URSS.ru Магазин научной книги
URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии: Основы теории гомотопий Обложка Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии: Основы теории гомотопий
Id: 289654
1269 р.

Основы ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ.
Лекции по алгебраической топологии. Книга 1. Кн.1. Изд. стереотип.

Лекции по алгебраической топологии: Основы теории гомотопий 2022. 420 с.
Серия: Классический учебник МГУ
Типографская бумага

Аннотация

Настоящая книга содержит подробное изложение теории гомотопий. Особое внимание в ней уделено разъяснению основных понятий и истории их происхождения. Книга является систематическим учебником по теории гомотопий в той ее части, которая может быть построена без привлечения гомологических методов. Представлен обширный материал, до выхода книги в монографической и учебной литературе не излагавшийся.

Для студентов старших курсов и аспирантов... (Подробнее)

Оглавление
top
Предисловие
ЛЕКЦИЯ 0
 Задачи распространения и ретракции. – Задачи поднятия и сечения. – Предмет и метод алгебраической топологии. – Пример: теорема о барабане и теорема Брауера о неподвижной точке. – Пример: комплексная проективная плоскость и отображение Хопфа. – Редукция задачи распространения к задаче ретракции. – Векторные поля на сферах . – Гомотопии, пары Борсука и эффективность метода алгебраической топологии. – Гомотопическая категория
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Основные понятия общей топологии. – Экспоненциальный закон для множеств отображений. – Экспоненциальный закон для пространств отображений
ЛЕКЦИЯ 1
 Гомотопии и пути. – Корасслоения и пары Борсука. – Амальгамы . – Амальгамы и коиндуцированные корасслоения . – Цилиндр отображения. – Характеризация корасслоений и пар Борсука─Произведение пар Борсука. – Расслоения . – Коамальгамы и индуцированные расслоения . – Коцилиндр отображения и аксиома о накрывающем пути. – Расслоения пространств отображений
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Аксиома о мягком распространении накрывающей гомотопии. – Мягкие отображения. – Две леммы о мягких отображениях. – Лемма о покрытиях пространства X x IТеорема Дольда. – Локально тривиальные расслоения
ЛЕКЦИЯ 2
 Гомотопические эквивалентности. – Редукция произвольного отображения к корасслоению. – Деформационные ретракты. – Стягиваемые пространства и конусы. – Относительные гомотопии и строгие деформационные ретракты . – Гомотопическая инвариантность операции приклеивания . – Окрестностные деформационные ретракты и пары Борсука. – Строгие деформационные ретракты и гомотопические эквивалентности. – Еще две аксиомы, характеризующие расслоения (аксиома о распространении накрывающего отображения и аксиома о распространении накрывающей гомотопии). – Прообраз пары БорсукаРедукция произвольного отображения к расслоению
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Категория ТОРB0. – Гомотопии, корасслоения и расслоения категории ТОРB0. – Гомотопические расслоения,Гомотопические эквивалентности в сравнении с послойными гомотопическими эквивалентностями. – Коллапсирующие отображения. – Теорема Дольда о послойных гомотопических эквивалентностях. – Индуцированные гомотопические расслоения─Расслоения, индуцированные гомотопными отображениями. – Отображения, являющиеся гомотопическими эквивалентностями на слоях
ЛЕКЦИЯ 3
 Гомотопически инвариантные функторы. – Функтор pi0. – Представимые функторы. – Группы категории. – Н─группы, Н─моноиды и Н─унитоиды (Н─пространства).– Когруппы категории. – Категория ТОР. – Категория [ТОР]-Н─когруппы, Н─комоноиды и Н─коунитоиды. – Надстройки . – Приведенные надстройки. – Пространства петель. – Сопряженность функторов S и OMEGA. – Топологический моноид муровских петель. – Пространство петель является Н─группой
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Н─моноиды, являющиеся Н─группами. – Левые и правые сдвиги в Н─моноидах
ЛЕКЦИЯ 4
 Экспоненциальный закон для пунктированных отображений. – Расслоения и корасслоения категории ТОРЛемма о приклеивании вибриссы. – Цилиндры и коцилиндры в категории ТОР─Стягиваемые пунктированные пространства. – Приведенные конусы. – Серровские расслоения. – Пунктированные гомотопические эквивалентности . – Отображение игнорирования отмеченных точек. – Фундаментальная группа пунктированного пространства -Действие группы pi1Y на множестве [Х,Y]. – Пунктированные Н─пространства. – Н─пространства с настоящими единицами. – Кослои и относительные гомеоморфизмы . – Кослои по стягиваемым подпространствам. – Заключительные замечания о надстройках и пространствах петель
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Лемма о произведении эпиоморфизмов. – Смеш гомотопических классов. – Ассоциативность смеш─умножения хаусдорфовых локально компактных пространств. – Гомотопическая ассоциативность смеш─умножения гладко пунктированных пространств. – Инвариант cat X. – Нильпотентность группы [X, К]. – Абелевость группы [L, K]. – Группы [SnX, OMEGAmY]
ЛЕКЦИЯ 5
 Гомотопические группы. – Альтернативное определение гомотопических групп. – Индуктивное определение гомотопических групп. – Действие группы pi1Х на группах pinХ. – Абелевы пространства─Абелевость гомотопических групп при n >= 2. – Ансамбль гомотопических групп. – Гомотопические группы абелевых пространств. – Асферичные пространства. – Гомотопическая последовательность расслоения. – Алгебраические свойства точных последовательностей . – Гомотопические группы накрывающих пространств. – Расслоение Хопфа. – Функториальность гомотопической последовательности расслоения. – Аксиоматическое описание гомотопических групп
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Точные последовательности пунктированных пространств . – Короткие точные последовательности Н─групп. – Короткие точные последовательности Н─когрупп. – Гомотопические слои пунктированных отображений. – Точная последовательность Пуппе. – Удлиненная последовательность Пуппе классифицированного расслоения. – Конусы отображений и коточные последовательности Пуппе
ЛЕКЦИЯ 6
 Задача поднятия для накрытий. – Накрытия и подгруппы фундаментальной группы. – Автоморфизмы накрытийВполне разрывные действия групп. – Фундаментальная группа букета окружностей. – Единственность умножения в группе pi1X. – Универсальные накрытия. – Фундаментальные группы топологических групп и их факторпространств
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Пределы диаграмм над произвольной категорией. – Пределы диаграмм над категорией групп. – Их копредставления . – Структура свободного произведения групп. – Теорема Зейферта . – ван Кампена. – Следствия теоремы Зейферта─ван Кампена. – Графы. – Деревья. – Вычисление фундаментальной группы графа
ЛЕКЦИЯ 7
 Гладкие отображения и гладкие гомотопии. – Теорема Сарда. – Группа pimSn при т < n. – Фундаментальная группа пространства Sn/G. – Степень гладкого отображенияГомотопическая инвариантность степени. – Степень гомотопического класса. – Инъективность отображения deg
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Простейшие следствия того, что pinSn не равное 0. – Распространение отображений в сферы. – Теорема Борсука о неограниченной компоненте. – Топологическая инвариантность размерности кубируемых множеств. – Множества, не рассекающие сферу. – Теорема об инвариантности области . – Топологическая инвариантность размерности многообразий
ЛЕКЦИЯ 8
 Точные П─последовательности. – Категория пунктированных пар ТОР2. – Относительные гомотопические группыЛемма о пяти гомоморфизмах
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Гомотопическая последовательность тройки. – Гомотопические группы триад. – Инвариантность гомотопических групп при деформационных ретракциях. – Гомотопическая последовательность 4-ады
ЛЕКЦИЯ 9
 Слабые расслоения. – Аддиционная лемма. – Основная лемма. – Накрывающие гомотопии для слабых расслоений . – Доказательство теоремы Дольда─Тома. – Лемма Джеймса
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Аксиома о накрытии замедленных гомотопии. – Аксиома о сверхмягком распространении накрывающей гомотопии . – Теорема Дольда для гомотопических расслоений
ЛЕКЦИЯ 10
 Надстроечный гомоморфизм и надстроечная последовательность . – Универсальный моноид пунктированного пространства . – Фильтрация универсального моноида. – Случай гладко пунктированного пространства. – Меридианное отображение . – Теорема Джеймса и преобразование надстроечной последовательности. – Муровский вариант серровского расслоения. – Доказательство теоремы Джеймса
 ДОПОЛНЕНИЕ
 Телескопная нормализация фильтраций. – Гомотопическая эквивалентность гомотопических пределов. – Теорема Милнора. – Гомотопическая правильность фильтраций Борсука
Литература
Предметный указатель
Предисловие
top

Настоящая книга является систематическим учебником по теории гомотопий в той – неожиданно обширной – ее части, которая может быть построена без привлечения гомологических методов.

Как известно, преподавание и изучение алгебраической топологии чрезвычайно осложнены тем, что теория гомологии и когомологий, занимающая в этой науке центральное место (что, кстати сказать, справедливо и для современного этапа ее развития-при соответствующем, более общем, понимании гомологии и когомологий), строится в высшей степени громоздко, требуя для своего аккуратного изложения целых книг. Прежде чем достичь хотя бы простейших приложений, студент должен пересечь обширную пустыню абстрактных конструкций, роль и значение которых для него долгое время остаются непонятными и неизвестными и которые он вынужден изучать лишь из доверия к преподавателю. Авторами учебников по алгебраической топологии было проявлено много изобретательности, чтобы облегчить студентам эту дорогу, но существенных результатов они не добились. Между тем существует очень простой и элегантный способ построения теории гомологии, укладывающийся в одну-две лекции. Идея его состоит в том, чтобы определять группы цепей клеточных пространств как относительные гомотопические группы остовов и на этой основе строить группы гомологии и когомологий. Конечно, это требует достаточно продвинутой теории гомотопий, которую приходится поэтому предварительно излагать. В целом этот путь, быть может, более труден: вместо пересечения ровной, хотя и скучной, пустыни приходится преодолевать крутые склоны и глубокие ущелья горной страны. Но эта страна не безжизненна, и при вступлении в нее перед путником почти немедленно открываются красивые виды, побуждающие его двигаться дальше. Безусловно, этот путь имеет и свои недостатки, главнейшим из которых является создание у студента ложной перспективы о значении элементарно-гомотопических (= не использующих теорию гомологии) методов и недооценка им мощи и эффективности методов теории гомологии. Другое возражение против этого пути состоит в том, что без теории гомологии доказательства ряда ключевых теорем существенно осложняются и делаются неоправданно трудными. Однако следует иметь в виду, что внутреннюю нетривиальность теории обойти никогда нельзя, и если удается вытащить клюв, то увязает хвост. Вместе с тем изучение впоследствии гомологических доказательств тех же теорем и их сравнение с элементарно-гомотопическими доказательствами со всей силой позволяет подчеркнуть мощь теории гомологии и без труда скорректировать сложившееся вначале ложное впечатление. Таким образом, достоинства предлагаемого пути существенно перевешивают недостатки.

Конкретное построение теории гомологии на базе теории гомотопии будет осуществлено в следующих выпусках этих "Лекций".

Эта книга выросла из конспекта специального курса, который я неоднократно читал студентам и аспирантам механико-математического факультета МГУ. Каждая лекция в книге получилась из записи реальной устной лекции, хотя и значительно переработанной.

Из-за острейшего дефицита времени при чтении специального курса значительно чаще, чем в обязательном курсе, приходится ограничиваться лишь идеей доказательств, оставляя подробное их проведение слушателям. Вспомогательные утверждения из других отделов математики достаточно лишь формулировать со ссылками на литературу, а иллюстрирующие общую теорию примеры лишь описывать, также предоставляя их подробный разбор слушателям. При переносе же устной лекции на бумагу сохранять эти особенности нет необходимости и, более того, все доказательства стоит производить подробно, разбор примеров осуществлять до конца, а "посторонние" леммы доказывать. Этим объясняется неожиданно большой объем некоторых лекций в книге.

Материал, по тем или иным причинам не излагавшийся на лекциях, вынесен в дополнения. (Таким образом, распределение материала по лекциям и дополнениям в основном диктовалось запросами спецкурса и лишь очень мало связано с его внутренней математической ценностью и значительностью. Тем не менее при первом чтении книги рекомендуется сначала пропускать дополнения и возвращаться к ним по мере надобности.)

Лекция 0 имеет вводный характер и посвящена в основном разъяснению на примерах предмета и метода алгебраической топологии. В Дополнении к ней излагается экспоненциальный закон для пространств отображений.

Лекции 1 и 2 посвящены корасслоениям, расслоениям и смежным вопросам. В Дополнениях к этим лекциям излагаются теоремы Дольда о расслоениях. (Двойственные теоремы не упоминаются. Их формулирование и доказательство оставляются читателю.)

В лекции 3 излагаются общие методы построения гомотопически инвариантных функторов, обосновывается необходимость перехода к пунктированным пространствам, вводятся ко-Н-пространства и Н-пространства, надстройки и пространства петель. В Дополнении доказывается, что любой связный Н-моноид является Н-группой.

Лекция 4 содержит общее обсуждение категории пунктированных пространств и ее взаимоотношений с категорией пространств без отмеченных точек. В связи с последним вопросом вводится фундаментальная группа. В Дополнении изучается смеш-умножение топологических пространств и гомотопических классов, вводится инвариант cat Люстерника-Шнирельмана и рассматриваются условия, обеспечивающие нильпотентность или абелевость групп гомотопических классов.

В лекции 5 излагается обычный материал об абсолютных гомотопических группах, а в Дополнении строятся точные последовательности Пуппе.

Лекция 6 посвящена накрытиям вообще и методам вычисления фундаментальных групп в частности. В Дополнении после изложения необходимого алгебраического материала доказывается теорема Зейферта-ван Кампена.

В лекции 7 вводится понятие степени и вычисляются группы pimSn при m =< n. В Дополнении излагаются стандартные геометрические следствия нестягиваемости сферы (теорема Борсука о неограниченной компоненте, топологическая инвариантность размерности, характеризация множеств, не рассекающих сферу, теорема об инвариантности области).

В лекции 8 мы, возвращаясь к общей теории гомотопических групп, вводим относительные гомотопические группы. В Дополнении доказывается точность гомотопических последовательностей троек и триад.

В следующей лекции 9 излагается принадлежащая Дольду и Тому теория квазирасслоений (называемых в книге слабыми расслоениями). В Дополнении доказывается теорема Дольда о гомотопических расслоениях.

Лекция 10 посвящена теореме Джеймса о надстроечной последовательности. В Дополнении доказываются известные общие теоремы о гомотопических свойствах фильтраций.

На этом кончается первая часть курса, посвященная общим понятиям теории гомотопий и гомотопическим группам. Только эта часть курса вошла в настоящую книгу.

Следующие лекции (составляющие отдельную книгу "Теория гомотопий клеточных пространств", планируемую к выходу в свет в 1985 г.) в основном концентрируются вокруг понятия клеточного пространства.

В лекции 11 вводится и изучается категория клеточных пространств. Более хлопотно доказываемые свойства клеточных пространств (локальная стягиваемость и паракомпактность) вынесены в Дополнение.

В лекции 12 на основе обычной техники гладкой аппроксимации доказывается n-связность пар (X, Хn) и теорема о клеточной аппроксимации. В качестве приложения доказывается теорема Фрейденталя с обычными следствиями. В заключение рассматриваются свойства антиподальных отображений. В Дополнении после изложения основных понятий теории симплициальных пространств теорема об аппроксимации доказывается в ее симплициальном варианте.

В лекции 13 категория клеточных пространств сравнивается с категорией всех пространств (теорема о том, что любое топологическое пространство слабо гомотопически эквивалентно клеточному пространству). Здесь же доказывается теорема Уайтхеда о гомотопических эквивалентностях. Дополнение к этой лекции посвящено теоремам представимости (Брауна, Адамса и Хеллера).

На этом общая теория клеточных пространств временно прерывается и со следующей лекции мы обращаемся к теории гомотопических операций.

В лекции 14 излагаются общие теоремы о гомотопических операциях (вытекающие из представимости гомотопических групп), характеризуются аддитивные операции и вводится умножение Уайтхеда. В лекции 15 обсуждается обобщенное умножение Уайтхеда и доказываются его алгебраические свойства (косокоммутативность, билинейность и тождество Якоби). В Дополнении к лекции 15 доказывается теорема Хилтона-Милнора о гомотопических группах букетов надстроек.

Геометрические свойства умножения Уайтхеда обсуждаются в лекции 16. Там же вводится инвариант Хопфа и его обобщения по Уайтхеду. Методом Уайтхеда вычисляется инвариант Хопфа конструкции Хопфа и, в частности, инвариант Хопфа отображений Хопфа. В Дополнении вводятся и изучаются инварианты Хопфа, обобщенные по Хилтону. В частности, обсуждается левый дистрибутивный закон для композиционного умножения.

В лекции 17 мы, возвращаясь в последний раз к клеточным пространствам, доказываем теорему Блейкерса и Масси о вырезании для триад и на ее основе-теорему Фрейденталя для любых связных пространств.

В лекции 18 доказывается "трудная часть теоремы Фрейденталя" и вычисляются группы pin + 1Sn и pin + 2Sn. В вычислении последней группы ключевую роль играет тот факт, что элемент nun o nun + 1 группы pin + 2Sn отличен от нуля. "Современное" доказательство этого факта основывается на теории когомологических операций. Поскольку этот путь нам пока недоступен, мы вынуждены изложить прямое геометрическое доказательство, предложенное в свое время Дж. У.Уайтхедом.

Материал заключительной лекции 19 концентрируется вокруг вопроса о влиянии на гомотопические группы pin приклеивания клеток. При n = 1 мы получаем известное описание образующих и соотношений фундаментальных групп клеточных пространств, что, в частности, позволяет доказать для этих пространств теорему Зейферта-ван Кампена в ее классической формулировке. При n > 1 вводятся убивающие пространства, строятся пространства Эйленберга-Маклейна и вычисляется группа pin(Хn, Хn – 1) (на этой основе и будет в следующем семестре построена теория гомологии). В Дополнении к этой лекции вкратце рассматриваются трехмерные многообразия и их фундаментальные группы.

Хотя алгебраическая топология развилась в основном на глазах нашего поколения, в ее истории уже немало темных мест. Это ставит авторов учебников по топологии перед рядом трудно разрешимых задач, например при составлении библиографии, которая в идеале должна быть аннотированным путеводителем студента по лабиринту журнальной литературы. Без предварительного выяснения всех приоритетов, влияний и заимствований любая такая библиография будет содержать массу исторических ошибок и создаст повод для дискуссий, обвинений и обид. Простое же перечисление всех известных автору статей (или лишь статей, им использованных), для учебных целей почти бесполезное, наверняка ввиду неизбежной случайности их выбора даст тот же результат.

Очень труден также вопрос об авторстве тех или иных теорем; даже само понятие "автор теоремы" не имеет четкой экспликации (скажите, например, кто автор теоремы о том, что группа [K, X] гомотопических классов отображений n-мерного клеточного пространства К в (п – 1)-связное пространство X изоморфна группе когомологий Нn(К; pinХ): Хопф, впервые описавший группу [К, X], но в других терминах и только для случая, когда X = Sn, Уитни, привлекший когомологий, или Уайтхед, введший клеточные пространства и мимоходом заметивший, что формулировка Уитни годится для любых клеточных пространств?).

Рохлин и Фукс в своем известном учебнике [10] разрубают гордиев узел этих проблем одним махом: теоремы они оставляют безымянными, а в библиографии ограничиваются некомментированным списком книг и статей, содержащих дополнительную информацию, на которую в тексте имеются ссылки.

В этих "Лекциях" принято другое решение: дается полная и комментированная библиография, но только книг и-за немногими исключениями-только на русском языке, как наиболее доступных, а традиционные имена теорем трактуются как простые, удобные для ссылок ярлыки, не связанные обязательно с авторством (которое поэтому в бесспорных случаях специально указывается).

М. М. Постников
Об авторе
top
photoПостников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.