ОГЛАВЛЕНИЕ | 3
|
Предисловие к первому изданию | 11
|
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ | 19
|
Глава I. Начала векторной алгебры | 19
|
§ 1. Вектор | 19
|
1. Направленный отрезок (вектор) | 19
|
2. Равенство векторов | 20
|
3. Обозначения | 21
|
§ 2. Афинные операции над векторами | 23
|
4. Сложение двух векторов | 23
|
5. Сложение нескольких векторов | 26
|
6. Вектор «нуль» | 29
|
7. Формально-алгебраические свойства сложения векторов | 30
|
8. Приложения | 31
|
9. Вычитание векторов | 33
|
10. Умножение вектора на число | 35
|
11. Коллинеарность векторов. Деление коллинеарных векторов | 37
|
12. Приложения | 38
|
Задачи к главе I | 41
|
Глава II. Элементарные вопросы аналитической геометрии | 42
|
§ 1. Векторно-алгебраический метод решения геометрических задач | 42
|
13. Предварительные замечания | 42
|
14. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора | 43
|
15. Деление отрезка в данном отношении | 47
|
16. Приложения формулы деления отрезка в данном отношении | 49
|
17. Теорема Менелая | 50
|
18. Проективное построение четвёртой гармонической точки | 53
|
19. Теорема Дезарга | 54
|
20. Параметрическое задание прямой линии | 56
|
§ 2. Координаты вектора и точки | 59
|
21. Координаты вектора, принадлежащего системе коллинеарных векторов | 59
|
22. Координаты вектора, принадлежащего системе компланарных векторов | 59
|
23. Декартова и прямоугольная координатная система | 62
|
24. Теорема о координатах линейной комбинации | 63
|
25.-Координаты точки на плоскости | 65
|
§ 3. Координатный метод решения геометрических задач на плоскости | 67
|
26. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами. Угловой коэффициент вектора | 67
|
27. Координаты вектора, заданного координатами своих концов | 69
|
28. Условие коллинеарности трёх точек, заданных своими координатами | 69
|
29. Координатная форма параметрического задания прямой | 70
|
30. Координатное доказательство теоремы Менелая | 70
|
31. Решение простейших задач аналитической геометрии в прямоугольной декартовой координатной системе | 72
|
Задачи к главе 11 | 75
|
Глава III. Основные формулы аналитической геометрии на плоскости | 77
|
§ 1. Измерение площадей в ориентированной плоскости. Внешнее (косое) произведение векторов | 77
|
32, Площадь ориентированного параллелограмма | 77
|
33. Свойства символа a º b. Внешнее (косое) произведение двух векторов | 79
|
34. Площадь ориентированного треугольника | 81
|
35. Площадь прямолинейной фигуры, заданной последовательностью своих вершин | 83
|
36. Пример | 84
|
37. Координатные формулы для вычисления площади | 85
|
§ 2. Вычисление углов в прямоугольной декартовой (правой) координатной системе | 87
|
38. Угол между двумя векторами, заданными в ориентированной плоскости | 87
|
39. Формула для вычисления синуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе | 88
|
40. Формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе | 89
|
41. Формула для вычисления tg (а, b) | 90
|
42. Ещё один вывод формулы для вычисления cos (a1, a2) | 91
|
§ 3. Полярные координаты вектора и точки | 92
|
43. Полярные координаты вектора | 92
|
44. Формулы, связывающие полярные координаты вектора и его прямоугольные декартовы (правые) координаты | 92
|
45. Обобщённые полярные координаты вектора | 94
|
46. Полярные координаты точки | 95
|
§ 4. Скалярное произведение | 96
|
47. Определение | 96
|
48. Формально-алгебраические свойства скалярного произведения | 96
|
49. Свойства скалярного произведения, отличные от свойств произведения чисел | 97
|
50. Приложение скалярного произведения к задачам элементарной геометрии и тригонометрии | 98
|
51. Приложение скалярного произведения к задачам аналитической геометрии | 102
|
52. Проекция вектора | 105
|
53. Координаты вектора как проекции | 107
|
§ 5. Преобразование координатной системы | 107
|
54. Преобразование координат вектора | 107
|
55. Преобразование координат точки | 110
|
55 bis. Обратная задача | 111
|
56. Преобразование прямоугольных декартовых правых координат | 112
|
§ 6. Комплексные векторы и точки | 114
|
57. Алгебра комплексных векторов | 114
|
57 bis. Комплексные точки | 116
|
Задачи к главе III | 118
|
Глава IV. Уравнение геометрического места | 121
|
§ 1. Уравнение прямой линии | 122
|
58. Аналитический метод разыскания точек геометрического места | 122
|
59. Геометрическое место, определяемое уравнением первой степени | 124
|
60. Уравнение прямой линии | 125
|
61. Упрощения, возникающие вследствие специального выбора координатной системы | 126
|
62. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки | 128
|
63. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору | 128
|
§ 2. Окружность | 129
|
64. Уравнение окружности, заданной своим центром и радиусом (в прямоугольной координатной системе) | 129
|
65. Уравнение второй степени, определяющее окружность | 130
|
66. Приложение: окружность Аполлония | 132
|
§ 3. Эллипс | 134
|
67. Определение эллипса. Уравнение эллипса | 134
|
68. Исследование формы эллипса по его уравнению | 136
|
69. Эллипс, определяемый уравнением x2/a2+y2/b2 =1 | 140
|
70. Афинное построение точек эллипса | 143
|
§ 4. Гипербола | 145
|
71. Определение гиперболы. Уравнение гиперболы | 145
|
72. Исследование формы гиперболы по её уравнению | 145
|
73. Пересечение гиперболы с прямой, проходящей через её центр | 147
|
74. Асимптоты гиперболы | 149
|
75. Уравнения асимптот гиперболы | 151
|
76. Замечание | 151
|
77. Сопряжённые гиперболы | 152
|
78. Гипербола, определяемая уравнением x2/a2 – y2/b2 =1 | 154
|
79. Гипербола, определяемая уравнением ху = 1 | 155
|
§ 5. Парабола | 157
|
80. Определение параболы. Уравнение параболы | 157
|
81. Исследование формы параболы по её уравнению | 157
|
82. Парабола, определяемая уравнением у = ах2+ 2bх +с | 159
|
§ 6. Уравнения некоторых геометрических мест, заданных метрически | 162
|
83. Фокальное определение эллипса | 162
|
84. Фокальное определение гиперболы | 166
|
85. Определение эллипса, гиперболы и параболы с помощью фокуса и директрисы | 167
|
86. Замечание | 172
|
§ 7. Уравнение геометрического места в полярных координатах | 173
|
87. Уравнение геометрического места в необобщённых полярных координатах | 173
|
88. Уравнение геометрического места в обобщённой полярной координатной системе | 177
|
§ 8. Аналитический метод изучения геометрических мест на плоскости (заключительные замечания) | 179
|
89. Уравнение линии | 179
|
90. Параметрическое задание линии | 183
|
91. Замечание | 185
|
Задачи к главе IV | 185
|
Глава V. Прямая линия | 189
|
§ 1. Афинные задачи | 189
|
92. Уравнение прямой линии | 189
|
93. Взаимное расположение прямых, заданных своими уравнениями | 190
|
94. Специальные виды уравнения прямой | 196
|
95. Уравнение прямой, принадлежащей пучку («уравнение пучка») | 198
|
95 bis. Бесконечно удалённые точки. Обогащенная плоскость | 204
|
96. Отношение, в котором прямая делит отрезок | 205
|
97. Теорема Менелая для многоугольника | 206
|
98. Знак трёхчлена Ах +By+С | 207
|
99. Двойное отношение четырёх прямых, принадлежащих пучку | 208
|
§ 2. Метрические задачи | 210
|
100. Вычисление угла между двумя прямыми в ориентированной плоскости | 210
|
101. метрическое (векторное и координатное) уравнение прямой линии | 212
|
102. Формула для вычисления расстояния от точки до прямой | 214
|
103. Единичный вектор нормали. Нормальное уравнение прямой | 216
|
Задачи к главе V | 218
|
Глава VI. Кривые второго порядка | 221
|
104. Предварительные замечания | 221
|
§ 1. Исследование кривой, заданной уравнением Ах2 + Су2 + F=0 | 222
|
105. Общие соображения | 222
|
106. Примеры | 223
|
107. Случай F ≠ 0 (эллипс, гипербола, пара параллельных прямых) | 227
|
108. Случай F = 0 (пара пересекающихся, пара слившихся прямых) | 227
|
§ 2. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (афинная классификация кривых второго порядка) | 229
|
109. Индексные обозначения для коэффициентов уравнения второго порядка | 229
|
110. Алгебраическое преобразование квадратичного многочлена (преобразование Гаусса); случай a11 ≠ 0, Δ2 ≠ 0 | 230
|
111. Афинная классификация кривых второго порядка (случай Δ2 ≠ 0) | 231
|
112. Построение кривой, заданной общим уравнением второго порядка (случай Δ2 ≠ 0) | 233
|
113. Классификация и построение кривых второго порядка в случае, когда Δ2 ≠ 0 | 237
|
114. Распространение полученных результатов на случай а11 = 0 | 241
|
115. Итоги исследования | 243
|
116. Канонические представления квадратичной функции от двух переменных | 244
|
§ 3. Взаимное расположение кривой второго порядка и прямой линии | 246
|
117. Предварительные замечания | 246
|
118. Основное квадратное уравнение | 247
|
119. Случай I: старший коэффициент основного уравнения не равен нулю | 248
|
120. Случай II: особые (асимптотические) направления линии второго порядка | 250
|
121. Случай III: асимптоты линии второго порядка | 253
|
122. Асимптоты центральной линии второго порядка | 254
|
123. Асимптоты линии параболического типа | 255
|
124. Бесконечно удалённые точки линии второго порядка | 256
|
§ 4. Касательная к кривой второго порядка | 262
|
125. Направление касательной, проведённой из заданной точки | 262
|
126. Асимптота, как касательная в бесконечно удалённой точке | 263
|
127, Внешние и внутренние точки нераспадающейся кривой второго порядка | 264
|
128. Уравнение касательной, проведённой через заданную точку, лежащую на линии второго порядка | 266
|
§ 5. Диаметры кривой второго порядка | 268
|
129. Уравнение диаметра кривой второго порядка | 268
|
130. Уравнения диаметров, сопряжённых координатным осям | 268
|
131. Пучок диаметров центральной кривой | 269
|
132. Параллельный пучок диаметров параболы | 269
|
133. Диаметральная прямая, сопряжённая особому направлению | 270
|
134. Асимптота параболы—бесконечно удалённая прямая | 270
|
135. Пара направлений, взаимно сопряжённых относительно кривой второго порядка. Условия сопряжённости | 271
|
136. Главная пара сопряжённых направлений кривой второго порядка. Главные диаметры | 273
|
§ 6. Упрощение уравнения кривой второго порядка | 275
|
137. Формулы преобразования коэффициентов уравнения кривой второго порядка | 275
|
138. Упрощения, возникающие в результате специального выбора направления новых координатных осей | 276
|
139. Упрощения, возникающие в результате специального выбора начала новой координатной системы | 278
|
140. Упрощения, возникающие в результате специального выбора расположения новых координатных осей | 279
|
Задачи к главе VI | 283
|
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ | 290
|
Глава VII Основные понятия и формулы аналитической геометрии в пространстве | 290
|
§ 1. Задание вектора с помощью скалярных величин | 290
|
141. Разложение произвольного вектора по трём заданным некомпланарным векторам | 290
|
142. Теорема обединственности разложения вектора | 292
|
143. Координаты вектора в пространстве | 292
|
144. Теорема о координатах линейной комбинации нескольких векторов | 293
|
145. Координатные оси и координатные плоскости | 294
|
146. Декартова и прямоугольная координатная система | 295
|
147. Формула для вычисления длины вектора, заданного своими прямоугольными декартовыми координатами | 296
|
148. Координаты точки в пространстве | 296
|
§ 2. Координатный метод решения геометрических задач. Приложения к аналитической геометрии | 298
|
149. Условие коллинеарности двух векторов | 298
|
150. Условие компланарности трёх векторов | 299
|
151. Координаты вектора, заданного координатами своих концов. Условие коллинеарности трёх точек. Условие компланарности четырёх точек | 301
|
152. Координаты точки, делящей отрезок в данномотношении | 301
|
153. Координатная форма параметрического задания прямой | 302
|
154. Две метрические задачи | 302
|
Задачи к главе VII | 303
|
Глава VIII. Векторная алгебра в пространстве. Приложения к геометрии | 304
|
§ 1. Вычисление объёмов в ориентированном пространстве. Тройное произведение | 304
|
155. Репер; ориентация репера | 304
|
156. Объём ориентированного параллелепипеда | 306
|
157. Формальные свойства символа abc | 306
|
158. Тройное произведение | 309
|
159. Формула для вычисления тройного произведения векторов, заданных своими координатами | 310
|
160. Условие компланарности трёх векторов, заданных своими координатами | 312
|
161. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами | 313
|
162. Объём ориентированного тетраэдра | 313
|
163. Объём многогранника | 316
|
§ 2. Приложения тройного произведения к некоторым вопросам высшей алгебры | 318
|
164. Свойства определителя третьего порядка | 318
|
165. Решение системы трёх линейных уравнений | 320
|
§ 3. Скалярное произведение | 322
|
166. Определение. Формальные свойства | 322
|
167. Замечание | 323
|
168. Приложения скалярного произведения к задачам элементарной геометрии | 323
|
169. Приложение скалярного произведения к выводу некоторых формул аналитической геометрии | 325
|
170. Введение индексной системы обозначений | 328
|
171. Проекция вектора | 330
|
172. Прямоугольные декартовы координаты вектора суть его проекции на координатные оси | 332
|
173. Направляющие косинусы | 332
|
174. Полярная (сферическая) координатная система в пространстве | 334
|
175. Замечательное тождество | 337
|
176. Геометрические следствия | 338
|
§ 4. Векторное произведение двух векторов | 339
|
177. Определение векторного произведения. Обозначение | 339
|
178. Связь между векторным, скалярным и тройным произведениями | 342
|
179. Формулы для вычисления координат векторного произведения в прямоугольной декартовой и правой координатной системе | 344
|
180. Формальные свойства векторного произведения | 345
|
181. Сложные произведения нескольких векторов | 347
|
182. Приложение векторного произведения к вычислению площадей | 349
|
183. Вращение твёрдого тела вокруг оси. Формулы Эйлера | 349
|
184. Взаимные координатные системы | 351
|
185. Векторное деление | 357
|
§ 5. Преобразование координат | 359
|
186. Преобразование общих координат вектора | 359
|
187. Преобразование координат точки | 362
|
188. Обратная задача | 363
|
189. Преобразование прямоугольных декартовых координат | 364
|
190. Ортогональные матрицы | 367
|
191. Существенные параметры, определяющие взаимное расположение двух прямоугольных декартовых координатных систем | 368
|
192. Эйлеровы углы | 369
|
193. Формулы Эйлера | 370
|
194. Теорема Эйлера | 372
|
195. Формулы Кэли | 373
|
Задачи к главе VIII | 374
|
Глава IX. Геометрические места в пространстве | 378
|
196. Уравнение геометрического места в пространстве | 378
|
197. Построение геометрического места точек | 380
|
198. Эллипсоид | 387
|
199. Однополостный гиперболоид | 392
|
200. Двуполостный гиперболоид | 394
|
201. Эллиптический параболоид | 396
|
202. Гиперболический параболоид | 398
|
203. Цилиндрическая поверхность | 399
|
204. Уравнение плоскости | 400
|
205. Уравнение цилиндра, образующая которого параллельна координатной оси | 401
|
206. Коническая поверхность | 402
|
207. Поверхность вращения | 404
|
208. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус вращения | 405
|
209. Классификация поверхностей | 407
|
210. Векторное уравнение поверхности. Уравнение сферы | 407
|
211. Уравнение линии в пространстве | 408
|
212. Параметрическое задание линии в пространстве | 409
|
213. Параметрическое задание поверхности | 410
|
Задачи к главе IX | 411
|
Глава X. Плоскость | 412
|
§ 1. Аналитическое изучение плоскости в пространстве (афинные свойства) | 412
|
214. Уравнение плоскости | 412
|
215. Уравнение первой степени | 414
|
216. Исследование плоскости по её уравнению | 415
|
217. Взаимное расположение двух плоскостей | 417
|
218. Уравнение пучка плоскостей | 422
|
219. Взаимное расположение трёх плоскостей | 424
|
220. Уравнение связки плоскостей | 426
|
221. Бесконечно удалённые элементы в пространстве | 428
|
222. Взаимное расположение четырёх плоскостей | 429
|
223. Отношение, в котором плоскость делит отрезок. Взаимное расположение плоскости и прямой | 431
|
224. Знак линейного четырёхчлена | 432
|
225. Двойное отношение четырёх плоскостей, принадлежащих одному пучку | 432
|
§ 2. Аналитическое изучение плоскости (метрические свойства) | 433
|
226. Метрическое уравнение плоскости | 433
|
227. Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости | 435
|
228. Единичный вектор нормали. Нормальное уравнение плоскости | 436
|
229. Решение .нескольких метрических задач | 437
|
230. Решение метрических задач в случае, когда плоскость задана уравнениями в общей афинной координатной системе | 439
|
Задачи к главе X | 442
|
Глава XI. Прямая линия в пространстве | 443
|
§ 1. Аналитическое изучение прямой линии в пространстве (афинные свойства) | 443
|
231. Задание прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору | 443
|
232. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки | 446
|
233. Прямая, как пересечение двух плоскостей | 447
|
234. Взаимное расположение двух прямых | 448
|
235. Взаимное расположение прямой и плоскости | 450
|
236. Несколько афинных задач на прямую и плоскость | 451
|
§ 2. Аналитическое изучение прямой линии (метрические задачи) | 453
|
237. Несколько метрических задач | 453
|
238. Векторное уравнение прямой линии | 458
|
239. Решение задач в случае, когда прямая задана векторным уравнением | 459
|
240. Нормальное уравнение прямой | 460
|
Задачи к главе XI | 462
|
Глава XII. Поверхности второго порядка | 464
|
241. Предварительные замечания | 464
|
§ 1. Афинная классификация поверхностей второго порядка | 465
|
242. Исследование поверхности, заданной уравнением Ах2 + By2+ Cz2 + D = 0 | 466
|
243. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду | 468
|
244. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (окончание) | 472
|
245. Критерии для распознавания типа поверхности второго порядка | 473
|
246. Полная схема исследования уравнения поверхности второго порядка | 474
|
§ 2. Взаимное расположение поверхности второго порядка и прямой линии | 478
|
247. Пересечение поверхности второго порядка с прямой линией | 478
|
248. Квази-скалярное умножение векторов, ассоциированное с поверхностью второго порядка | 482
|
249. Векторное уравнение поверхности второго порядка | 484
|
250. Векторное решение задачи о пересечении поверхности второго порядка с прямой линией | 485
|
251. Уравнение конуса асимптотических направлений | 486
|
252. Уравнение асимптотической плоскости | 488
|
253. Уравнение касательного конуса. Уравнение касательной плоскости | 489
|
254. Взаимное расположение поверхности и её касательной плоскости. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка | 491
|
§ 3. Полярная плоскость; полярное соответствие | 497
|
255. Двойное отношение, в котором поверхность второго порядка делит заданный отрезок | 497
|
256. Полярная плоскость, соответствующая заданному полюсу | 498
|
257. Полярное соответствие | 499
|
258. Свойства полярного соответствия | 501
|
§ 4. Диаметральные плоскости | 503
|
259. Полярная плоскость, соответствующая бесконечно-удалённой точке | 503
|
260. Диаметральная плоскость | 504
|
261. Исследование диаметральных плоскостей. Центр. Диаметры | 506
|
262. Сопряжённые направления | 508
|
263. Некомпланарная тройка сопряжённых направлений | 509
|
§ 5. Упрощение уравнения поверхности второго порядка | 511
|
264. Формулы преобразования коэффициентов уравнения поверхности второго порядка | 511
|
265. Упрощения, возникающие в результате специального выбора направления новых координатных осей | 514
|
266. Новое доказательство основной теоремы | 515
|
267. Исследование диаметральных плоскостей поверхности второго порядка | 517
|
268. Упрощения, возникающие в результате специального выбора начала новой координатной системы | 519
|
269. Упрощения, возникающие в результате специального выбора новых координатных осей | 521
|
§ 6. Некоторые метрические задачи теории поверхностей второго порядка | 521
|
270. Главные направления поверхности второго порядка | 521
|
271. Признак, характеризующий главное направление | 522
|
272. Плоскость симметрии поверхности второго порядка | 523
|
273. Система уравнений, определяющих координаты главного направления | 524
|
274. Нахождение главных направлений (в прямоугольной декартовой системе координат) | 527
|
275. Пример | 530
|
276. Построение главной тройки направлений. Приведение к главным осям | 531
|
277. Метрическая классификация поверхностей второго порядка. Исследование возможной симметрии | 534
|
278. Ортогональные инварианты уравнения поверхности второго порядка | 536
|
279. Нахождение главных направлений поверхности второго порядка, заданной уравнением в произвольной афинной координатной системе | 538
|
280. Инварианты квадратичной формы относительно афинного преобразования координат | 539
|
281. Теорема Аполлония (приложение понятия инварианта) | 540
|
282. Приложение понятия инварианта: вычисление полуосей эллипсоида, заданного в произвольной афинной координатной системе | 543
|
Задачи к главе XII | 544
|
Глава XIII. Теория преобразований | 547
|
§ 1. Точечное преобразование пространства | 547
|
283. Определение. Примеры | 547
|
284. Аналитическое задание (векторное и координатное) точечного преобразования. Линейное однородное преобразование | 551
|
285. Геометрические свойства линейного преобразования | 553
|
§ 2. Афинные преобразования пространства | 558
|
286. Свойства афинного преобразования | 558
|
287. Линейная векторная функция (афиннор) | 560
|
288. Основная теорема | 565
|
289. Афинные понятия и теоремы | 566
|
Ответы и решения задач | 568
|