Обложка Горицкий А.Ю., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка
Id: 290240
499 руб. Новинка недели!

Уравнения с частными производными первого порядка

URSS. 2022. 168 с. ISBN 978-5-9710-9878-2.
Типографская бумага

Аннотация

В книге изучаются уравнения с частными производными первого порядка. Рассмотрены вопросы локального существования гладких решений задачи Коши для линейных, квазилинейных и нелинейных уравнений (в частности, уравнения эйконала). Подробно изложена теория разрывных обобщенных решений для квазилинейного уравнения с одной пространственной переменной. Выведено условие Ранкина—Гюгонио, получено условие допустимости разрыва, введены понятия энтропии... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие5
Введение6
Глава 1. Вывод уравнений8
Глава 2. Локальная классическая теория13
2.1. Линейное уравнение14
2.2. Квазилинейное уравнение17
2.3. Характеристики нелинейного уравнения20
2.4. Задача Коши для нелинейного уравнения23
2.5. Примеры нелинейных уравнений26
2.6. Теорема существования решения задачи Коши29
Глава 3. Уравнение эйконала геометрической оптики36
3.1. Семейства прямых и их огибающие38
3.2. Каустика и эволюта41
3.3. Полукубическая парабола как эволюта параболы обычной43
3.4. Эволюта кривой, заданной параметрически. Астроида — эволюта эллипса45
3.5. Волновые фронты49
3.6. Уравнение волнового фронта50
3.7. Принцип Гюйгенса52
3.8. Перестройка волновых фронтов53
Глава 4. Классические (гладкие) решения задачи Коши и формирование особенностей57
4.1. Квазилинейное уравнение с одной пространственной переменной57
4.2. Сведение решения задачи Коши к неявному функциональному уравнению62
4.3. Условие существования гладкого решения в полосе64
4.4. Формирование особенностей66
Глава 5. Обобщенные решения квазилинейного уравнения70
5.1. Понятие обобщенного решения70
5.2. Условие Ранкина—Гюгонио73
5.3. Пример неединственности обобщенного решения задачи Коши в смысле интегрального тождества83
5.4. Одномерное нелинейное уравнение86
Глава 6. Понятие обобщенного энтропийного решения90
6.1. Условие допустимости разрыва в случае выпуклой функции состояния91
6.2. Метод “исчезающей вязкости”95
6.3. Понятие энтропии и необратимость процессов103
6.4. Энергетические оценки105
6.5. Определение обобщенного решения по Кружкову109
Глава 7. Задача Римана о распаде разрыва117
7.1. Уравнение Хопфа118
7.2. Случай выпуклой функции состояния121
7.3. Случай невыпуклой функции состояния124
Глава 8. Уравнение Кортевега—де Фриза130
8.1. Понятие дисперсии130
8.2. Солитонные решения134
8.3. Двух- и многосолитонные решения139
8.4. Законы сохранения145
8.5. Законы сохранения для КдФ147
Глава 9. Некоторые современные задачи154
9.1. Негладкая функция состояния154
9.2. Неограниченные начальные условия157
9.3. Системы квазилинейных уравнений160
Литература161

Предисловие
Настоящий учебник написан в продолжение наших кратких учебных пособий [23] и [32]. Идея написания пособия [23] принадлежит Станиславу Николаевичу Кружкову, вклад которого в теорию уравнений с частными производными первого порядка трудно переоценить.

Хочется отметить огромную роль Станислава Николаевича, выдающегося математика и талантливого педагога, в реорганизации курса уравнений с частными производными, который он читал на механико– математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова в конце XX века. По его настоятельной рекомендации курс семинаров был увеличен с полугодового до годового. Были введены новые разделы, среди которых — уравнения с частными производными первого порядка, где изучались локальная классическая теория, возникновение и формирование разрывов у решений за конечное время, обобщенные разрывные решения, ударные волны.

Эта книга была задумана как учебное пособие с большим количеством задач, на примере решения которых излагается существенная часть материала. Нам хотелось сделать книгу, которая помогала бы студентам изучать современные проблемы математической физики в легкой и доступной форме. Отмечая большую роль учебного пособия [25], посвященного уравнениям второго порядка, мы постарались сделать такую же хорошо воспринимаемую студентами книгу по уравнениям с частными производными первого порядка.

Следующее ниже введение мы сохранили практически в том виде, в каком оно было предложено С. Н. Кружковым для [23], несмотря на то, что настоящее издание переписано заново, существенно отличается от [23] и включает в себя ряд новых материалов, прежде всего главы 3 и 8.

Приведенный в конце пособия список литературы разделен на две группы. Первая включает в себя научные статьи и фундаментальные работы, которые мы рекомендуем читать в случае более углубленного изучения темы; вторая часть включает учебники и учебные пособия, предназначенные для студентов.

Авторы благодарны Борису Павловичу Андреянову, профессору университета Безансона (Франция), замечания и комментарии которого сильно улучшили текст настоящего учебника.

Горицкий А. Ю., Чечкин Г. А.,

Москва, 22.02.2022.


Об авторах
Горицкий Андрей Юрьевич
Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1986 г. Кандидат физико-математических наук (1989), доцент (1996). Специалист в области дифференциальных уравнений с частными производными и бесконечномерных динамических систем. С 1988 г. преподает на кафедре дифференциальных уравнений; с 1991 г. — штатный сотрудник кафедры. Автор около 50 научных статей и 5 учебных пособий. Научный руководитель более 30 дипломных работ и 2 кандидатских диссертаций. Лауреат премии Academia Europaea Prize (1997), стипендиат фонда Гумбольдта (2003-2004).
Чечкин Григорий Александрович
Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Автор около 270 научных работ, включая 10 монографий и учебников. Специалист в области дифференциальных уравнений и теории усреднения. Имеет 9 аспирантов, 6 из которых защитили кандидатские диссертации, 7 защитившихся магистрантов, 70 защитившихся дипломников (специалистов и бакалавров). Участник многих международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Руководитель и исполнитель различных научных грантов, руководитель известного семинара по математической физике в МГУ имени М. В. Ломоносова, обладатель премий за выдающиеся научные результаты.