Горицкий А.Ю., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка

2022. 168 с.

Серия: Классический учебник МГУ

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 1137 р. ››

Аннотация

В книге изучаются уравнения с частными производными первого порядка. Рассмотрены вопросы локального существования гладких решений задачи Коши для линейных, квазилинейных и нелинейных уравнений (в частности, уравнения эйконала). Подробно изложена теория разрывных обобщенных решений для квазилинейного уравнения с одной пространственной переменной. Выведено условие Ранкина—Гюгонио, получено условие допустимости разрыва, введены понятия энтропии... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				5
Введение				6
Глава 1. Вывод уравнений				8
Глава 2. Локальная классическая теория				13
2.1. Линейное уравнение				14
2.2. Квазилинейное уравнение				17
2.3. Характеристики нелинейного уравнения				20
2.4. Задача Коши для нелинейного уравнения				23
2.5. Примеры нелинейных уравнений				26
2.6. Теорема существования решения задачи Коши				29
Глава 3. Уравнение эйконала геометрической оптики				36
3.1. Семейства прямых и их огибающие				38
3.2. Каустика и эволюта				41
3.3. Полукубическая парабола как эволюта параболы обычной				43
3.4. Эволюта кривой, заданной параметрически. Астроида — эволюта эллипса				45
3.5. Волновые фронты				49
3.6. Уравнение волнового фронта				50
3.7. Принцип Гюйгенса				52
3.8. Перестройка волновых фронтов				53
Глава 4. Классические (гладкие) решения задачи Коши и формирование особенностей				57
4.1. Квазилинейное уравнение с одной пространственной переменной				57
4.2. Сведение решения задачи Коши к неявному функциональному уравнению				62
4.3. Условие существования гладкого решения в полосе				64
4.4. Формирование особенностей				66
Глава 5. Обобщенные решения квазилинейного уравнения				70
5.1. Понятие обобщенного решения				70
5.2. Условие Ранкина—Гюгонио				73
5.3. Пример неединственности обобщенного решения задачи Коши в смысле интегрального тождества				83
5.4. Одномерное нелинейное уравнение				86
Глава 6. Понятие обобщенного энтропийного решения				90
6.1. Условие допустимости разрыва в случае выпуклой функции состояния				91
6.2. Метод “исчезающей вязкости”				95
6.3. Понятие энтропии и необратимость процессов				103
6.4. Энергетические оценки				105
6.5. Определение обобщенного решения по Кружкову				109
Глава 7. Задача Римана о распаде разрыва				117
7.1. Уравнение Хопфа				118
7.2. Случай выпуклой функции состояния				121
7.3. Случай невыпуклой функции состояния				124
Глава 8. Уравнение Кортевега—де Фриза				130
8.1. Понятие дисперсии				130
8.2. Солитонные решения				134
8.3. Двух- и многосолитонные решения				139
8.4. Законы сохранения				145
8.5. Законы сохранения для КдФ				147
Глава 9. Некоторые современные задачи				154
9.1. Негладкая функция состояния				154
9.2. Неограниченные начальные условия				157
9.3. Системы квазилинейных уравнений				160
Литература				161

Предисловие

Настоящий учебник написан в продолжение наших кратких учебных пособий [23] и [32]. Идея написания пособия [23] принадлежит Станиславу Николаевичу Кружкову, вклад которого в теорию уравнений с частными производными первого порядка трудно переоценить.

Хочется отметить огромную роль Станислава Николаевича, выдающегося математика и талантливого педагога, в реорганизации курса уравнений с частными производными, который он читал на механико– математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова в конце XX века. По его настоятельной рекомендации курс семинаров был увеличен с полугодового до годового. Были введены новые разделы, среди которых — уравнения с частными производными первого порядка, где изучались локальная классическая теория, возникновение и формирование разрывов у решений за конечное время, обобщенные разрывные решения, ударные волны.

Эта книга была задумана как учебное пособие с большим количеством задач, на примере решения которых излагается существенная часть материала. Нам хотелось сделать книгу, которая помогала бы студентам изучать современные проблемы математической физики в легкой и доступной форме. Отмечая большую роль учебного пособия [25], посвященного уравнениям второго порядка, мы постарались сделать такую же хорошо воспринимаемую студентами книгу по уравнениям с частными производными первого порядка.

Следующее ниже введение мы сохранили практически в том виде, в каком оно было предложено С. Н. Кружковым для [23], несмотря на то, что настоящее издание переписано заново, существенно отличается от [23] и включает в себя ряд новых материалов, прежде всего главы 3 и 8.

Приведенный в конце пособия список литературы разделен на две группы. Первая включает в себя научные статьи и фундаментальные работы, которые мы рекомендуем читать в случае более углубленного изучения темы; вторая часть включает учебники и учебные пособия, предназначенные для студентов.

Авторы благодарны Борису Павловичу Андреянову, профессору университета Безансона (Франция), замечания и комментарии которого сильно улучшили текст настоящего учебника.

Горицкий А. Ю., Чечкин Г. А.,

Москва, 22.02.2022.

Об авторах

Горицкий Андрей Юрьевич

Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1986 г. Кандидат физико-математических наук (1989), доцент (1996). Специалист в области дифференциальных уравнений с частными производными и бесконечномерных динамических систем. С 1988 г. преподает на кафедре дифференциальных уравнений; с 1991 г. — штатный сотрудник кафедры. Автор около 50 научных статей и 5 учебных пособий. Научный руководитель более 30 дипломных работ и 2 кандидатских диссертаций. Лауреат премии Academia Europaea Prize (1997), стипендиат фонда Гумбольдта (2003-2004).

Чечкин Григорий Александрович

Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Автор около 270 научных работ, включая 10 монографий и учебников. Специалист в области дифференциальных уравнений и теории усреднения. Имеет 9 аспирантов, 6 из которых защитили кандидатские диссертации, 7 защитившихся магистрантов, 70 защитившихся дипломников (специалистов и бакалавров). Участник многих международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Руководитель и исполнитель различных научных грантов, руководитель известного семинара по математической физике в МГУ имени М. В. Ломоносова, обладатель премий за выдающиеся научные результаты.