Обложка Эпендиев М.Б. Основы математики: Квинтэссенция всех разделов в доступном изложении
Id: 288942
629 руб.

Основы математики:
Квинтэссенция всех разделов в доступном изложении Изд. 2, испр.

URSS. 2022. 328 с. ISBN 978-5-9710-9790-7.
Типографская бумага
Анализ функций комплексной переменной • Дифференциальные уравнения (обыкновенные, с частными производными) • Числа. Арифметика чисел • Математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления) • Элементарная алгебра • Теория вероятностей и случайные процессы • Векторный анализ • Общая алгебра • Векторы • Матрицы и операторы • Теория групп • Тензоры • Дифференциальная геометрия • Евклидова геометрия • Аналитическая геометрия (на плоскости, в трехмерном пространстве) • Риманова геометрия.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга, где содержатся основы разделов математики, имеющих большое значение для практического использования. Автором выбрана такая форма изложения, при которой необходимая строгость сочетается с доступностью изложенного материала для широкого круга читателей. Разделы книги достаточно самостоятельны в определениях и обозначениях, поэтому подготовленный читатель может выбрать отдельные из них.

Книга может быть... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие автора9
Список постоянных обозначений и сокращений13
Глава 1. О математике14
1. Математика и реальность14
2. Развитие математики — от наглядности к абстракциям17
Глава 2. Числа. Арифметика чисел20
1. Целые числа20
2. Рациональные числа24
3. Отрицательные рациональные числа27
4. Корни и алгебраические числа29
5. Действительные числа32
6. Комплексные и прочие числа36
Глава 3. Математический анализ39
1. Понятие бесконечно малого числа39
2. Последовательности и пределы41
3. Операции с бесконечно малыми числами42
4. Функции46
5. Дифференциальное исчисление50
6. Интегральное исчисление53
7. Локальные свойства функций. Максимумы и минимумы56
Приложение61
Глава 4. Основы общей алгебры67
1. Основные понятия абстрактной алгебры67
2. Одна определяющая операция (группы)69
3. Модели с двумя и более операциями70
4. Булева алгебра71
Глава 5. Элементарная алгебра75
1. Основные формулы и обозначения76
2. Алгебраические уравнения78
3. Решение уравнений низших порядков79
4. Деление многочленов и элементарные дроби82
5. Системы линейных уравнений86
Глава 6. Теория групп90
1. Определения и характеристики групп90
2. Примеры групп. Группы перестановок92
3. О прикладном значении групп96
4. Структурные свойства групп98
Глава 7. Векторы101
1. Определение и основные свойства101
2. Координатное представление104
3. Произведения векторов107
4. Преобразования координат110
Глава 8. Тензоры113
1. Преобразования координат113
2. Определение тензоров115
3. Алгебра тензоров118
4. Ковариантное дифференцирование122
Глава 9. Матрицы и операторы126
1. Определение, операции и характеристики126
2. Свойства определителей и специальные матрицы130
3. Собственные значения и билинейные формы134
4. Линейные операторы136
5. Функции от операторов и матриц141
Глава 10. Векторный анализ143
1. Дифференцирование143
2. Интегралы по траекториям и поверхностям144
3. Интегральные теоремы147
Глава 11. Анализ функций комплексной переменной150
1. Комплексные числа150
2. Функции и операции с ними153
3. Интегралы по траекториям156
4. Особые точки и вычеты160
5. Примеры приложений. Конформное отображение162
Глава 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения166
1. Общие положения166
2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами167
3. Линейные уравнения с переменными коэффициентами171
4. Однородные уравнения с переменными коэффициентами174
5. Нелинейные уравнения178
Глава 13. Дифференциальные уравнения с частными производными181
1. Общие положения181
2. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами183
3. Уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами186
4. Уравнения 1-го порядка188
Глава 14. Основы евклидовой геометрии191
1. Варианты изложения геометрии191
2. Основные понятия и аксиомы192
3. Плоские фигуры и их площади197
4. Углы и тригонометрические функции200
5. Трехмерные фигуры и их объемы204
6. Произвольные размерности. Системы координат208
Глава 15. Геометрия на плоскости212
1. Отображение точек векторами212
2. Многоугольники и их площади217
3. Кривые линии на плоскости221
4. Кривые первого и второго порядков224
Глава 16. Геометрия в трехмерном пространстве228
1. Векторы и операции с векторами228
2. Прямые и плоскости в пространстве230
3. Точки пересечения, расстояния и углы232
4. Многогранники236
5. Кривые линии и поверхности240
Глава 17. Дифференциальная геометрия244
1. Исходные понятия244
2. Плоские кривые246
3. Кривые в пространстве249
4. Криволинейные поверхности251
5. Кривизна поверхности. Площади и объемы254
Глава 18. Основы римановой геометрии257
1. Поверхности в евклидовых пространствах257
2. Алгебра векторов на поверхности260
3. Ковариантная производная262
4. Тензор кривизны гиперповерхностей266
5. Псевдоевклидово пространство269
6. Неевклидовы пространства: определения271
7. Абсолютный дифференциал и тензор кривизны275
8. Некоторые общие свойства пространств без кручения277
9. Физические процессы в пространстве-времени. Уравнения Эйнштейна280
Глава 19. Теория вероятностей и случайные процессы282
1. Закономерности в случайностях282
2. События. Алгебра событий286
3. Вероятности событий288
4. Непрерывные случайные величины291
5. Средние характеристики случайных величин294
6. Определение случайных процессов297
7. Стационарные случайные процессы300
Глава 20. Элементы логики в математических исследованиях304
1. Теоремы и задачи304
2. Высказывания306
3. Предикаты309
4. Примеры доказательств311
5. О бесконечностях315
Предметный указатель319
Рекомендуемая литература325

Предисловие автора

Наверное, прежде всего, стоит объяснить, почему автор решился добавить еще одну книгу к многочисленной литературе о математике.

Основной стимул — желание, чтобы как можно больше людей имели ясное представление о математике. Тогда, как минимум, будет меньше демагогии и пустословия и больше информативности. И не так важно, откуда люди получат это представление. В данной книге нет ничего такого, чего не было бы в других источниках. Для автора важнее было следующее: развеять всяческие мифы и фобии, связанные с математикой.

Математика доступна только избранным — главный миф. Бытуют и мнения типа: «зачем ее изучать, если в жизни она не понадобится», «есть компьютеры — они все посчитают» и т. п.

Отчасти в создании таких мифов вольно или невольно участвуют сами математики. Всякому хочется гордиться своей профессией, подчеркивать ее достоинства и т. п. А основное достоинство математики можно выразить одним словом — обобщение. Охватить как можно больше одной концепцией, абстрагируясь от конкретного, — в этом цель математика. Образно говоря, развитие математики (а также ее постижение) есть восхождение по «лестнице» абстракций. Такой подъем требует немалых усилий, поэтому математики стараются оставаться на ступени, соответствующей их специализации. Вот и получается, что строгое (а вольности в математическом сообществе не одобряются) изложение математики выглядит для многих таинственной игрой символов. А принятое разделение математики на элементарную и высшую лишь подчеркивает сказанное — первая для любителей, а во вторую «играют» лишь профессионалы.

Но в большей мере мифы создаются самими людьми в процессе своего образования. Первые задачи — они были у каждого — могут определить многое. И здесь есть элемент везения. Решил одну, вторую — и легче делать усилия (не решать, а именно делать усилия), принимаясь за следующую, более сложную задачу. Не удалась первая попытка, вторая — и в результате вывод: нет, это мне не дано. И возникает психологический барьер: невозможно делать усилия, если считаешь их бесполезными. Учителям трудно справиться с этим — слишком массовый характер носит такое отторжение точных наук. А подход нужен индивидуальный (у одного не получается одно, у других — другое).

Разумеется, восприятие мира бывает художественным и рациональным. Несколько мазков или строк иногда представляют нечто удивительное и живое. Это трогает всех. А когда кто-то кратко и четко выражает итог сложнейших умозаключений, это редко восхищает. А ведь в отличие от таланта художника или поэта, такой талант дан всякому здравомыслящему человеку. В жизни каждому приходится анализировать различные ситуации, делать выводы и принимать решения. Рационализм заключается в том, чтобы в каждой новой ситуации увидеть элементы пережитых (в том числе и другими), и в анализе учесть прошлые ошибки, т. е. рациональное мышление по сути является математическим, так как в той или иной форме (явно или неявно) опирается на систематизацию, обобщение, абстракции и другие элементы, имеющие математический смысл.

Точность, определенные ответы, уверенность в выводах и т. п. — все это невозможно вне математики. Уверенный человек, если он не сноб (или болван, что в общем то же самое), мыслит как математик. Идти по жизни, не имея представления о математике, могут позволить себе поэты, музыканты и прочие деятели искусства. Для других такой путь будет полон неудач.

Что же касается компьютеров, то тут все просто. Они «беспрекословно» делают то и только то, что определено программой, составленной специалистами. Человек станет рабом компьютеров, если забудет (или не захочет знать), что они собой представляют. Рабы рабов — что может быть унизительнее.

В профессии автора (теоретическая физика) математика является главным инструментом. Приходится заглядывать во все ее «закоулки», прояснять для себя тонкие моменты, пробовать «на зуб» ее основы (почему так, можно ли иначе) и т. д. В итоге у автора, как на полках у какого-нибудь столяра, накопилось множество математических «инструментов», отточенных на практике. И очень хочется показать все это — мол, смотрите, вот с этим можно делать то, с тем — другое. Берите и пользуйтесь! И дело пойдет быстрее, и в усилиях экономия.

Конечно, одному человеку весь инструментарий не нужен. Но чтобы выяснить, что взять у математики, нужно знать, что она может предложить. Подробное изложение математики в доступной форме занимает несколько толстых томов. Сухие справочники дают необходимую информацию, однако неподготовленному читателю очень трудно ее воспринять.

Целью автора стало изложение основ математики в форме, в которой сочетались бы и учебник, и справочник. Чтобы выразить это в компактном виде, пришлось отсеивать материал, отделяя главное от второстепенного. И, как кажется автору, оставленного достаточно, чтобы читатель разобрался в структуре и в возможностях математики и при необходимости мог бы двигаться дальше самостоятельно. А чтобы материал был доступен и начинающему, строгое изложение сопровождается комментариями и наглядными примерами.

Однако при всем при этом понять математику без навыков абстрактного мышления невозможно. Для освоения такого мышления читателю предложена развернутая схема построения арифметики чисел. Именно арифметика в своем строгом изложении занимает самую заметную часть «лестницы» абстракций. В то же время, это наиболее близкий к обычной жизни раздел математики. Демонстрация того, что привычные для нас понятия (число, сложение, умножение и т. д.) на самом деле составляют цепочку абстракций, поможет читателю лучше понять суть и необходимость абстракций.

Объять все невозможно, поэтому в книгу в полном объеме не вошли некоторые разделы «чистой» математики (теория множеств, топология и пр.) и разделы, связанные с конкретными приложениями (численные методы, математическая статистика, методы приближений и т. п.). Но, как надеется автор, их отсутствие не повлияет на полноту восприятия математики.

Конечно, в субъективном подходе, когда математика излагается в таком виде, в каком она представляется одному человеку, есть свои недостатки. Возможно, что профессиональные математики сочтут материал (особенно в сфере своей специализации) излишне вольным изложением (поверхностным обзором) математики. Однако в таком подходе есть и свои плюсы. Стиль изложения (возможно, своеобразный) везде один и тот же, недостатки в чем-то схожи. Образно говоря, достаточно в первых разделах разобраться в «почерке», и далее проблем с «чтением» не будет.

Возможно, что следующие рекомендации будут полезны для читателя.

Многие положения (теоремы, уравнения, понятия…) идентифицируются общепринятыми обозначениями — именами математиков, специальными терминами и пр. Не старайтесь с ходу запомнить соответствующие названия. Важнее понять и запомнить суть того, что лежит за данным названием. А что и как называется, всегда можно выяснить с помощью предметного указателя.

Подготовленный читатель может сразу взяться за интересующий его раздел (они достаточно самостоятельны). Тем не менее и ему не помешает чтение первых разделов (хотя бы для того, чтобы разобраться в «почерке»).

Геометрия с самых ее начал изложена в аналитическом виде (без чертежей и рисунков). Попробуйте сначала понять ее в таком виде (образно говоря, с закрытыми глазами). По крайней мере, разовьете пространственное воображение. А там, где не получается, беритесь за карандаш и рисуйте вслед за излагаемым.

Если читатель (кроме получения информации) хочет развивать свои аналитические способности, то это можно сделать, доказывая различные утверждения, приведенные в тексте. В частности, те, о которых говорится, что их нетрудно доказать.

Итак, добро пожаловать в мир, в котором торжествуют закон и порядок. Помните — «черт не страшен», а «горшки обжигают» люди.


Об авторе
Эпендиев Магомед Бухадиевич
Кандидат физико-математических наук. Родился в 1948 г. в селе Кызыл-Туу Петровского района Киргизской ССР. Окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, а также его аспирантуру по кафедре теоретической физики. С 1979 г. работал в ИМАШ имени А. А. Благонравова АН СССР (ныне ИМАШ РАН). В 1984 г. защитил кандидатскую диссертацию, посвященную классическому анализу прохождения быстрых частиц через кристалл.

Занимаясь в ИМАШ математическим обеспечением расчетов процессов излучения, распространения и приема акустических сигналов, М. Б. Эпендиев опубликовал серьезную работу по расчету нелинейных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами. С 2010 г. он стал активно заниматься фундаментальными проблемами в электродинамике — кроме двух книг по математике и физике он опубликовал по этой теме 8 статей.