Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла Изд. стереотип.

Оглавление

Заключение

Тема "Развитие понятия интеграла" необъятна. Не имея возможности продолжить изложение в принятом плане, мы все же хотели бы на заключительных страницах совсем коротко охарактеризовать то, что следовало бы включить в эту книгу, упомянуть о тех существенных преобразованиях и модификациях понятия интеграла, которое оно претерпело в XX в.

Если придерживаться хронологического принципа, то начать нужно, видимо, с интеграла Данжуа Интегрирование по Лебегу не восстанавливало примитивную по ее точной производной, и еще в диссертации Лебег сделал первый шаг к интегралу Данжуа. Он, однако не пошел дальше в этом направлении, о чем сожалел впоследствии. Попытки соединить в интегрировании идеи Лебега и Гарнака в начале века делались неоднократно, и интеграл Лебега -- Гарнака на некоторое время привлек внимание математиков. После появления узкого интеграла Данжуа в 1912 г. эти попытки были забыты. Зато начался нескончаемый поток исследований Данжуа, Н. Н. Лузина, А Я. Хинчина, П. С. Александрова, Лумана, Лебега, А. С. Кованько, Сакса, Риддера, П. И. Романовского, Джеффери, Верблюнского, Кемписты, Г. П. Толстова и многих других по изучению свойств D-интеграла, его обобщениям в разных направлениях, соединению его с идеей стилтьесовско-го интегрирования и т. п. Упомянутые исследования зачастую переплетались с исследованиями по теории интеграла Перрона, и к указанным работам можно добавить работы Бауэра, Хаке, Бёркила, Кеннеди и Полларда, Уорда и т. д.

Рассматривая ранее понятие интеграла, мы не выходили за рамки n-мерного евклидова пространства. Построение в конце XIX в. общей теории множеств и первые шаги в создании функционального анализа на рубеже веков оказали мощное воздействие на всю математику, в том числе и на развитие понятия интеграла. Сам Фреше строил функциональный анализ как прямое обобщение теории функций, как учение о функциях, заданных на абстрактных множествах, т. е. функционалах. Естественно, что при таком подходе потребовалось создать главное орудие изучения функционалов -- интеграл. Основным препятствием для этого было то, что метрические элементы теории интегрирования были прочно привязаны к евклидовскому пространству. Это препятствие Фреше удалось преодолеть только в 1915 г.

Фреше отправлялся от абстрактных множеств, образующих аддитивный класс или сигма-кольцо, вводил понятие счетно-аддитивной функции множества, а затем и понятие интеграла от функционала по аддитивной функции множества. Решающим при этом было понятие измеримости множества относительно рассматриваемого сигма-кольца, что позволило избежать апелляции к свойствам евкли-довских пространств. После того, как определение Фреше интеграла углубил Никодим, и особенно после изложения теории такого интегрирования в замечательной монографии Сакса, интеграл Фреше, называемый иногда интегралом Лебега -- Стилтьеса, интегралом Радона, а часто и просто интегралом Лебега, стал обиходным в математике. Именно с ним связан большой цикл исследований по обобщенной теореме Ньютона -- Лейбница, чаще называемой теоремой Радона -- Никодима, отчасти подытоженный Гейсом и Пауком; как раз этот интеграл алгебраизировал Ка-ратеодори; к нему относятся работы В. М. Дубровского, Г. Я Арешкина, Л. Д. Кудрявцева и Ю. Д. Кащенко, Кафьеро, Л. Я. Лейфмана, И. П Натансона и многих, многих других.

Заметной вехой в развитии понятия интеграла оказался интеграл Вёркила. Если в предшествующих определениях интегральная сумма составлялась из произведений значения функции точки (или грани ее значений) на значение функции множества, то Бёр-кил строил интегральную сумму только из значений функции множества. Его изыскания в какой-то мере предвосхитил То-нелли, а продолжили их Сакс, Кемписты, П. И Романовский, Рингенберг, Хенсток, Кобер, Д. Ф. Проценко и др.

Работа А. Н. Колмогорова "Исследования о понятии интеграла" выделяется широким синтезом и обобщением абстрактного подхода Фреше, идей Вёркила о характере интегральных сумм, концепции обобщенного предела, представления о многозначных функциях множества, доставившего столько хлопот Р. Юнг. Интегралы А. Н. Колмогорова охватывают все предшествующие интегралы как пределы сумм и изучались затем многими: Гетчелом, Маедой, В. И. Гливенко, Гильдебрандтом, Паньи, Л. Я. Лейфманом, Д. Ф. Проценко и др. Небезынтересно, быть может, упомянуть, что интеграл А. Н. Колмогорова нашел широкое применение в книге Детуша, посвященной вопросам математической физики, а Маеда пользовался им для иного, нежели у Дирака и И. Неймана, математического обоснования квантовой механики.

Наряду с упомянутыми типами интеграционных процессов достаточно широкое распространение получили интеграл Хеллингера, изучавшийся также Риссом, Ганом, Радоном, Гобсоном, Н. М. Гюнтером и др.; интеграл Даниеля, схема построения которого оказалась удобной при рассмотрении интегрирования в функциональных пространствах; А-интеграл, восходящий к Титчмаршу, изученный Ю. С. Очаном и получивший важные применения в теории тригонометрических рядов в работах П. Л. Ульянова и его учеников, которые, кстати, существенно обогатили саму теорию А-интегрирования.

Кроме того, имеются многочисленные более или менее изолированные пока определения интегралов, построенные для решения тех или иных вопросов, не решающихся при помощи упомянутых интегралов. Взаимоотношения этих определений, их связи с названными определениями представляют собой довольно сложную математическую задачу, и решению ее посвящены многие работы, примером которых являются работы В. А Скворцова. Более того, построены целые шкалы интегралов от римановского до лебеговского и далее.

Сказанное выше относилось к интегрированию функций, значениями которых являются действительные числа Введение в обиход математиков векторозначных функций потребовало создания теорий интегрирования последних, и в конце 20-х годов начался процесс построения различных типов интегралов для функций, заданных на абстрактных пространствах и со значениями в абстрактных же пространствах различной структуры и различной степени общности.

Об авторе