Предисловие | 3
|
Введение | 7
|
§ 1. Общие предварительные замечания | 8
|
§ 1.1. Основные теоретико-функциональные понятия | 8
|
§ 1.2. Основное разделение геометрии | 10
|
§ 1.3. Дальнейшие относящиеся сюда сведения | 10
|
Первая часть. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ КООРДИНАТ | 16
|
Точечные координаты | 16
|
§ 2. Линейные координаты | 16
|
§ 3. Работы Плюкера | 20
|
§ 4. Общие криволинейные координаты | 23
|
§ 5. Эллиптические координаты | 25
|
§ 6. Геодезические линии на поверхностях второй степени | 30
|
§ 7. Построения из нитей Гревса и Штауде | 38
|
§ 8. Теория кругов и шаров. Исторические замечания | 41
|
§ 9. Элементарная геометрия круга | 44
|
§ 10. Преобразования посредством обратных радиусов (инверсия) | 48
|
§ 11. Пентасферические координаты | 54
|
§ 12. Применения пентасферических координат | 58
|
§ 13. Циклиды Дюпена | 62
|
§ 14. Классификация рассмотренных до сих пор объектов аналитической геометрии | 64
|
§ 15. Билинейные уравнения и двойственность | 65
|
§ 16. Нуль-система | 67
|
§ 17. Применения нуль-системы | 72
|
§ 18. Геометрическое истолкование диференциальных уравнений | 76
|
Замена пространственных элементов | 79
|
§ 19. Общий принцип Плюкера | 79
|
§ 20. Прямолинейные координаты | 85
|
§ 21. Линейные многообразия линейчатой геометрии | 89
|
§ 22. Линейный комплекс, как пространственный элемент | 94
|
§ 23. Привлечение вспомогательных средств из теории квадратичных форм | 100
|
§ 24. Сравнение с пентасферическими координатами | 105
|
§ 25. Геометрия сфер Ли | 109
|
§ 26. Соотношение между асимптотическими линиями и линиями кривизны | 114
|
§ 27. Исторические замечания о геометрии сфер | 119
|
§ 28. Привлечение многомерного пространства Грассманом и Кели | 121
|
§ 29. Круги в пространстве, пентацикл Стефаноса | 124
|
§ 30. Коннексы Клебша | 126
|
§ 31. Основные формулы для кривизны поверхности | 132
|
§ 32. Введение плоскостных координат в диференциальные уравнения | 135
|
Вторая часть. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ | 139
|
Точечные преобразования пространства | 139
|
§ 33. Линейные преобразования | 140
|
§ 34. Перспектограф и пантограф | 145
|
§ 35. Рельефная перспектива и перспектива изображения | 150
|
§ 36. Ньютонова классификация кривых третьего порядка | 151
|
§ 37. Понселе и учение о двойных отношениях | 153
|
§ 38. Штейнер и Шаль | 157
|
§ 39. Кели и Штаудт | 159
|
§ 40. О теории инвариантов | 162
|
§ 41. W-кривые Клейна и Ли | 168
|
§ 42. Проективная диференциальная геометрия | 175
|
§ 43. Теория конфокальных конических сечений в мнимой области | 179
|
§ 44. Мнимые коллинеации | 183
|
§ 45. Стереографическая проекция | 185
|
§ 46. Изотропные кривые и конформные отображения поверхностей | 188
|
§ 47. Теория минимальных поверхностей Ли | 191
|
§ 48. Новейшие рассмотрения стереографической проекции и тетрациклических координат | 193
|
§ 49. Группа сродства кругов Мебиуса | 196
|
§ 50. Теорема Лиувилля о конформных отображениях пространства | 197
|
§ 51. Принцип перенесения Гесса | 200
|
§ 52. Плоские конфигурации | 202
|
§ 53. Взаимные планы сил графической статики | 203
|
§ 54. Общие аналитические точечные преобразования | 207
|
§ 55. Классификация выражений Пфаффа | 209
|
§ 56. Проблема Пфаффа | 213
|
§ 57. Введение квадратичных диференциальных форм Гауссом | 214
|
§ 58. Диференциаторы Бельтрами | 216
|
§ 59. Пространство Римана | 220
|
§ 60. Дальнейшая литература о квадратичных диференциальных формах | 223
|
§ 61. Кремоновы преобразования | 225
|
Замена пространственных элементов | 232
|
§ 62. Двойственное преобразование, как преобразование прикосновения | 232
|
§ 63. Первое введение общих преобразований прикосновения | 235
|
§ 64. Обе группы преобразований геометрии сфер | 241
|
§ 65. Изотропная проекция Rn+1 на Rn | 244
|
§ 66. Изотропная проекция R3 на R2 | 246
|
§ 67. Группа Лагерра и эквилонгальные отображения на плоскости | 250
|
§ 68. Перенесение на высшие размерности | 254
|
§ 69. Группа геометрии прямых линий Плюкера | 259
|
§ 70. Связь между геометрией прямых линий Плюкера и геометрией сфер Ли | 263
|
§ 71. Элементарно-геометрическое рассмотрение прямолинейно-сферического преобразования | 267
|
§ 72. Теория характеристик диференциальных уравнений с частными производными первого порядка | 271
|
§ 73. Диференциальные уравнения с частными производными геометрии линий и геометрии сфер | 283
|
§ 74. Общая теория преобразований прикосновения | 288
|
§ 75. Дальнейшие примеры преобразований прикосновения | 295
|
§ 75.1. Подэры | 295
|
§ 75. 2. Зубчатые колеса | 296
|
§ 75.3. Преобразования прикосновения, сохраняющие периметр | 297
|
§ 75.4. Вариации постоянных | 299
|
§ 76. Теория инвариантов преобразований прикосновения | 302
|
Третья часть. ПРИМЕРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ИЗ ПОСЛЕДНИХ ДЕСЯТИЛЕТИЙ. ДОПОЛНЕНИЯ | 306
|
Геометрия линий Штуди | 306
|
§ 77. Принцип перенесения Штуди | 306
|
§ 78. Аналоги дуальным проективитетам на плоскости в геометрии линий | 311
|
§ 79. Аналоги дуальному сродству окружностей в геометрии линий. Литература | 315
|
§ 80. Евклидово отображение эллиптической неевклидовой пространственной геометрии | 319
|
§ 81. Кинематическое отображение | 324
|
Радоновы механические соображения о параллелизме Леви-Чивита | 326
|
§ 82. Уравнения движения | 329
|
§ 83. Асимптотическая интеграция | 332
|
§ 84. Параллельное перенесение | 335
|
§ 85. Применение параллельного перенесения в теории поверхностей | 337
|
§ 86, Выведение параллельного перенесения из внутренней геометрии поверхности | 340
|
Из топологии: артиновы косы | 342
|
§ 87. Доказательство Александера теоремы Титце | 344
|
§ 88. Проблема узлов | 346
|
§ 89. Группа кос | 348
|
§ 90. Определяющие соотношения | 351
|
§ 91. Замкнутая коса | 354
|
§ 92. Свободное произведение групп | 356
|
§ 93. Косы третьего порядка | 359
|
О диференциальных уравнениях Монжа. Их отношение к теории диференциальных уравнений с частными производными первого порядка и к вариационному исчислению | 361
|
§ 94. Уравнение Гамильтона | 361
|
§ 95. Соответствующие преобразования прикосновения | 371
|
Введение в теорию элементарных делителей | 374
|
§ 96. Линейные подстановки и исчисление матриц | 374
|
§ 97. Геометрическое истолкование линейных подстановок | 376
|
§ 98. Нормальная форма линейных преобразований | 378
|
§ 99. Пары квадратичных форм | 384
|
Именной и предметный указатель | 390
|
Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его
впервые набросал в 1872 г. в своей "Эрлангенской программе"
и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем "Введении в высшую
геометрию", является в настоящее время столь же важным и жизненным,
как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же
и физики. Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое
издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы
Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание
"первого тома". Напротив, мне пришлось целиком выпустить
лишь едва связанный с ним "второй том", который содержал введение
в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы
полной переработки. Его место заняла "третья часть" настоящей
книги, в которой изложены некоторые новейшие геометрические
исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые
геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген),
III -- в существенном Артин и V -- Шрейер (Гамбург).
В этих лекциях дело идет о том, чтобы с большей обстоятельностью
разработать мысли, которые были лишь намечены или очень
кратко изложены в небольшой работе Клейна (F.Klein, Vergleichende
Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872)
в так называемой "Эрлангенской программе" -- и благодаря этому
охватить историческим обзором все то, что было получено в 19-ом
столетии в этом направлении. Прежде всего мы должны принять
во внимание работы Софуса Ли, с которым Клейн в свое время работал
вместе в этой области и который позднее продвинул свои исследования
много дальше.
Так как значительная часть этих лекций будет посвящена геометрическим
исследованиям С.Ли, то уместно уже сейчас привести
некоторые сведения о жизни этого крупного геометра. С.Ли родился
в 1842 г. в семье пастора в Нордфьордейде (Норвегия) и сравнительно
поздно, примерно, в 1868 г., серьезно занялся математикой.
Зимою 1869/70 г. Ли познакомился в Берлине с Клейном, а перед
войной 1870 г. оба познакомились в Париже с Г.Дарбу. О результатах
их совместной работы, особенно совместной работы Клейна и Ли,
мы будем говорить в последующем во многих местах; об основном
результате для геометрии мы уже упомянули, именно об Эрлангенской
программе Клейна. В 1886 г. Ли в качестве преемника Клейна
сделался профессором Лейпцигского университета, где он пробыл двенадцать
лет. В 1898 г. Ли, уже совершенно больной, вернулся на свою родину
в Норвегию, где и умер в 1899 г. Главной работой Ли является
его "Теория групп преобразований", которую он издал совместна
с Энгелем в трех томах (Лейпциг, гг. 1888, 1890, 1893).