Обложка Погорелов А.В. Геометрия: Аналитическая геометрия. Дифференциальная геометрия. Основания геометрии. Некоторые вопросы элементарной геометрии
Id: 290183
629 руб.

Геометрия:
Аналитическая геометрия. Дифференциальная геометрия. Основания геометрии. Некоторые вопросы элементарной геометрии Изд. 3, стереотип.

URSS. 2022. 288 с. ISBN 978-5-9710-9880-5.
Типографская бумага
Аналитическая геометрия • Дифференциальная геометрия • Основания геометрии • Некоторые вопросы элементарной геометрии.

Аннотация

Книга охватывает основные разделы геометрии для математических и педагогических специальностей университетов: аналитическую геометрию, теорию кривых и поверхностей, основания геометрии, в том числе проективную геометрию, и некоторые вопросы элементарной геометрии, в частности вопросы геометрических построений. Она также содержит упражнения различной сложности по перечисленным разделам.

Издание предназначено для студентов, но может быть... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие к первому изданию7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ9
Глава I. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости9
§ 1. Введение координат на плоскости9
§ 2. Расстояние между точками10
§ 3. Деление отрезка в данном отношении11
§ 4. Понятие об уравнении кривой. Уравнение окружности13
§ 5. Уравнения кривой в параметрической форме14
§ 6. Точки пересечения кривых16
§ 7. Взаимное расположение двух окружностей17
Упражнения к главе I18
Глава II. Векторы на плоскости21
§ 1. Параллельный перенос21
§ 2. Абсолютная величина и направление вектора23
§ 3. Координаты вектора25
§ 4. Сложение векторов26
§ 5. Умножение вектора на число27
§ 6. Коллинеарные векторы28
§ 7. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам28
§ 8. Скалярное произведение векторов29
Упражнения к главе II31
Глава III. Прямая на плоскости33
§ 1. Общий вид уравнения прямой33
§ 2. Расположение прямой относительно системы координат34
§ 3. Условие параллельности и перпендикулярности прямых35
§ 4. Уравнение пучка прямых36
§ 5. Уравнение прямой в нормальной форме37
§ 6. Преобразование координат38
§ 7. Движения в плоскости40
§ 8. Инверсия41
Упражнения к главе III42
Глава IV. Конические сечения45
§ 1. Полярные координаты45
§ 2. Конические сечения46
§ 3. Уравнения конических сечений в полярных координатах48
§ 4. Уравнения конических сечений в декартовых координатах в канонической форме49
§ 5. Исследование формы конических сечений50
§ 6. Касательная к коническому сечению53
§ 7. Фокальные свойства конических сечений56
§ 8. Диаметры конического сечения58
§ 9. Кривые второго порядка60
Упражнения к главе IV62
Глава V. Декартовы координаты и векторы в пространстве65
§ 1. Введение декартовых координат в пространстве65
§ 2. Параллельный перенос в пространстве67
§ 3. Векторы в пространстве68
§ 4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам69
§ 5. Векторное произведение векторов70
§ 6. Смешанное произведение векторов72
§ 7. Общие декартовы координаты73
§ 8. Преобразование координат74
§ 9. Уравнения поверхности и кривой в пространстве76
Упражнения к главе V78
Глава VI. Плоскость и прямая в пространстве82
§ 1. Уравнение плоскости82
§ 2. Расположение плоскости относительно системы координат83
§ 3. Уравнение плоскости в нормальной форме84
§ 4. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей85
§ 5. Уравнения прямой85
§ 6. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых87
§ 7. Основные задачи на прямую и плоскость88
Упражнения к главе VI89
Глава VII. Поверхности второго порядка93
§ 1. Специальная система координат93
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка95
§ 3. Эллипсоид97
§ 4. Гиперболоиды98
§ 5. Параболоиды100
§ 6. Конус и цилиндры101
§ 7. Прямолинейные образующие на поверхностях второго порядка102
§ 8. Диаметры и диаметральные плоскости поверхности второго порядка103
§ 9. Оси симметрии кривой. Плоскости симметрии поверхности105
Упражнения к главе VII106
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ108
Глава VIII. Касательная и соприкасающаяся плоскости кривой108
§ 1. Понятие кривой108
§ 2. Регулярная кривая109
§ 3. Особые точки кривой110
§ 4. Вектор-функция скалярного аргумента111
§ 5. Касательная кривой113
§ 6. Уравнения касательной для различных случаев задания кривой114
§ 7. Соприкасающаяся плоскость кривой116
§ 8. Огибающая семейства плоских кривых117
Упражнения к главе VIII118
Глава IX. Кривизна и кручение кривой121
§ 1. Длина кривой121
§ 2. Естественная параметризация кривой122
§ 3. Кривизна кривой123
§ 4. Кручение кривой125
§ 5. Формулы Френе127
§ 6. Эволюта и эвольвента плоской кривой128
Упражнения к главе IX128
Глава X. Касательная плоскость и соприкасающийся параболоид поверхности130
§ 1. Понятие поверхности130
§ 2. Регулярные поверхности131
§ 3. Касательная плоскость поверхности132
§ 4. Уравнение касательной плоскости134
§ 5. Соприкасающийся параболоид поверхности135
§ 6. Классификация точек поверхности136
Упражнения к главе X138
Глава XI. Кривизна поверхности139
§ 1. Линейный элемент поверхности139
§ 2. Площадь поверхности141
§ 3. Нормальная кривизна поверхности142
§ 4. Индикатриса кривизны144
§ 5. Сопряженные сети на поверхности145
§ 6. Линии кривизны поверхности146
§ 7. Средняя и гауссова кривизна поверхности148
§ 8. Пример поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны149
Упражнения к главе XI151
Глава XII. Внутренняя геометрия поверхности152
§ 1. Гауссова кривизна как объект внутренней геометрии поверхностей152
§ 2. Геодезические линии на поверхности155
§ 3. Экстремальное свойство геодезических156
§ 4. Поверхности постоянной гауссовой кривизны157
§ 5. Теорема Гаусса — Бонне158
§ 6. Замкнутые поверхности158
Упражнения к главе XII161
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ162
Глава XIII. Исторический очерк обоснования геометрии162
§ 1. «Начала» Евклида162
§ 2. Попытки доказательства пятого постулата164
§ 3. Открытие неевклидовой геометрии165
§ 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине, XIX века167
§ 5. Система аксиом евклидовой геометрии по Гильберту169
Глава XIV. Система аксиом евклидовой геометрии и их ближайшие следствия171
§ 1. Основные понятия171
§ 2. Аксиомы принадлежности171
§ 3. Аксиомы порядка172
§ 4. Аксиомы меры для отрезков и углов174
§ 5. Аксиома существования треугольника, равного данному176
§ 6. Аксиома существования отрезка данной длины177
§ 7. Аксиома параллельных178
§ 8. Пространственные аксиомы179
Глава XV. Исследование аксиом евклидовой геометрии180
§ 1. Постановка вопроса180
§ 2. Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии181
§ 3. Отношение «между» для точек па прямой. Проверка аксиом порядка182
§ 4. Длина отрезка. Проверка аксиомы меры для отрезков183
§ 5. Определение градусной меры для углов. Проверка аксиомы III2185
§ 6. Выполнимость остальных аксиом в декартовой реализации187
§ 7. Непротиворечивость и полнота системы аксиом евклидовой геометрии188
§ 8. Независимость аксиомы существования отрезка заданной длины191
§ 9. Независимость аксиомы параллельных192
§ 10. Геометрия Лобачевского195
Глава XVI. Проективная геометрия198
§ 1. Аксиомы принадлежности в проективной геометрии198
§ 2. Теорема Дезарга199
§ 3. Пополнение евклидова пространства несобственными элементами201
§ 4. Топологическое строение проективной прямой и плоскости203
§ 5. Проективные координаты и проективные преобразования204
§ 6. Ангармоническое отношение206
§ 7. Гармоническое разделение пар точек208
§ 8. Кривые и поверхности второго порядка209
§ 9. Теорема Штейнера211
§ 10. Теорема Паскаля212
§ 11. Полюс и поляра214
§ 12. Полярное преобразование. Теорема Брианшона216
§ 13. Принцип двойственности217
§ 14. Различные геометрии в проективной схеме219
Упражнения к главе XVI221
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ222
Глава XVII. Методы решения задач на построение222
§ 1. Постановка задачи на построение222
§ 2. Метод геометрических мест223
§ 3. Метод подобия225
§ 4. Метод симметрии226
§ 5. Метод параллельного переноса227
§ 6. Метод поворота227
§ 7. Метод инверсии228
§ 8. О разрешимости задач на построение230
Упражнения к главе XVII232
Глава XVIII. Измерение длин, площадей и объемов233
§ 1. Намерение отрезков233
§ 2, Длина окружности235
§ 3. Площади фигур237
§ 4. Объемы тел241
§ 5. Площадь поверхности242
Глава XIX. Элементы проекционного черчения244
§ 1. Изображение точки на эпюре244
§ 2. Задачи на прямую245
§ 3. Определение длины отрезка245
§ 4. Задачи на прямую и плоскость246
§ 5. Изображение призмы и пирамиды248
§ 6. Изображение цилиндра, конуса и шара249
§ 7. Построение течений250
Упражнения к главе XIX252
Глава XX. Многогранные углы и многогранники253
§ 1. Теорема косинусов для трехгранного угла253
§ 2. Трехгранный угол, полярный данному трехгранному углу254
§ 3. Теорема синусовдля трехгранного угла254
§ 4. Соотношение между плоскими углами многогранного угла255
§ 5. Площадь сферического многоугольника256
§ 6. Выпуклые многогранники. Понятие выпуклого тела258
§ 7. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников259
§ 8. Теорема Коши260
§ 9. Правильные многогранники262
Упражнения к главе XX263
Ответы и указания к упражнениям265
Предметный указатель285