Показать ещё...
Тема "Развитие понятия интеграла" необъятна. Не имея возможности продолжить изложение в принятом плане, мы все же хотели бы на заключительных страницах совсем коротко охарактеризовать то, что следовало бы включить в эту книгу, упомянуть о тех существенных преобразованиях и модификациях понятия интеграла, которое оно претерпело в XX в. Если придерживаться хронологического принципа, то начать нужно, видимо, с интеграла Данжуа Интегрирование по Лебегу не восстанавливало примитивную по ее точной производной, и еще в диссертации Лебег сделал первый шаг к интегралу Данжуа. Он, однако не пошел дальше в этом направлении, о чем сожалел впоследствии. Попытки соединить в интегрировании идеи Лебега и Гарнака в начале века делались неоднократно, и интеграл Лебега – Гарнака на некоторое время привлек внимание математиков. После появления узкого интеграла Данжуа в 1912 г. эти попытки были забыты. Зато начался нескончаемый поток исследований Данжуа, Н. Н. Лузина, А Я. Хинчина, П. С. Александрова, Лумана, Лебега, А. С. Кованько, Сакса, Риддера, П. И. Романовского, Джеффери, Верблюнского, Кемписты, Г. П. Толстова и многих других по изучению свойств D-интеграла, его обобщениям в разных направлениях, соединению его с идеей стилтьесовско-го интегрирования и т. п. Упомянутые исследования зачастую переплетались с исследованиями по теории интеграла Перрона, и к указанным работам можно добавить работы Бауэра, Хаке, Бёркила, Кеннеди и Полларда, Уорда и т. д. Рассматривая ранее понятие интеграла, мы не выходили за рамки n-мерного евклидова пространства. Построение в конце XIX в. общей теории множеств и первые шаги в создании функционального анализа на рубеже веков оказали мощное воздействие на всю математику, в том числе и на развитие понятия интеграла. Сам Фреше строил функциональный анализ как прямое обобщение теории функций, как учение о функциях, заданных на абстрактных множествах, т. е. функционалах. Естественно, что при таком подходе потребовалось создать главное орудие изучения функционалов – интеграл. Основным препятствием для этого было то, что метрические элементы теории интегрирования были прочно привязаны к евклидовскому пространству. Это препятствие Фреше удалось преодолеть только в 1915 г. Фреше отправлялся от абстрактных множеств, образующих аддитивный класс или сигма-кольцо, вводил понятие счетно-аддитивной функции множества, а затем и понятие интеграла от функционала по аддитивной функции множества. Решающим при этом было понятие измеримости множества относительно рассматриваемого сигма-кольца, что позволило избежать апелляции к свойствам евкли-довских пространств. После того, как определение Фреше интеграла углубил Никодим, и особенно после изложения теории такого интегрирования в замечательной монографии Сакса, интеграл Фреше, называемый иногда интегралом Лебега – Стилтьеса, интегралом Радона, а часто и просто интегралом Лебега, стал обиходным в математике. Именно с ним связан большой цикл исследований по обобщенной теореме Ньютона – Лейбница, чаще называемой теоремой Радона – Никодима, отчасти подытоженный Гейсом и Пауком; как раз этот интеграл алгебраизировал Ка-ратеодори; к нему относятся работы В. М. Дубровского, Г. Я Арешкина, Л. Д. Кудрявцева и Ю. Д. Кащенко, Кафьеро, Л. Я. Лейфмана, И. П Натансона и многих, многих других. Заметной вехой в развитии понятия интеграла оказался интеграл Вёркила. Если в предшествующих определениях интегральная сумма составлялась из произведений значения функции точки (или грани ее значений) на значение функции множества, то Бёр-кил строил интегральную сумму только из значений функции множества. Его изыскания в какой-то мере предвосхитил То-нелли, а продолжили их Сакс, Кемписты, П. И Романовский, Рингенберг, Хенсток, Кобер, Д. Ф. Проценко и др. Работа А. Н. Колмогорова "Исследования о понятии интеграла" выделяется широким синтезом и обобщением абстрактного подхода Фреше, идей Вёркила о характере интегральных сумм, концепции обобщенного предела, представления о многозначных функциях множества, доставившего столько хлопот Р. Юнг. Интегралы А. Н. Колмогорова охватывают все предшествующие интегралы как пределы сумм и изучались затем многими: Гетчелом, Маедой, В. И. Гливенко, Гильдебрандтом, Паньи, Л. Я. Лейфманом, Д. Ф. Проценко и др. Небезынтересно, быть может, упомянуть, что интеграл А. Н. Колмогорова нашел широкое применение в книге Детуша, посвященной вопросам математической физики, а Маеда пользовался им для иного, нежели у Дирака и И. Неймана, математического обоснования квантовой механики. Наряду с упомянутыми типами интеграционных процессов достаточно широкое распространение получили интеграл Хеллингера, изучавшийся также Риссом, Ганом, Радоном, Гобсоном, Н. М. Гюнтером и др.; интеграл Даниеля, схема построения которого оказалась удобной при рассмотрении интегрирования в функциональных пространствах; А-интеграл, восходящий к Титчмаршу, изученный Ю. С. Очаном и получивший важные применения в теории тригонометрических рядов в работах П. Л. Ульянова и его учеников, которые, кстати, существенно обогатили саму теорию А-интегрирования. Кроме того, имеются многочисленные более или менее изолированные пока определения интегралов, построенные для решения тех или иных вопросов, не решающихся при помощи упомянутых интегралов. Взаимоотношения этих определений, их связи с названными определениями представляют собой довольно сложную математическую задачу, и решению ее посвящены многие работы, примером которых являются работы В. А Скворцова. Более того, построены целые шкалы интегралов от римановского до лебеговского и далее. Сказанное выше относилось к интегрированию функций, значениями которых являются действительные числа Введение в обиход математиков векторозначных функций потребовало создания теорий интегрирования последних, и в конце 20-х годов начался процесс построения различных типов интегралов для функций, заданных на абстрактных пространствах и со значениями в абстрактных же пространствах различной структуры и различной степени общности. Медведев Федор Андреевич Один из крупнейших отечественных историков математики второй половины XX века. Окончил Калужский педагогический институт (1952). В 1955 г. поступил в аспирантуру Института истории естествознания и техники АН СССР, в котором работал до конца жизни. Его основные труды посвящены истории теории множеств и теории функций действительного переменного. В их числе монографии: "Развитие теории множеств в XIX веке" (М.: 1965; URSS, 2015), "Развитие понятия интеграла" (М., 1974; URSS, 2022), "Очерки истории теории функций действительного переменного" (М., 1975; URSS, 2017), "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX–XX вв." (М., 1976; URSS, 2017), "Ранняя история аксиомы выбора" (М., 1982; URSS, 2020), а также книга на английском языке "Scenes from the history of real functions" (Basel, 1991).
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |