Обложка Белоновский П.Д. Основы теоретической арифметики
Id: 292873
835 руб.

Основы теоретической арифметики. Изд. 2

URSS. 2023. 184 с. ISBN 978-5-9519-3498-7.
Типографская бумага
  • Твердый переплет
Натуральное число и множество • Отрицательные числа и дроби • О делимости чисел • Иррациональные числа • Комплексные числа.

Аннотация

Книга включает в себя следующие разделы: "Натуральное число и множество", "Отрицательные числа и дроби", "О делимости чисел", "Иррациональные числа", "Комплексные числа", и предназначена в первую очередь для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. Пособие будет также полезно преподавателям соответствующих дисциплин, учителям математики и всем, кто интересуется учением о числе и теорией чисел. (Подробнее)


Оглавление
Глава I. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО И МНОЖЕСТВО5
§ 1. Число как основное понятие математики5
§ 2. Натуральное число и множество6
§ 3. Основные арифметические действия и законы13
§ 4. Проблемы счета и нумерации. Псаммит Архимеда20
§ 5. Бесконечные множества и их простейшие свойства25
Глава II. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ33
§ 1. О характере эволюции понятия числа33
§ 2. Из истории отрицательного числа34
§ 3. Формальная теория отрицательных чисел как пар первой ступени38
§ 4. Обыкновенные дроби как пары второй ступени47
§ 5. Понятие о модуле, кольце и числовом поле. Счетность множества всех рациональных чисел56
Глава III. О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ60
§ 1. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное60
§ 2. Простые и составные числа69
§ 3. Единственность разложения на простые множители74
§ 4. Эйлерово доказательство неограниченности ряда простых чисел76
§ 5. Основные теоремы о сравнениях78
§ 6. О некоторых признаках делимости82
§ 7. Эйлерова функция φ(n)83
§ 8. Классы чисел по модулю m. Сравнения первой степени87
§ 9. О решении сравнений по простому модулю. Теорема Вильсона91
§ 10. О вычетах степеней95
§ 11. Периодические десятичные дроби97
§ 12. Конечные непрерывные дроби103
Глава IV. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА121
§ 1. Проблема иррационального числа. Исторические факты121
§ 2. Сечения в поле рациональных чисел122
§ 3. Множество действительных чисел126
§ 4. Сечения во множестве действительных чисел129
§ 5. Теоремы о верхней и нижней гранях точечных множеств132
§ 6. Арифметические операции с действительными числами137
§ 7. Бесконечные десятичные дроби141
§ 8. О мощности множества действительных чисел145
§ 9. Бесконечные непрерывные дроби149
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА158
§ 1. Из истории комплексного числа158
§ 2. Теория комплексных чисел как пар третьей ступени163
§ 3. Понятие о гиперкомплексных числах и кватернионах170

Глава I. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО И МНОЖЕСТВО. § 1.Число как основное понятие математики

§ 1. Число как основное понятие математики.

Математика — наука о количественных соотношениях и пространственных формах действительного мира. В дальнейшем мы будем иметь в виду, говоря о математике, почти исключительно ту ее сторону, которая исследует количественные соотношения между величинами и притом в абстрактной форме, т. е. независимо от физического, конкретного значения этих величин. Мы не должны, однако, забывать при этом того обстоятельства, что самый процесс абстрагирования производится нами от свойств величин, действительно данных нам в многовековом опыте соприкосновения человека с материальным миром, и что наши количественные абстракции, в том виде, в каком они исторически возникли и развились в математике, обладают поэтому „весьма реальным содержанием" .

Основным орудием, при помощи которого математика изучает и устанавливает количественные соотношения, является понятие числа.

Как и все наши понятия, оно возникло из опыта» Необходимо уже, сейчас подчеркнуть его оперативный характер: числа нужны математике лишь постольку, поскольку над ними устанавливаются и производятся операции сложения, умножения, извлечения корня и т. п. С другой стороны, вне этих операций невозможно никакое количественное изучение отношений между величинами. Таким образом понятие числа есть исходное основное математическое понятие, одним из самых существенных признаков которого является его оперативность. Не менее существенно помнить также о том, что число — это понятие развивающееся, что изучение основ теоретической арифметики вне исторической перспективы не может быть поэтому полным и правильным.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь первых четырех арифметических операций над числами: сложения, вычитания, умножения и деления. Эти четыре действия служат основой для построения всех других, более сложных операций: возвышения в степень, извлечения корня, логарифмирования и т. д.

Понятие числа, в том виде, в каком с ним имеет дело современная математика — очень абстрактное понятие. Оно охватывает такие различные числовые типы, как целые, дробные, отрицательные, иррациональные, мнимые числа. Каким образом объединилось в одном понятии все: это многообразие числовых типов? Как раскрыть содержание понятия числа? Как установить, какие конкретные отношения действительности послужили источником его возникновения?

Обычный путь, на котором большинство математиков пыталось получить ответ на поставленные вопросы, приводил их всегда к требованию дать понятию „число" логически полное определение, свести его к более простым, более первичным, но вполне ясным понятиям.

От определений через аксиомы и постулаты к дедуктивному построению теории — таков ведь установленный еще со времен Эвклида метод изложения математики. Естественно поэтому, что задача нахождения логического определения для одного из основных математических понятий — числа — представлялось в глазах упомянутого большинства математиков одной из важнейших задач обоснования математики.

Однако все попытки дать такое определение числа не привели к удовлетворительным результатам.

Причину этого обстоятельства нужно видеть в том, что эти попытки носили формальный характер, ставили своею целью установить понятие числа a priori, вне всякой связи с опытом.

В действительности нельзя ответить на поставленный выше вопрос о конкретном содержании понятия числа, не обратившись к анализу того многовекового опыта, которому обязано возникновение и развитие этого понятия.


Об авторе
Белоновский Петр Дмитриевич
Российский и советский математик, доктор физико-математических наук, профессор. Брат микробиолога, члена-корреспондента АН СССР Г. Д. Белоновского. Родился в Москве, в семье учителя начальной школы. В 1909 г. окончил механическое отделение Петербургского технического института и перевелся на физико-математический факультет Киевского университета, который окончил в 1913 г. С 1928 г. профессор математики. В 1926–1935 гг. преподавал в Вятском педагогическом институте. С 1930 г. — заведующий кафедрой математики; в 1934 г. — декан физико-математического факультета. В 1935 г. переехал в Ленинград, где позднее стал директором Гидрографического института Главного управления Северного морского пути.

П. Д. Белоновский читал курсы по математическому анализу, аналитической геометрии, интегральным и дифференциальным уравнениям, высшей алгебре, астрономии, занимался организационной работой в возглавляемом им институте.