Обложка Клейн Ф. Высшая геометрия. Пер. с нем.
Id: 290096
899 руб. Новинка недели!

Высшая геометрия.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

URSS. 2022. 400 с. ISBN 978-5-9519-3427-7.
Типографская бумага

Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга выдающегося немецкого математика Ф.Клейна (1849--1925), созданная на основе лекций по высшей геометрии, прочитанных им в Гёттингенском университете и подготовленных к печати его учениками и последователями. Автор разделяет геометрию на две отдельные части: геометрия в ограниченной части пространства, к которой относятся почти все применения дифференциальных и интегральных исчислений, и геометрия... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие3
Введение7
§ 1. Общие предварительные замечания8
§ 1.1. Основные теоретико-функциональные понятия8
§ 1.2. Основное разделение геометрии10
§ 1.3. Дальнейшие относящиеся сюда сведения10
Первая часть. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ КООРДИНАТ16
Точечные координаты16
§ 2. Линейные координаты16
§ 3. Работы Плюкера20
§ 4. Общие криволинейные координаты23
§ 5. Эллиптические координаты25
§ 6. Геодезические линии на поверхностях второй степени30
§ 7. Построения из нитей Гревса и Штауде38
§ 8. Теория кругов и шаров. Исторические замечания41
§ 9. Элементарная геометрия круга44
§ 10. Преобразования посредством обратных радиусов (инверсия)48
§ 11. Пентасферические координаты54
§ 12. Применения пентасферических координат58
§ 13. Циклиды Дюпена62
§ 14. Классификация рассмотренных до сих пор объектов аналитической геометрии64
§ 15. Билинейные уравнения и двойственность65
§ 16. Нуль-система67
§ 17. Применения нуль-системы72
§ 18. Геометрическое истолкование диференциальных уравнений76
Замена пространственных элементов79
§ 19. Общий принцип Плюкера79
§ 20. Прямолинейные координаты85
§ 21. Линейные многообразия линейчатой геометрии89
§ 22. Линейный комплекс, как пространственный элемент94
§ 23. Привлечение вспомогательных средств из теории квадратичных форм100
§ 24. Сравнение с пентасферическими координатами105
§ 25. Геометрия сфер Ли109
§ 26. Соотношение между асимптотическими линиями и линиями кривизны114
§ 27. Исторические замечания о геометрии сфер119
§ 28. Привлечение многомерного пространства Грассманом и Кели121
§ 29. Круги в пространстве, пентацикл Стефаноса124
§ 30. Коннексы Клебша126
§ 31. Основные формулы для кривизны поверхности132
§ 32. Введение плоскостных координат в диференциальные уравнения135
Вторая часть. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ139
Точечные преобразования пространства139
§ 33. Линейные преобразования140
§ 34. Перспектограф и пантограф145
§ 35. Рельефная перспектива и перспектива изображения150
§ 36. Ньютонова классификация кривых третьего порядка151
§ 37. Понселе и учение о двойных отношениях153
§ 38. Штейнер и Шаль157
§ 39. Кели и Штаудт159
§ 40. О теории инвариантов162
§ 41. W-кривые Клейна и Ли168
§ 42. Проективная диференциальная геометрия175
§ 43. Теория конфокальных конических сечений в мнимой области179
§ 44. Мнимые коллинеации183
§ 45. Стереографическая проекция185
§ 46. Изотропные кривые и конформные отображения поверхностей188
§ 47. Теория минимальных поверхностей Ли191
§ 48. Новейшие рассмотрения стереографической проекции и тетрациклических координат193
§ 49. Группа сродства кругов Мебиуса196
§ 50. Теорема Лиувилля о конформных отображениях пространства197
§ 51. Принцип перенесения Гесса200
§ 52. Плоские конфигурации202
§ 53. Взаимные планы сил графической статики203
§ 54. Общие аналитические точечные преобразования207
§ 55. Классификация выражений Пфаффа209
§ 56. Проблема Пфаффа213
§ 57. Введение квадратичных диференциальных форм Гауссом214
§ 58. Диференциаторы Бельтрами216
§ 59. Пространство Римана220
§ 60. Дальнейшая литература о квадратичных диференциальных формах223
§ 61. Кремоновы преобразования225
Замена пространственных элементов 232
§ 62. Двойственное преобразование, как преобразование прикосновения232
§ 63. Первое введение общих преобразований прикосновения235
§ 64. Обе группы преобразований геометрии сфер241
§ 65. Изотропная проекция Rn+1 на Rn244
§ 66. Изотропная проекция R3 на R2246
§ 67. Группа Лагерра и эквилонгальные отображения на плоскости250
§ 68. Перенесение на высшие размерности254
§ 69. Группа геометрии прямых линий Плюкера259
§ 70. Связь между геометрией прямых линий Плюкера и геометрией сфер Ли263
§ 71. Элементарно-геометрическое рассмотрение прямолинейно-сферического преобразования267
§ 72. Теория характеристик диференциальных уравнений с частными производными первого порядка271
§ 73. Диференциальные уравнения с частными производными геометрии линий и геометрии сфер283
§ 74. Общая теория преобразований прикосновения288
§ 75. Дальнейшие примеры преобразований прикосновения295
§ 75.1. Подэры295
§ 75. 2. Зубчатые колеса296
§ 75.3. Преобразования прикосновения, сохраняющие периметр297
§ 75.4. Вариации постоянных299
§ 76. Теория инвариантов преобразований прикосновения302
Третья часть. ПРИМЕРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ИЗ ПОСЛЕДНИХ ДЕСЯТИЛЕТИЙ. ДОПОЛНЕНИЯ306
Геометрия линий Штуди306
§ 77. Принцип перенесения Штуди306
§ 78. Аналоги дуальным проективитетам на плоскости в геометрии линий311
§ 79. Аналоги дуальному сродству окружностей в геометрии линий. Литература315
§ 80. Евклидово отображение эллиптической неевклидовой пространственной геометрии319
§ 81. Кинематическое отображение324
Радоновы механические соображения о параллелизме Леви-Чивита326
§ 82. Уравнения движения329
§ 83. Асимптотическая интеграция332
§ 84. Параллельное перенесение335
§ 85. Применение параллельного перенесения в теории поверхностей337
§ 86, Выведение параллельного перенесения из внутренней геометрии поверхности340
Из топологии: артиновы косы342
§ 87. Доказательство Александера теоремы Титце344
§ 88. Проблема узлов346
§ 89. Группа кос348
§ 90. Определяющие соотношения351
§ 91. Замкнутая коса354
§ 92. Свободное произведение групп356
§ 93. Косы третьего порядка359
О диференциальных уравнениях Монжа. Их отношение к теории диференциальных уравнений с частными производными первого порядка и к вариационному исчислению361
§ 94. Уравнение Гамильтона361
§ 95. Соответствующие преобразования прикосновения371
Введение в теорию элементарных делителей374
§ 96. Линейные подстановки и исчисление матриц374
§ 97. Геометрическое истолкование линейных подстановок376
§ 98. Нормальная форма линейных преобразований378
§ 99. Пары квадратичных форм384
Именной и предметный указатель390

Предисловие

Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей "Эрлангенской программе" и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем "Введении в высшую геометрию", является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики. Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание "первого тома". Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним "второй том", который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки. Его место заняла "третья часть" настоящей книги, в которой изложены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III -- в существенном Артин и V -- Шрейер (Гамбург).

В.Бляшке

Гамбург, весна 1926 г.


Из введения

Обычно различают два рода геометрии: геометрию синтетическую, изучающую фигуры сами по себе, и геометрию аналитическую, строящую свое научное здание существенно с помощью анализа. Кроме этих; двух родов геометрии, можно еще рассматривать третий род, являющийся в известном смысле обращением двух первых. Именно: в то время как в аналитической геометрии анализ применяют к геометрии, можно также наоборот применять геометрию к анализу, геометрически изучать аналитические соотношения, или -- говоря иначе -- с помощью геометрии получить обозрение теории функций нескольких переменных.

В этих лекциях дело идет о том, чтобы с большей обстоятельностью разработать мысли, которые были лишь намечены или очень кратко изложены в небольшой работе Клейна (F.Klein, Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872) в так называемой "Эрлангенской программе" -- и благодаря этому охватить историческим обзором все то, что было получено в 19-ом столетии в этом направлении. Прежде всего мы должны принять во внимание работы Софуса Ли, с которым Клейн в свое время работал вместе в этой области и который позднее продвинул свои исследования много дальше.

Так как значительная часть этих лекций будет посвящена геометрическим исследованиям С.Ли, то уместно уже сейчас привести некоторые сведения о жизни этого крупного геометра. С.Ли родился в 1842 г. в семье пастора в Нордфьордейде (Норвегия) и сравнительно поздно, примерно, в 1868 г., серьезно занялся математикой. Зимою 1869/70 г. Ли познакомился в Берлине с Клейном, а перед войной 1870 г. оба познакомились в Париже с Г.Дарбу. О результатах их совместной работы, особенно совместной работы Клейна и Ли, мы будем говорить в последующем во многих местах; об основном результате для геометрии мы уже упомянули, именно об Эрлангенской программе Клейна. В 1886 г. Ли в качестве преемника Клейна сделался профессором Лейпцигского университета, где он пробыл двенадцать лет. В 1898 г. Ли, уже совершенно больной, вернулся на свою родину в Норвегию, где и умер в 1899 г. Главной работой Ли является его "Теория групп преобразований", которую он издал совместна с Энгелем в трех томах (Лейпциг, гг. 1888, 1890, 1893).


Об авторе
Клейн Феликс
Выдающийся немецкий математик, член-корреспондент Прусской академии наук в Берлине (1913). Родился в Дюссельдорфе. В 1865 г. поступил в Боннский университет; ученик Ю. Плюккера. Доктор философии Боннского университета (1868). С 1872 г. профессор математики в Эрлангене, с 1875 г. — в Мюнхенской высшей технической школе, а с 1880 г. — профессор университета в Лейпциге. В 1886 г. переехал в Геттинген.

Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием «Эрлангенская программа». В течение почти сорока лет (с 1876 г.) Клейн был главным редактором журнала «Математические анналы»; много занимался вопросами математического образования. Перед Первой мировой войной организовал Международную комиссию по реорганизации преподавания математики.