| Предисловие к первому изданию | 7
|
| ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | 9
|
| Глава I. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости | 9
|
| § 1. Введение координат на плоскости | 9
|
| § 2. Расстояние между точками | 10
|
| § 3. Деление отрезка в данном отношении | 11
|
| § 4. Понятие об уравнении кривой. Уравнение окружности | 13
|
| § 5. Уравнения кривой в параметрической форме | 14
|
| § 6. Точки пересечения кривых | 16
|
| § 7. Взаимное расположение двух окружностей | 17
|
| Упражнения к главе I | 18
|
| Глава II. Векторы на плоскости | 21
|
| § 1. Параллельный перенос | 21
|
| § 2. Абсолютная величина и направление вектора | 23
|
| § 3. Координаты вектора | 25
|
| § 4. Сложение векторов | 26
|
| § 5. Умножение вектора на число | 27
|
| § 6. Коллинеарные векторы | 28
|
| § 7. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам | 28
|
| § 8. Скалярное произведение векторов | 29
|
| Упражнения к главе II | 31
|
| Глава III. Прямая на плоскости | 33
|
| § 1. Общий вид уравнения прямой | 33
|
| § 2. Расположение прямой относительно системы координат | 34
|
| § 3. Условие параллельности и перпендикулярности прямых | 35
|
| § 4. Уравнение пучка прямых | 36
|
| § 5. Уравнение прямой в нормальной форме | 37
|
| § 6. Преобразование координат | 38
|
| § 7. Движения в плоскости | 40
|
| § 8. Инверсия | 41
|
| Упражнения к главе III | 42
|
| Глава IV. Конические сечения | 45
|
| § 1. Полярные координаты | 45
|
| § 2. Конические сечения | 46
|
| § 3. Уравнения конических сечений в полярных координатах | 48
|
| § 4. Уравнения конических сечений в декартовых координатах в канонической форме | 49
|
| § 5. Исследование формы конических сечений | 50
|
| § 6. Касательная к коническому сечению | 53
|
| § 7. Фокальные свойства конических сечений | 56
|
| § 8. Диаметры конического сечения | 58
|
| § 9. Кривые второго порядка | 60
|
| Упражнения к главе IV | 62
|
| Глава V. Декартовы координаты и векторы в пространстве | 65
|
| § 1. Введение декартовых координат в пространстве | 65
|
| § 2. Параллельный перенос в пространстве | 67
|
| § 3. Векторы в пространстве | 68
|
| § 4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам | 69
|
| § 5. Векторное произведение векторов | 70
|
| § 6. Смешанное произведение векторов | 72
|
| § 7. Общие декартовы координаты | 73
|
| § 8. Преобразование координат | 74
|
| § 9. Уравнения поверхности и кривой в пространстве | 76
|
| Упражнения к главе V | 78
|
| Глава VI. Плоскость и прямая в пространстве | 82
|
| § 1. Уравнение плоскости | 82
|
| § 2. Расположение плоскости относительно системы координат | 83
|
| § 3. Уравнение плоскости в нормальной форме | 84
|
| § 4. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей | 85
|
| § 5. Уравнения прямой | 85
|
| § 6. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых | 87
|
| § 7. Основные задачи на прямую и плоскость | 88
|
| Упражнения к главе VI | 89
|
| Глава VII. Поверхности второго порядка | 93
|
| § 1. Специальная система координат | 93
|
| § 2. Классификация поверхностей второго порядка | 95
|
| § 3. Эллипсоид | 97
|
| § 4. Гиперболоиды | 98
|
| § 5. Параболоиды | 100
|
| § 6. Конус и цилиндры | 101
|
| § 7. Прямолинейные образующие на поверхностях второго порядка | 102
|
| § 8. Диаметры и диаметральные плоскости поверхности второго порядка | 103
|
| § 9. Оси симметрии кривой. Плоскости симметрии поверхности | 105
|
| Упражнения к главе VII | 106
|
| ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ | 108
|
| Глава VIII. Касательная и соприкасающаяся плоскости кривой | 108
|
| § 1. Понятие кривой | 108
|
| § 2. Регулярная кривая | 109
|
| § 3. Особые точки кривой | 110
|
| § 4. Вектор-функция скалярного аргумента | 111
|
| § 5. Касательная кривой | 113
|
| § 6. Уравнения касательной для различных случаев задания кривой | 114
|
| § 7. Соприкасающаяся плоскость кривой | 116
|
| § 8. Огибающая семейства плоских кривых | 117
|
| Упражнения к главе VIII | 118
|
| Глава IX. Кривизна и кручение кривой | 121
|
| § 1. Длина кривой | 121
|
| § 2. Естественная параметризация кривой | 122
|
| § 3. Кривизна кривой | 123
|
| § 4. Кручение кривой | 125
|
| § 5. Формулы Френе | 127
|
| § 6. Эволюта и эвольвента плоской кривой | 128
|
| Упражнения к главе IX | 128
|
| Глава X. Касательная плоскость и соприкасающийся параболоид поверхности | 130
|
| § 1. Понятие поверхности | 130
|
| § 2. Регулярные поверхности | 131
|
| § 3. Касательная плоскость поверхности | 132
|
| § 4. Уравнение касательной плоскости | 134
|
| § 5. Соприкасающийся параболоид поверхности | 135
|
| § 6. Классификация точек поверхности | 136
|
| Упражнения к главе X | 138
|
| Глава XI. Кривизна поверхности | 139
|
| § 1. Линейный элемент поверхности | 139
|
| § 2. Площадь поверхности | 141
|
| § 3. Нормальная кривизна поверхности | 142
|
| § 4. Индикатриса кривизны | 144
|
| § 5. Сопряженные сети на поверхности | 145
|
| § 6. Линии кривизны поверхности | 146
|
| § 7. Средняя и гауссова кривизна поверхности | 148
|
| § 8. Пример поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны | 149
|
| Упражнения к главе XI | 151
|
| Глава XII. Внутренняя геометрия поверхности | 152
|
| § 1. Гауссова кривизна как объект внутренней геометрии поверхностей | 152
|
| § 2. Геодезические линии на поверхности | 155
|
| § 3. Экстремальное свойство геодезических | 156
|
| § 4. Поверхности постоянной гауссовой кривизны | 157
|
| § 5. Теорема Гаусса — Бонне | 158
|
| § 6. Замкнутые поверхности | 158
|
| Упражнения к главе XII | 161
|
| ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ | 162
|
| Глава XIII. Исторический очерк обоснования геометрии | 162
|
| § 1. «Начала» Евклида | 162
|
| § 2. Попытки доказательства пятого постулата | 164
|
| § 3. Открытие неевклидовой геометрии | 165
|
| § 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине, XIX века | 167
|
| § 5. Система аксиом евклидовой геометрии по Гильберту | 169
|
| Глава XIV. Система аксиом евклидовой геометрии и их ближайшие следствия | 171
|
| § 1. Основные понятия | 171
|
| § 2. Аксиомы принадлежности | 171
|
| § 3. Аксиомы порядка | 172
|
| § 4. Аксиомы меры для отрезков и углов | 174
|
| § 5. Аксиома существования треугольника, равного данному | 176
|
| § 6. Аксиома существования отрезка данной длины | 177
|
| § 7. Аксиома параллельных | 178
|
| § 8. Пространственные аксиомы | 179
|
| Глава XV. Исследование аксиом евклидовой геометрии | 180
|
| § 1. Постановка вопроса | 180
|
| § 2. Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии | 181
|
| § 3. Отношение «между» для точек па прямой. Проверка аксиом порядка | 182
|
| § 4. Длина отрезка. Проверка аксиомы меры для отрезков | 183
|
| § 5. Определение градусной меры для углов. Проверка аксиомы III2 | 185
|
| § 6. Выполнимость остальных аксиом в декартовой реализации | 187
|
| § 7. Непротиворечивость и полнота системы аксиом евклидовой геометрии | 188
|
| § 8. Независимость аксиомы существования отрезка заданной длины | 191
|
| § 9. Независимость аксиомы параллельных | 192
|
| § 10. Геометрия Лобачевского | 195
|
| Глава XVI. Проективная геометрия | 198
|
| § 1. Аксиомы принадлежности в проективной геометрии | 198
|
| § 2. Теорема Дезарга | 199
|
| § 3. Пополнение евклидова пространства несобственными элементами | 201
|
| § 4. Топологическое строение проективной прямой и плоскости | 203
|
| § 5. Проективные координаты и проективные преобразования | 204
|
| § 6. Ангармоническое отношение | 206
|
| § 7. Гармоническое разделение пар точек | 208
|
| § 8. Кривые и поверхности второго порядка | 209
|
| § 9. Теорема Штейнера | 211
|
| § 10. Теорема Паскаля | 212
|
| § 11. Полюс и поляра | 214
|
| § 12. Полярное преобразование. Теорема Брианшона | 216
|
| § 13. Принцип двойственности | 217
|
| § 14. Различные геометрии в проективной схеме | 219
|
| Упражнения к главе XVI | 221
|
| ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ | 222
|
| Глава XVII. Методы решения задач на построение | 222
|
| § 1. Постановка задачи на построение | 222
|
| § 2. Метод геометрических мест | 223
|
| § 3. Метод подобия | 225
|
| § 4. Метод симметрии | 226
|
| § 5. Метод параллельного переноса | 227
|
| § 6. Метод поворота | 227
|
| § 7. Метод инверсии | 228
|
| § 8. О разрешимости задач на построение | 230
|
| Упражнения к главе XVII | 232
|
| Глава XVIII. Измерение длин, площадей и объемов | 233
|
| § 1. Намерение отрезков | 233
|
| § 2, Длина окружности | 235
|
| § 3. Площади фигур | 237
|
| § 4. Объемы тел | 241
|
| § 5. Площадь поверхности | 242
|
| Глава XIX. Элементы проекционного черчения | 244
|
| § 1. Изображение точки на эпюре | 244
|
| § 2. Задачи на прямую | 245
|
| § 3. Определение длины отрезка | 245
|
| § 4. Задачи на прямую и плоскость | 246
|
| § 5. Изображение призмы и пирамиды | 248
|
| § 6. Изображение цилиндра, конуса и шара | 249
|
| § 7. Построение течений | 250
|
| Упражнения к главе XIX | 252
|
| Глава XX. Многогранные углы и многогранники | 253
|
| § 1. Теорема косинусов для трехгранного угла | 253
|
| § 2. Трехгранный угол, полярный данному трехгранному углу | 254
|
| § 3. Теорема синусовдля трехгранного угла | 254
|
| § 4. Соотношение между плоскими углами многогранного угла | 255
|
| § 5. Площадь сферического многоугольника | 256
|
| § 6. Выпуклые многогранники. Понятие выпуклого тела | 258
|
| § 7. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников | 259
|
| § 8. Теорема Коши | 260
|
| § 9. Правильные многогранники | 262
|
| Упражнения к главе XX | 263
|
| Ответы и указания к упражнениям | 265
|
| Предметный указатель | 285
|
Погорелов Алексей Васильевич