжа				220
6.1. Постановка задачи				220
6.2. Необходимые условия экстремума				221
6.3. Примеры				225
6.4. Вывод уравнения Эйлера—Пуассона из теоремы Эйлера—Лагранжа				228
6.5. Задачи Лагранжа				229
Ответы к задачам главы 3				235
Глава 4. Задачи оптимального управления				247
§ 1. Принцип максимума Понтрягина в общем случае				248
1.1. Постановка задачи				248
1.2. Формулировка теоремы				249
1.3. Пример				250
§ 2. Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом				253
§ 3. Избранные задачи оптимального управления				258
3.1. Простейшая задача о быстродействии				258
3.2. Аэродинамическая задача Ньютона				262
3.3. Примеры задач оптимального управления				266
3.4. Задачи оптимального управления				271
Ответы к задачам главы 4				275
Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении				281
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления				281
1.1. Сильный и слабый экстремум				281
1.2. Пример слабого, но не сильного экстремума				282
1.3. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса				284
1.4. Необходимые и достаточные условия слабого и сильного экстремума				287
1.4.1. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса				287
1.4.2. Необходимое условие сильного экстремума — неравенство ( )				290
1.4.3. Необходимые условия сильного экстремума				293
1.4.4. Лемма о скруглении углов				294
1.4.5. Необходимые условия слабого экстремума				295
1.4.6. Поле экстремалей				297
1.4.7. Достаточные условия слабого экстремума				303
1.4.8. Достаточные условия сильного экстремума				303
1.4.9. Квадратичный функционал				304
1.5. Правило решения				306
1.6. Примеры				308
1.7. Задачи				312
§ 2. Задача Больца				316
2.1. Сильный и слабый экстремум				316
2.2. Условия экстремума II порядка				316
2.2.1. Необходимые условия слабого экстремума				316
2.2.2. Достаточные условия сильного экстремума				319
2.2.3. Квадратичный функционал				322
2.3. Пример				324
Ответы к задачам главы 5				326
Список литературы				330
Список обозначений				331
Предметный указатель				333

Об авторе

Галеев Эльфат Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 200 работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач, теории аппроксимации и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ и подготовке к ЕГЭ.

Галеев Э.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи. Изд. стереотип. (6-му, испр.)

Аннотация

Галеев Э.М. Оптимизация:
Теория, примеры, задачи. Изд. стереотип. (6-му, испр.)