|
Оглавление
Глава I. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО И МНОЖЕСТВО. § 1.Число как основное понятие математики
§ 1. Число как основное понятие математики. Математика — наука о количественных соотношениях и пространственных формах действительного мира. В дальнейшем мы будем иметь в виду, говоря о математике, почти исключительно ту ее сторону, которая исследует количественные соотношения между величинами и притом в абстрактной форме, т. е. независимо от физического, конкретного значения этих величин. Мы не должны, однако, забывать при этом того обстоятельства, что самый процесс абстрагирования производится нами от свойств величин, действительно данных нам в многовековом опыте соприкосновения человека с материальным миром, и что наши количественные абстракции, в том виде, в каком они исторически возникли и развились в математике, обладают поэтому „весьма реальным содержанием" . Основным орудием, при помощи которого математика изучает и устанавливает количественные соотношения, является понятие числа. Как и все наши понятия, оно возникло из опыта» Необходимо уже, сейчас подчеркнуть его оперативный характер: числа нужны математике лишь постольку, поскольку над ними устанавливаются и производятся операции сложения, умножения, извлечения корня и т. п. С другой стороны, вне этих операций невозможно никакое количественное изучение отношений между величинами. Таким образом понятие числа есть исходное основное математическое понятие, одним из самых существенных признаков которого является его оперативность. Не менее существенно помнить также о том, что число — это понятие развивающееся, что изучение основ теоретической арифметики вне исторической перспективы не может быть поэтому полным и правильным. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь первых четырех арифметических операций над числами: сложения, вычитания, умножения и деления. Эти четыре действия служат основой для построения всех других, более сложных операций: возвышения в степень, извлечения корня, логарифмирования и т. д. Понятие числа, в том виде, в каком с ним имеет дело современная математика — очень абстрактное понятие. Оно охватывает такие различные числовые типы, как целые, дробные, отрицательные, иррациональные, мнимые числа. Каким образом объединилось в одном понятии все: это многообразие числовых типов? Как раскрыть содержание понятия числа? Как установить, какие конкретные отношения действительности послужили источником его возникновения? Обычный путь, на котором большинство математиков пыталось получить ответ на поставленные вопросы, приводил их всегда к требованию дать понятию „число" логически полное определение, свести его к более простым, более первичным, но вполне ясным понятиям. От определений через аксиомы и постулаты к дедуктивному построению теории — таков ведь установленный еще со времен Эвклида метод изложения математики. Естественно поэтому, что задача нахождения логического определения для одного из основных математических понятий — числа — представлялось в глазах упомянутого большинства математиков одной из важнейших задач обоснования математики. Однако все попытки дать такое определение числа не привели к удовлетворительным результатам. Причину этого обстоятельства нужно видеть в том, что эти попытки носили формальный характер, ставили своею целью установить понятие числа a priori, вне всякой связи с опытом. В действительности нельзя ответить на поставленный выше вопрос о конкретном содержании понятия числа, не обратившись к анализу того многовекового опыта, которому обязано возникновение и развитие этого понятия.
Об авторе
Белоновский Петр Дмитриевич Российский и советский математик, доктор физико-математических наук, профессор. Брат микробиолога, члена-корреспондента АН СССР Г. Д. Белоновского. Родился в Москве, в семье учителя начальной школы. В 1909 г. окончил механическое отделение Петербургского технического института и перевелся на физико-математический факультет Киевского университета, который окончил в 1913 г. С 1928 г. профессор математики. В 1926–1935 гг. преподавал в Вятском педагогическом институте. С 1930 г. — заведующий кафедрой математики; в 1934 г. — декан физико-математического факультета. В 1935 г. переехал в Ленинград, где позднее стал директором Гидрографического института Главного управления Северного морского пути.
П. Д. Белоновский читал курсы по математическому анализу, аналитической геометрии, интегральным и дифференциальным уравнениям, высшей алгебре, астрономии, занимался организационной работой в возглавляемом им институте. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||