Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач Изд. 2, испр.

2023. 208 с.

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге рассмотрены наиболее фундаментальные результаты математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления. Излагаются основания выпуклого анализа, достаточные условия экстремума, понятия о динамическом программировании. Приведены решения ряда экстремальных задач, возникающих в теории космонавтики, доказаны некоторые классические неравенства методами теории экстремальных задач. В книгу... (Подробнее)

Содержание

Предисловие к первому изданию				5
Введение				6
1. Исторический очерк				6
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами				10
3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями				12
Часть I ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ				17
§ 1. Элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого анализа				17
1.1. Нормированные и банаховы пространства				17
1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа				19
1.3. Определения производных				22
1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах				25
1.5. Элементы выпуклого анализа				33
§ 2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Задачи выпуклого программирования				41
2.1. Задачи без ограничений				42
2.2. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств				45
2.3. Задачи выпуклого программирования				47
2.4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств				51
2.5. Примеры				54
2.6. О методах решения экстремальных задач. Градиентный метод и метод Ньютона				55
§ 3. Задачи линейного программирования				57
3.1. Симплекс-метод				57
3.2. Обоснование симплекс-метода				62
§ 4. Классическое вариационное исчисление				68
4.1. Задача Больца				68
4.2. Простейшая задача классического вариационного исчисления				72
4.3. Изопериметрические задачи				77
§ 5. Задача Лагранжа				80
5.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа				81
5.2. Задача с подвижными концами				86
5.3. Задачи со старшими производными				88
§ 6. Задачи оптимального управления				91
6.1. Принцип максимума Понтрягина				91
6.2. Примеры				100
Часть II ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ				105
§ 7. Некоторые общие теоремы функционального анализа и их следствия				106
7.1. Теорема Хана—Банаха, отделимость, теорема Банаха об открытости				106
7.2. Леммы (о нетривиальности аннулятора, правом обратном, замкнутости образа и аннуляторе ядра сюръективного оператора)				111
7.3. Теоремы Ляпунова и Хелли				113
§ 8. Выпуклый анализ в линейных пространствах				114
8.1. Двойственные соотношения в выпуклом анализе				114
8.2. Теорема об очистке				120
§ 9. Необходимые условия экстремума				122
9.1. Необходимые условия I и II порядка в гладких задачах математического программирования				122
9.2. Условия I и II порядка в классическом вариационном исчислении				127
§ 10. Достаточные условия экстремума				135
10.1. Достаточные условия в задачах с равенствами и неравенствами				135
10.2. Элементы общей теории поля				140
10.3. Теория поля и достаточные условия в простейшей задаче к. в. и.				142
§ 11. Дополнения				146
11. Задачи линейного и выпуклого программирования				146
11.2. Ляпуновские задачи				149
11.3. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным				151
11.4. Уравнение Эйлера для простейшей задачи классического вариационного исчисления в многомерном случае				153
11.5. О теоремах существования и прямых методах в вариационном исчислении и оптимальном управлении				155
§ 12. Разные задачи				157
12.1. Задача о мягкой посадке космического аппарата				157
12.2. Задача Годдарда				160
12.3. Задача Улама				162
12.4. Теорема Чебышева об альтернансе				164
12.5. Неравенство Бернштейна				166
Задачи				168
Ответы, указания, решения				185
Краткая хронологическая таблица				199
Литература				200
Краткий путеводитель по литературе				201
Список обозначений				202
Предметный указатель				203

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В наше время проблемы оптимизации приобрели очень большое значение. Это привело к тому, что сейчас математическое, инженерное и экономическое образование немыслимо без элементов теории экстремальных задач.

Цель этой книги — содействовать тому, чтобы теория экстремальных задач заняла достойное место в современном математическом образовании. В первой части представлены основные разделы теории экстремальных задач, которые обычно входят в программу курсов математического анализа и различные курсы оптимизации: правило множителей Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами (§ 2), линейное программирование (§ 3), классическое вариационное исчисление (§ 4, 5) и оптимальное управление (§ 6). Эта часть написана в расчете на самую широкую аудиторию. В особенности это относится к первым четырем параграфам. Хотелось бы, чтобы материал этих параграфов использовался в технических и экономических вузах при построении как курсов оптимизации, так и отдельных фрагментов оптимизации, включающихся в общие математические курсы. Овладение материалом первой части дает возможность решать задачи.

Необходимо сказать, что материал первой части фактически исчерпывает программу курса «Вариационное исчисление и методы оптимизации» по специальности 2013 — «Математика» для государственных университетов. Вторая часть (§ 7—11) книги адресуется прежде всего студентам университетов и преподавателям, ведущим курсы оптимизации в университетах и вузах. Она может быть использована как при построении основного курса в университете, так и ряда специальных курсов, связанных с оптимизацией. Одна из целей университетского образования — раскрытие глубинных причин той или иной теории и места, которое эта теория занимает в структуре всей математики. Во второй части делается попытка осуществить все это по отношению к теории экстремальных задач. Там весь материал первой части просматривается заново с единой точки зрения, в которой соединяются бесконечномерный гладкий и выпуклый анализ. Для проведения практических и лабораторных занятий по методам оптимизации в § 12 приводится решение важных экстремальных задач, кроме того, имеется 260 задач с ответами, некоторые из них снабжены решениями.

В книге отражен опыт преподавания курсов оптимизации, читаемых на механико-математическом факультете МГУ. Первая часть, § 12, и задачи написаны Э. М. Галеевым, остальное — В. М. Тихомировым. 5

Об авторах

Галеев Эльфат Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 200 работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач, теории аппроксимации и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ и подготовке к ЕГЭ.

Тихомиров Владимир Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор МГУ. Область научных интересов: теория приближений, теория экстремальных задач, функциональный анализ.