Гребенча М.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
Курс математического анализа для педагогических вузов. Изд. 2

Оглавление

Предисловие

Диференциальные уравнения начали изучаться создателями анализа бесконечно малых. Интерес к этой ветви анализа все время усиливался главным образом потому, что многие проблемы механики и физики были сведены к рассмотрению диференциальных уравнений. Методы отыскания решений диференциальных уравнений углублялись и расширялись, причем объектами изучения являлись преимущественно те уравнения, решение которых было связано с решением прикладных вопросов.

Основными проблемами являлись получение решений с помощью квадратур и создание приближенных методов (главным образом получение решения в виде бесконечного ряда). Однако все отчетливей выяснялось, что класс уравнений, решение которых сводится к квадратурам, весьма узок и что бесполезно пытаться свести к квадратурам решение всякого уравнения, подобно тому, как безнадежно искать выражение примитивной от любой непрерывной функции с помощью конечного числа элементарных функций.

В связи с этим обстоятельством изучение диференциальных уравнений начинает итти и по другому руслу. Коши устанавливает достаточные признаки существования решения диференциального уравнения. Методы Коши открывают новую страницу в развитии анализа бесконечно малых, так называемую общую теорию диференциальных уравнений. Созданная усилиями крупнейших математиков XIX и XX веков теория представляет собой стройную цепь математических рассуждений, объектами которых являются весьма широкие классы диференциальных уравнений, а целью — доказательство существования решений и установление характера этих решений вне зависимости от возможности получения их с помощью квадратур.

Другая сторона общей теории уравнений, имеющая в математическом анализе исключительное значение, состоит в том, что решения диференциальных уравнений, даже наиболее простых, образуют класс функций, неизмеримо более многообразный, чем, например, класс примитивных от элементарных функций. Изучая особенности и свойства решения по самому уравнению, общая теория, не ограничиваясь качественными методами, позволяет установить и наилучшие способы приближения к решению (последовательные приближения).

Существенно и то, что диференциальные уравнения, к решению которых сводятся проблемы современного естествознания, бывают настолько сложны, что представляется мало вероятным получение решения с помощью конечного числа квадратур; в то же время общая теория позволяет описать эти решения, выявить их особенности, получить решение табличным способом.

Однако было бы ошибочным думать, будто теория интегрирования (сведение к квадратурам) представляет собой устаревшую ветвь анализа бесконечно малых. Общая теория диференциальных уравнений не интересуется возможностью получения решения с помощью конечного числа квадратур. В этом смысле решения уравнения в рамках общих теорем существования унифицированы, ибо рассматриваются как ряды или как пределы сходящейся последовательности функций. Такого рода унификация является, с одной стороны, положительным фактором, ибо может охватить в одном исследовании весьма широкий класс диференциальных уравнений; в то же время такое единообразие явилось бы величайшим тормозом при изучении явлений природы методами анализа, если бы оно было действительно осуществлено.

Проводя последовательно такую точку зрения, мы должны были бы определить решения, например, уравнения у" + у = 0, с помощью бесконечных рядов и, следовательно, не могли бы пользоваться тождественными преобразованиями тригонометрических функций, что привело бы нас к весьма усложненным выкладкам и к затруднениям в выявлении взаимосвязи между различными решениями одного и того же уравнения.

Пример диференциального уравнения Mdx + Ndy = 0 в том случае, когда левая часть есть dy (х, у), убеждает нас в том, что метод интегрирования приводит нас к познанию всей картины решений уравнения, причем мы сможем провести численную обработку любого решения с возможными начальными условиями, чего не могут дать теоремы существования и качественные методы общей теории.

В силу этого обстоятельства при изучении диференциальных уравнений в технике и естествознании предпочитают, насколько это позволяет допускаемая погрешность, заменять заданные уравнения такими, интегрирование которых сводится к конечному числу квадратур.

Чтение лекций по диференциальным уравнениям начинается в педагогических институтах на II курсе, когда еще нет разделения по специальностям физики и математики; вполне естественно, что изложению методов интегрирования должно быть уделено значительное место. Этим достигается и более ранняя подготовка к пониманию курсов физики и механики.

Изложение формальной теории обычно происходит, исходя из рассмотрения диференциального уравнения, получающегося в результате исключения параметров. В предлагаемом курсе проведена иная точка зрения, имеющая, как нам кажется, лучший контакт с общей теорией, каковой уделена меньшая часть книги.

Самое доказательство теоремы существования опущено, хотя формулировка ее дана и используется на протяжении изложения неоднократно. Доказательство теоремы, а равно рассмотрение вопросов, связанных с особыми точками, будет приведено в книге акад. Н. Н.Лузина, относящейся к той же серии „Курс математического анализа", что и данная книга.

К одной из особенностей курса относится рассмотрение линейных уравнений с постоянными коэфициентами без пользования формулами Эйлера. Такое рассмотрение вызвано тем, что упомянутые уравнения изучаются на втором курсе, где рассматриваются ряды лишь с действительными членами; хотя определение функции e^z, где z — число комплексное, не требует большого математического аппарата, но вопросы обоснования операций над в особенности диференциро-вания, связаны с рассмотрением начал теории функций комплексного переменного.

Книга содержит большое количество примеров, поясняющих теорию; хотя это и вызывает увеличение объема книги, однако кажется нам полезным; опыт педагогической работы показывает, что отсутствие иллюстрирующих примеров уменьшает у студентов интерес к курсу, усиливает формальное к нему отношение и, самое главное, не выявляет роли диференциальных уравнений как одного из самых мощных орудий познания действительности.

Автор

Об авторе

Гребенча Михаил Кузьмич

Крупный советский математик и педагог-методист. Профессор. Награжден орденом Трудового Красного Знамени. Отличник народного просвещения РСФСР. После окончания Московского государственного университета в 1919 г. преподавал в Московской горной академии. С 1930 г. заведовал в ней кафедрой высшей математики, занимался вопросами приложений математики к горному делу. Также преподавал в Московском городском педагогическом институте, где организовал математический кружок.

М. К. Гребенча работал в области как теоретической, так и прикладной математики, а также в области методики преподавания математики. Он автор более 30 научных и учебно-методических работ на различные темы. М. К. Гребенча также известен как создатель курса математического анализа для педагогических вузов (совместно с С. И. Новоселовым) и автор ряда учебников, получивших широкое распространение и многократно переиздававшихся, в том числе и за пределами СССР.