Обложка Супрун В.П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения уравнений повышенной сложности. 180 уравнений с подробными решениями
Id: 290289
599 руб.

Математика для старшеклассников:
Нестандартные методы решения УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ. 180 уравнений с подробными решениями Изд. стереотип.

Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения уравнений повышенной сложности. 180 уравнений с подробными решениями
URSS. 2023. 200 с. ISBN 978-5-9519-3442-0.
Типографская бумага

Аннотация

Учебное пособие предназначено старшеклассникам для качественной подготовки к вступительным испытаниям по математике, а также для участия в математических олимпиадах различного уровня.

В пособии предлагаются уравнения повышенной сложности, относящиеся к различным разделам математики. Для каждого из уравнений приводится, как правило, нестандартный метод решения в авторской интерпретации.

В пособии рассматриваются весьма... (Подробнее)


Содержание
Введение4
Глава 1. Сложная подстановка8
Глава 2. Тригонометрическая подстановка44
Глава 3. Введение параметра64
Глава 4. Числовые неравенства82
Глава 5. Монотонность аналитических функций135
Глава 6. Другие нестандартные методы146
Заключение195
Рекомендуемая литература196

Введение

Без знания математики нельзя понять основ современной техники,

ни того, как ученые изучают природные и социальные явления.

Советский математик, академик А. Н. Колмогоров

Среди многочисленных учебных дисциплин математика занимает важное место по причине своей особой социальной значимости. Те учащиеся, которые серьезно относятся к изучению математики, развивают свое мышление и тем самым повышают свой интеллектуальный уровень. Хорошо известно высказывание великого российского ученого XVIII века М. В. Ломоносова «Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Высокий уровень математических знаний позволяет учащимся успешно изучать и другие школьные дисциплины естественно-научного профиля. По мнению великого немецкого философа Иммануила Канта «В каж¬дой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики».

Наряду с обычной школьной математикой существует, так называемая, нестандартная математика, которая включает в себя необычные (неожиданные) методы решения задач повышенной сложности, которые или вообще не изучаются в школах, или изучаются, но только поверхностно. Освоение таких методов решения математических задач способствует развитию нестандартного, креативного мышления учащихся. В будущем такое мышление может быть успешно применимо нынешними школьниками в различных сферах человеческой деятельности, например, в науке, технике, экономике, кибернетике и бизнесе.

В настоящем учебном пособии представлено 180 уравнений повышенной сложности, решение которых основано на применении (как правило) нестандартных методов, т. е. таких методов, изучение которых не входит в программу школьной математики. При этом следует отметить, что здесь были использованы не все существующие нестандартные методы, поскольку таких методов превеликое множество и, естественно, привести их в полном объеме в одном учебном пособии является невыполнимой задачей.

Кроме того, в пособии совсем не рассматриваются неравенства. Это сделано по той причине, что автор считает целесообразным написание второго учебного пособия на тему «Нестандартные методы решения и доказательства неравенств повышенной сложности». В противном случае данное учебное пособие было бы слишком громоздким и перегруженным новыми методами и подходами к решению математических задач, что, в конечном счете, понизило бы уровень удовольствия учащихся, полученное от работы с этим пособием.

Учебное пособие состоит из шести глав, в каждой из которых приведены основные теоретические сведения, уравнения повышенной сложности и их подробное решение.

В первой главе приводятся методы, основанные на применении сложных подстановок. Причем здесь используется принцип: чем сложнее подстановка, тем проще (в смысле решения) уравнение, полученное после ее осуществления. Во второй главе рассматривается частный случай сложной подстановки — тригонометрическая подстановка. Применение такого типа подстановок сводит задачу решения алгебраических уравнений к решению тригонометрических уравнений. При этом необходимо помнить, что тригонометрические уравнения, как правило, имеют бесконечное число корней, а алгебраические — конечное их число. Третья глава посвящена описанию и применению весьма оригинального метода решения уравнений — метода введения параметра. Применение этого метода содержит фактор неожиданности, что может вызвать восторг учащихся. В четвертой главе при решении уравнений используется свойство монотонности (возрастания, убывания) аналитических функций, составляющих обе части уравнений. Использование такого свойства функций позволяет не решать уравнение «до победного конца», а подобрать корень (если он существует) или показать, что его нет вообще. Методы решения уравнений, предлагаемые в пятой главе, основаны на использовании ограниченности левой и правой частей уравнений. При получении верхних и (или) нижних оценок тех или иных математических выражений часто и весьма эффективно используются знаменитые числовые неравенства Коши и Коши—Буняковского. Применение таких методов особенно полезно при решении уравнений в том случае, когда функции, представляющих их левые и правые части, не приспособлены для их совместного исследования, упрощения и преобразования. В последней, шестой главе собраны нестандартные методы, которые не попали в предыдущие главы пособия. Эта глава представляет собой своеобразное ассорти нестандартных и эффектных методов решения сложных уравнений.

Приводимые в настоящем пособии нестандартные подходы к решению уравнений повышенной сложности демонстрируют красоту школьной математики, превращая ее в один из самых любимых школьных предметов. В свою очередь, нестандартная математика оказывает значительное влияние на развитие самостоятельного, креативного и творческого мышления учащейся молодежи и подготовит их к решению различных задач, возникающих в процессе научно-технического и экономического развития нашей страны.

Автор


Об авторе
Супрун Валерий Павлович
Кандидат технических наук, доцент механико-математического факультета Белорусского государственного университета. Область научных интересов — дискретная математика и вычислительная техника. Автор около 350 изобретений в области автоматики и вычислительной техники. Награжден золотой медалью и дипломом Всемирной организации интеллектуальной собственности (ВОИС) как "Лучший изобретатель Беларуси 2006 года". Заслуженный работник Белорусского государственного университета.

Автор 80 научных статей по дискретной математике, а также учебных пособий "Математика для старшеклассников: Задачи повышенной сложности" (М.: URSS), "Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач" (М.: URSS), "Математика для старшеклассников: Методы решения и доказательства неравенств" (М.: URSS), "Математика для старшеклассников: Дополнительные разделы школьной программы" (М.: URSS), "Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения уравнений повышенной сложности" (М.: URSS), "Основы теории булевых функций" (М.: URSS), "Основы математической логики" (М.: URSS). Многие книги автора были переведены и выходили в URSS также на испанском языке.