Обложка Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач
Id: 289723

Краткий курс теории экстремальных задач. Изд. 2, испр.

URSS. 2023. 208 с. ISBN 978-5-9710-9857-7.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге рассмотрены наиболее фундаментальные результаты математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления. Излагаются основания выпуклого анализа, достаточные условия экстремума, понятия о динамическом программировании. Приведены решения ряда экстремальных задач, возникающих в теории космонавтики, доказаны некоторые классические неравенства методами теории экстремальных задач. В книгу... (Подробнее)


Содержание
Предисловие к первому изданию5
Введение6
1. Исторический очерк6
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами10
3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями12
Часть I ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ17
§ 1. Элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого анализа17
1.1. Нормированные и банаховы пространства17
1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа19
1.3. Определения производных22
1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах25
1.5. Элементы выпуклого анализа33
§ 2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Задачи выпуклого программирования41
2.1. Задачи без ограничений42
2.2. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств45
2.3. Задачи выпуклого программирования47
2.4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств51
2.5. Примеры54
2.6. О методах решения экстремальных задач. Градиентный метод и метод Ньютона55
§ 3. Задачи линейного программирования57
3.1. Симплекс-метод57
3.2. Обоснование симплекс-метода62
§ 4. Классическое вариационное исчисление68
4.1. Задача Больца68
4.2. Простейшая задача классического вариационного исчисления72
4.3. Изопериметрические задачи77
§ 5. Задача Лагранжа80
5.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа81
5.2. Задача с подвижными концами86
5.3. Задачи со старшими производными88
§ 6. Задачи оптимального управления91
6.1. Принцип максимума Понтрягина91
6.2. Примеры100
Часть II ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ105
§ 7. Некоторые общие теоремы функционального анализа и их следствия106
7.1. Теорема Хана—Банаха, отделимость, теорема Банаха об открытости106
7.2. Леммы (о нетривиальности аннулятора, правом обратном, замкнутости образа и аннуляторе ядра сюръективного оператора)111
7.3. Теоремы Ляпунова и Хелли113
§ 8. Выпуклый анализ в линейных пространствах114
8.1. Двойственные соотношения в выпуклом анализе114
8.2. Теорема об очистке120
§ 9. Необходимые условия экстремума122
9.1. Необходимые условия I и II порядка в гладких задачах математического программирования122
9.2. Условия I и II порядка в классическом вариационном исчислении127
§ 10. Достаточные условия экстремума135
10.1. Достаточные условия в задачах с равенствами и неравенствами135
10.2. Элементы общей теории поля140
10.3. Теория поля и достаточные условия в простейшей задаче к. в. и.142
§ 11. Дополнения146
11. Задачи линейного и выпуклого программирования146
11.2. Ляпуновские задачи149
11.3. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным151
11.4. Уравнение Эйлера для простейшей задачи классического вариационного исчисления в многомерном случае153
11.5. О теоремах существования и прямых методах в вариационном исчислении и оптимальном управлении155
§ 12. Разные задачи157
12.1. Задача о мягкой посадке космического аппарата157
12.2. Задача Годдарда160
12.3. Задача Улама162
12.4. Теорема Чебышева об альтернансе164
12.5. Неравенство Бернштейна166
Задачи168
Ответы, указания, решения185
Краткая хронологическая таблица199
Литература200
Краткий путеводитель по литературе201
Список обозначений202
Предметный указатель203

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В наше время проблемы оптимизации приобрели очень большое значение. Это привело к тому, что сейчас математическое, инженерное и экономическое образование немыслимо без элементов теории экстремальных задач.

Цель этой книги — содействовать тому, чтобы теория экстремальных задач заняла достойное место в современном математическом образовании. В первой части представлены основные разделы теории экстремальных задач, которые обычно входят в программу курсов математического анализа и различные курсы оптимизации: правило множителей Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами (§ 2), линейное программирование (§ 3), классическое вариационное исчисление (§ 4, 5) и оптимальное управление (§ 6). Эта часть написана в расчете на самую широкую аудиторию. В особенности это относится к первым четырем параграфам. Хотелось бы, чтобы материал этих параграфов использовался в технических и экономических вузах при построении как курсов оптимизации, так и отдельных фрагментов оптимизации, включающихся в общие математические курсы. Овладение материалом первой части дает возможность решать задачи.

Необходимо сказать, что материал первой части фактически исчерпывает программу курса «Вариационное исчисление и методы оптимизации» по специальности 2013 — «Математика» для государственных университетов. Вторая часть (§ 7—11) книги адресуется прежде всего студентам университетов и преподавателям, ведущим курсы оптимизации в университетах и вузах. Она может быть использована как при построении основного курса в университете, так и ряда специальных курсов, связанных с оптимизацией. Одна из целей университетского образования — раскрытие глубинных причин той или иной теории и места, которое эта теория занимает в структуре всей математики. Во второй части делается попытка осуществить все это по отношению к теории экстремальных задач. Там весь материал первой части просматривается заново с единой точки зрения, в которой соединяются бесконечномерный гладкий и выпуклый анализ. Для проведения практических и лабораторных занятий по методам оптимизации в § 12 приводится решение важных экстремальных задач, кроме того, имеется 260 задач с ответами, некоторые из них снабжены решениями.

В книге отражен опыт преподавания курсов оптимизации, читаемых на механико-математическом факультете МГУ. Первая часть, § 12, и задачи написаны Э. М. Галеевым, остальное — В. М. Тихомировым. 5


Об авторах
Галеев Эльфат Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.
Тихомиров Владимир Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор МГУ. Область научных интересов: теория приближений, теория экстремальных задач, функциональный анализ.