Клейн Ф.

Высшая геометрия.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей "Эрлангенской программе" и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем "Введении в высшую геометрию", является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики. Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание "первого тома". Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним "второй том", который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки. Его место заняла "третья часть" настоящей книги, в которой изложены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III -- в существенном Артин и V -- Шрейер (Гамбург).

Гамбург, весна 1926 г.

Из введения

Обычно различают два рода геометрии: геометрию синтетическую, изучающую фигуры сами по себе, и геометрию аналитическую, строящую свое научное здание существенно с помощью анализа. Кроме этих; двух родов геометрии, можно еще рассматривать третий род, являющийся в известном смысле обращением двух первых. Именно: в то время как в аналитической геометрии анализ применяют к геометрии, можно также наоборот применять геометрию к анализу, геометрически изучать аналитические соотношения, или -- говоря иначе -- с помощью геометрии получить обозрение теории функций нескольких переменных.

В этих лекциях дело идет о том, чтобы с большей обстоятельностью разработать мысли, которые были лишь намечены или очень кратко изложены в небольшой работе Клейна (F.Klein, Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872) в так называемой "Эрлангенской программе" -- и благодаря этому охватить историческим обзором все то, что было получено в 19-ом столетии в этом направлении. Прежде всего мы должны принять во внимание работы Софуса Ли, с которым Клейн в свое время работал вместе в этой области и который позднее продвинул свои исследования много дальше.

Так как значительная часть этих лекций будет посвящена геометрическим исследованиям С.Ли, то уместно уже сейчас привести некоторые сведения о жизни этого крупного геометра. С.Ли родился в 1842 г. в семье пастора в Нордфьордейде (Норвегия) и сравнительно поздно, примерно, в 1868 г., серьезно занялся математикой. Зимою 1869/70 г. Ли познакомился в Берлине с Клейном, а перед войной 1870 г. оба познакомились в Париже с Г.Дарбу. О результатах их совместной работы, особенно совместной работы Клейна и Ли, мы будем говорить в последующем во многих местах; об основном результате для геометрии мы уже упомянули, именно об Эрлангенской программе Клейна. В 1886 г. Ли в качестве преемника Клейна сделался профессором Лейпцигского университета, где он пробыл двенадцать лет. В 1898 г. Ли, уже совершенно больной, вернулся на свою родину в Норвегию, где и умер в 1899 г. Главной работой Ли является его "Теория групп преобразований", которую он издал совместна с Энгелем в трех томах (Лейпциг, гг. 1888, 1890, 1893).

Об авторе

Клейн Феликс

Выдающийся немецкий математик, член-корреспондент Прусской академии наук в Берлине (1913). Родился в Дюссельдорфе. В 1865 г. поступил в Боннский университет; ученик Ю. Плюккера. Доктор философии Боннского университета (1868). С 1872 г. профессор математики в Эрлангене, с 1875 г. — в Мюнхенской высшей технической школе, а с 1880 г. — профессор университета в Лейпциге. В 1886 г. переехал в Геттинген.

Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием «Эрлангенская программа». В течение почти сорока лет (с 1876 г.) Клейн был главным редактором журнала «Математические анналы»; много занимался вопросами математического образования. Перед Первой мировой войной организовал Международную комиссию по реорганизации преподавания математики.