Обложка Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А., Вовк И.В. Дюжина лекций о фракталах: От объекта восхищения к инструменту познания
Id: 289030
985 руб.

Дюжина лекций о фракталах:
От объекта восхищения к инструменту познания № 84 № 159. Изд. стереотип.

URSS. 2022. 264 с. ISBN 978-5-9519-3366-9.
Типографская бумага
  • Твердый переплет

Аннотация

Фрактальные структуры являются не просто математической абстракцией, они присущи многим явлениям в природе. Такое понимание стало важным достижением науки второй половины XX столетия. Понятие фрактала выросло в новую математическую модель, дающую единое описание свойств, присущих многим природным явлениям. Этим объясняется современная популярность фрактального подхода к анализу различных объектов.

Настоящее учебное пособие, включающее... (Подробнее)


Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ7
Лекция 1. Понятие фрактала12
1.1. "Фрактальная геометрия природы"12
1.2. Длина береговой линии17
1.3. Примеры фрактальных функций24
1.4. Вычислительные алгоритмы оценки фрактальной размерности линий26
1.5. Контрольные вопросы к первой лекции32
Лекция 2. Фрактальные размерности множеств33
2.1. Понятие размерности множеств33
2.2. Фрактальные размерности36
2.3. Фрактал как самоподобный объект43
2.4. Контрольные вопросы ко второй лекции49
Лекция 3. Примеры самоподобных фрактальных множеств51
3.1. Множество Кантора51
3.2. Снежинка Коха55
3.3. Салфетка Серпинского57
3.4. Губка Менгера60
3.5. Еще одно определение фрактала62
3.6. Кривые Пеано63
3.7. Контрольные вопросы к третьей лекции67
Лекция 4. Система итерированных функций как метод построения фрактальных структур70
4.1. Итерационная аппроксимация фрактальных множеств70
4.2. Детерминированный алгоритм73
4.3. Метод случайных итераций78
4.4. Расширение возможностей84
4.5. Контрольные вопросы к четвертой лекции91
Лекция 5. Мультифракталы94
5.1. Пример мультифрактала на основе салфетки Серпинского94
5.2. Гельдеровская регулярность функции96
5.3. Мультифрактальный спектр меры100
5.4. Функция Реньи109
5.5. Некоторые свойства характеристик мультифракталов112
5.6. Контрольные вопросы к пятой лекции121
Лекция 6. Нелинейные комплексные отображения122
6.1. Неподвижные точки. Циклы123
6.2. Определение множеств Жюлиа и Мандельброта126
6.3. Квадратичное комплексное отображение127
6.4. Свойства множества Жюлиа квадратичного отображения131
6.5. Два алгоритма построения множества Жюлиа133
6.6. Множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа136
6.7. Контрольные вопросы к шестой лекции152
Лекция 7. Итерации Ньютона153
Контрольные вопросы к седьмой лекции162
Лекция 8. Некоторые сведения из теории случайных процессов164
8.1. Вероятность164
8.2. Случайные величины165
8.3. Нормальный закон распределения166
8.4. Числовые характеристики случайных величин168
8.5. Случайные процессы170
8.6. Стационарность и эргодичность случайных процессов172
8.7. Энергетический спектр случайного процесса174
8.8. Контрольные вопросы к восьмой лекции178
Лекция 9. Броуновское движение179
9.1. Моделирование случайных процессов с фрактальными свойствами179
9.2. Простая модель броуновского движения180
9.3. Броуновский сигнал184
9.4. Обобщенный броуновский сигнал190
9.5. Контрольные вопросы к девятой лекции193
Лекция 10. Алгоритмы построения фрактальных сигналов194
10.1. Алгоритм срединного смещения194
10.2. Метод Фурье-фильтрации198
10.3. Контрольные вопросы к десятой лекции202
Лекция 11. Фрактальный и мультифрактальный анализ сигналов203
11.1. Что дает фрактальный анализ сигналов203
11.2. Метод нормированного размаха204
11.3. Метод бестрендового флуктуационного анализа210
11.4. Мультифрактальный анализ сигналов215
11.5. Тестирование метода MF-DFA222
11.6. Контрольные вопросы к одиннадцатой лекции230
Лекция 12. Шум дыхания человека231
12.1. Строение респираторной системы человека231
12.2. Методика регистрации шума дыхания233
12.3. Временные и спектральные характеристики шума дыхания235
12.4. Мультифрактальный анализ шума дыхания человека239
12.5. Теоретическая модель возникновения шума везикулярного дыхания человека245
12.6. Анализ численных результатов, полученных на основе теоретической модели шума везикулярного дыхания человека251
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ256

Предисловие

Поэт! Не бойся тавтологий,

Окольных троп не проторяй.

Пусть негодует критик строгий,

Ты удивленно повторяй:

«Какое масляное масло!

Какой на свете светлый свет!» –

И ты поймешь, как много смысла

Там, где его, казалось, нет.

З. Е. Эзрохи

Вы можете задать себе два вопроса. Зачем читать эту книгу? Почему авторы ее написали? Попробуем ответить на них в предисловии.

Итак, вопрос первый: зачем читать? Каждый понимает, что возникновение новых представлений в науке расширяет наши знания об окружающем мире и делает наш внутренний мир более богатым, способным увидеть и оценить сложность, многообразие и красоту природы. Это, в полной мере, касается и предмета повествования данной книги. Совершим небольшой экскурс в историю развития некоторых представлений в науке.

С древних времен считалось, что умение предсказывать – удел мудрецов, и вместе с тем, предвидение – это одна из основных целей науки. Развитие математики существенно расширило возможности исследователей в проведении научного прогноза. Оказалось, например, что движение небесных тел можно рассчитывать, решая дифференциальные уравнения, которые могут быть достаточно сложными, и для их решения нужно будет приложить немало усилий. Такая работа увлекла ученых на многие годы и, казалось, единственным препятствием будут чисто математические трудности, которые со временем будут преодолены.

Однако с развитием науки возникло понимание того, что нельзя сделать, какие цели не стоят перед научным исследованием. Так, с появлением термодинамики стало понятно, почему никогда не построят вечный двигатель. Квантовая механика показала, что мы принципиально лишены возможности измерить с заранее заданной точностью одновременно координату и импульс элементарной частицы. На непреодолимые барьеры указала теория относительности. По сути, понимание новых ограничений стало признаком фундаментальных теорий.

В этом ряду важное место занимают работы последних лет, связанные с предсказуемостью. Стимулом к таким исследованиям послужила работа американского метеоролога Э. Лоренца, опубликованная в 1963 г. Лоренц поставил перед собой вопрос: почему при наличии мощных ЭВМ нельзя дать надежный, достаточно долгосрочный прогноз погоды. Он предложил простую модель, которая описывала динамику атмосферы, и просчитал её на ЭВМ. Изучая одно из численных решений системы, Лоренц вывел на печать промежуточные результаты счета в формате «три знака после десятичной запятой» при точности представления «шесть знаков после запятой» в памяти машины. Используя затем эти промежуточные данные в качестве начальных для последующего счета, Лоренц обнаружил, что после соответствующего расчета результаты кардинальным образом отличались от тех, которые были получены без промежуточного вывода значений на печать, т.е. без отбрасывания трех последних знаков в промежуточных результатах. Получив такой результат, Лоренц не отмахнулся от него как от ошибки вычислений, а отнесся очень серьезно. Этот результат – возникновение хаотических, напоминающих случайные, колебаний. При этом модель Лоренца была детерминированной, т.е. в уравнениях её динамики полностью отсутствовали случайные параметры.

Таким образом, в системе, где будущее однозначно определяется прошлым, Лоренц обнаружил конечный горизонт прогноза. Это явление получило название детерминированного (динамического) хаоса. Вслед за работой Лоренца начались интенсивные исследования данного явления. Оказалось, что хаотическим колебаниям (явлениям), которые возникают согласно регулярным законам, присущ не «бесформенный» хаос, а хаос со скрытым порядком. Этот порядок связан с понятием фрактальной структуры. И хотя в математике подобные конструкции в той или иной форме появлялись более ста лет назад, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы ХХ века.

Как свидетельство этих перемен процитируем торжественное заявление, с которым выступил в 1986 г. сэр Дж. Лайтхилл*, бывший в то время президентом Международного союза теоретической и прикладной механики: «Тут я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занимается механикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу великолепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в которые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает коллективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных людей, распространяя идеи о детерминизме систем, удовлетворяющих законам движения Ньютона, – идеи, которые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправильными».

Динамический хаос и фрактальные структуры свойственны не только, как казалось бы на первый взгляд, физическим нелинейным системам. В настоящее время фракталам и хаосу посвящено много книг и обзоров, большое число статей опубликовано в ведущих научных журналах мира по математике, физике, химии, биологии, медицине, экономике и других. Конечно, фракталы присутствуют во многих структурах вовсе не связанных с явлением динамического хаоса, да и явление хаоса не всегда сопровождается фрактальным образованием. Однако, говоря о них вместе, мы хотели подчеркнуть, с одной стороны, их природную взаимосвязь, а с другой, отметить одновременное повышение интереса к этим явлениям.

Понятие фрактала выросло в новую математическую модель, дающую единое описание свойств, присущих многим природным явлениям. Этим объясняется современная популярность фрактального подхода к анализу различных объектов. В заглавие книги вынесены слова «от удивления к инструменту». Они явились руководящей идеей при написании книги. Действительно, от удивления, которое испытываешь при знакомстве и изучении фракталов до инструмента, позволяющего глубже понять природу исследуемого явления. Таков путь авторы предлагают пройти читателю, взявшему на себя труд прочтения данной книги.

Теперь ответим на второй вопрос: почему написана эта книга? На данный момент, имеется большое количество литературных источников разного уровня сложности, в которых говорится о фракталах. Следует выделить замечательные книги Е. Федера [28], Х.-О. Пайтгена и П. Х. Рихтера [25], С. В. Божокина и Д. А. Паршина [3], Р. М. Кроновера [18], которыми авторы руководствовались в своей работе. Однако мы полагаем, что написание книги в виде цикла лекций, в которых, как мы надеемся, последовательно и доходчиво изложен материал найдет своего читателя.

Предлагаемая книга – это лекции для первоначального ознакомления с понятиями о фракталах. Характерной чертой лекций является практическая направленность, т.е. читатель не только знакомится с характеристиками явления, но и, имея под рукой программу для ЭВМ, может повторить результат, представленный в тексте, и провести самостоятельное исследование. Это позволит ему убедиться в существовании описанных явлений и почувствовать себя первооткрывателем. Программы написаны для математического пакета Mathcad, как наиболее приближенного к восприятию пользователя. Программы выложены на сайте http://freescb.info/ в разделе «Книжная лавка». Следует сказать, что становление науки о фракталах и динамическом хаосе стало возможным благодаря интенсивному развитию вычислительной техники. Можно с уверенностью утверждать, что без развития вычислительной техники науки о хаосе и фракталах, в современном представлении, не существовало бы.

Говоря о математических средствах в свете последовательного изложения материала книги, нужно особо выделить роль геометрических представлений. Использование понятий линии, вектора, кривых различных типов позволяет придать наглядность многим результатам физических теорий. В историческом аспекте следует отметить, что развитие физических представлений о природе в значительной мере основывалось на привлечении и использовании фундаментальных геометрических идей. Именно поэтому в предлагаемой книге при изучении фракталов геометрические представления и понятия занимают центральное место.

Структура лекций отображена в оглавлении и в дополнительных комментариях не нуждается. Отметим, что двенадцатая лекция написана на основе исследований авторов книги. В конце книги приведен список литературы. Мы ограничились лишь некоторыми относительно доступными изданиями. Уровень изложения в них различен: от популярных статей до глубоких монографий. Перечень литературных источников и обширные данные в Интернете позволят читателю определить дальнейшие ориентиры.

Мы надеемся, что книга будет полезна не только студентам, но и представителям как технических, так и гуманитарных специальностей, которые хотели бы познакомиться с таким интересным и развивающимся научным направлением.

В заключении хотелось бы сказать, что в процессе работы над книгой, обсуждая некоторое явление или результаты расчетов на ЭВМ, мы не раз испытывали чувства удивления и восхищения, о которых так образно говорится в поэтических строках, приведенных ниже. Если у читателя возникнут подобные чувства, то такое созвучие будет нами радостно воспринято.

За несколько шагов до водопада

Еще не знал катящийся поток,

С каких высот ему сорваться надо…

И ты готовься совершить прыжок!

С. Я. Маршак


Об авторах
Гринченко Виктор Тимофеевич
Академик Национальной академии наук Украины, заслуженный деятель науки и техники Украины, лауреат Государственной премии УССР в области науки и техники, директор Института гидромеханики НАНУ. Научные интересы: волновые процессы в упругих телах и жидкостях, генерация звука потоками, взаимодействие электрических и механических полей в средах с пьезоэффектом, эффекты детерминированного хаоса в стоксовых течениях жидкости.
Мацыпура Владимир Тимофеевич
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики Киевского национального университета имени Тараса Шевченко. Научные интересы: волновые процессы, фракталы, детерминированный хаос.
Снарский Андрей Александрович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики Национального технического университета Украины «КПИ». Научные интересы: теория протекания, кинетические явления в случайно-неоднородных средах, термоэлектричество, фракталы, детерминированный хаос, теория сложных сетей.
Вовк Игорь Владимирович
Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института гидромеханики НАНУ. Научные интересы: излучение и рассеяние звука, генерация звука потоками, электроакустические преобразователи, регистрация и классификация звуков дыхания человека, фрактальный анализ сложных сигналов.