URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел
Id: 288874
1139 р.

Теория чисел Изд. стереотип.

URSS. 2022. 504 с. ISBN 978-5-9519-3353-9.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Излагается ряд методов современной теории чисел. Изложение иллюстрируется рассмотрением большого числа конкретных теоретико-числовых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное место занимают также геометрический и аналитический методы.

Книга не предполагает у читателя больших знаний; для понимания большей ее части вполне достаточно двух курсов университета... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие к третьему изданию7
Глава I. Сравнения9
§ 1. Сравнения по простому модулю11
1. Суммы степеней вычетов11
2. Теоремы о числе решений сравнений12
3. Квадратичные формы по простому модулю14
§ 2. Тригонометрические суммы16
1. Сравнения и тригонометрические суммы16
2. Суммы степеней19
3. Модуль гауссовой суммы22
§ 3. р-адические числа25
1. Целые р-адические числа25
2. Кольцо целых р-адических чисел28
3. Дробные р-адические числа31
4. Сходимость в иоле р-адических чисел32
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел40
1. Метризованные поля40
2. Метрики поля рациональных чисел45
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа48
1. Сравнения и уравнения в кольце Zp48
2. О разрешимости некоторых сравнений50
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими коэффициентами58
1. Квадраты в поле р-адических чисел58
2. Представление нуля р-адическими квадратичными формами59
3. Бинарные формы62
4. Эквивалентность бинарных форм66
5. Замечания о формах высших степеней68
§ 7. Рациональные квадратичные формы75
1. Теорема Минковского — Хассе75
2. Формы от трех переменных77
3. Формы от четырех переменных83
4. Формы от пяти и более переменных85
5. Рациональная эквивалентность86
6. Замечания о формах высшихстепеней87
Глава II. Представление чисел разложимыми формами91
§ 1. Разложимые формы92
1. Целочисленная эквивалентность форм92
2. Построение разложимых форм94
3. Модули97
§ 2. Полные модули и их кольца множителей99
1. Базис модуля99
2. Кольца множителей103
3. Единицы105
4. Максимальный порядок108
5. Дискриминант полного модуля110
§ 3. Геометрический метод112
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел112
2. Решетки117
3. Логарифмическое пространство121
4. Геометрическое изображение единиц123
5. Первые сведения о группе единиц124
§ 4. Группа единиц126
1. Критерий полноты решетки126
2. Лемма Минковского127
3. Структура группы единиц131
4. Регулятор133
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными разложимыми формами136
1. Единицы с нормой +1136
2. Общий вид решений уравнения N(μ) = а137
3. Эффективное построение системы основных единиц138
4. Числа модуля с данной нормой142
§ 6. Классы модулей143
1. Норма модуля143
2. Конечность числа классов146
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами149
1. Квадратичные поля149
2. Порядки в квадратичном поле150
3. Единицы152
4. Модули155
5. Соответствие между модулями и формами158
6. Представление чисел бинарными формами и подобие модулей161
7. Подобие модулей в мнимом квадратичной поле164
Глава III. Теория делимости175
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма175
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители175
2. Кольцо Z[ζ]177
3. Теорема Ферма в случае однозначности разложения на множители180
§ 2. Разложение на множители184
1. Простые множители184
2. Однозначность разложения185
3. Примеры неоднозначного разложения187
§ 3. Дивизоры190
1. Аксиоматическое описание дивизоров190
2. Единственность192
3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров195
4. Связь теории дивизоров с показателями195
§ 4. Показатели202
1. Простейшие свойства показателей202
2. Независимость показателей203
3. Продолжение показателей206
4. Существование продолжений211
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения214
1. Существование214
2. Норма дивизоров216
3. Степень инерции220
4. Конечность числа разветвленных простых дивизоров226
§ 6. Дедекиндовы кольца231
1. Сравнения по модулю дивизора231
2. Сравнения в дедекиндовых кольцах232
3. Дивизоры и идеалы234
4. Дробные дивизоры236
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел241
1. Абсолютная норма дивизора241
2. Классы дивизоров244
3. Приложение к теореме Ферма250
4. Вопросы эффективности253
§ 8. Квадратичное поле262
1. Простые дивизоры262
2. Закон разложения264
3. Представление чисел бинарными квадратичными формами267
4. Роды дивизоров273
Добавление при корректуре279
Глава IV. Локальный метод280
§ 1. Поля, полные относительно показателей280
1. Пополнение поля по показателю280
2. Представление элементов в виде рядов282
3. Конечные расширения полного поля с показателем285
4. Целые элементы287
5. Поля формальных степенных рядов290
§ 2. Конечные расширения поля с показателем295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с показа-телем301
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел306
1. Описание метрик306
2. Соотношение между метриками310
§ 5. Аналитические функции в полных полях312
1. Степенные ряды312
2. Показательная и логарифмическая функция314
§ 6. Метод Сколема319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами319
2. Связь с локальными аналитическими многообразиями321
3. Теорема Туэ324
4. Замечания о формах с большим числом переменных329
§ 7. Локальные аналитические многообразия331
Глава V. Аналитический метод339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров339
1. Дзета-функция Дедекинда339
2. Фундаментальная область343
3. Вычисление объема345
4. Принцип Дирихле350
5. Тождество Эйлера353
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля355
1. Неприводимость кругового многочлена355
2. Закон разложения в круговом поле358
3. Выражение к через значения L-рядов359
4. Суммирование рядов L( 1, x)364
5. Ряды L( 1, x) для примитивных характеров366
§ 3. Простые дивизоры первой степени370
1. Существование простых дивизоров первой степени370
2. Характеризация нормальных расширений законами разложения простых дивизоров первой степени371
3. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии374
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля379
1. Формула для числа классов дивизоров379
2. Характер квадратичного поля384
3. Гауссовы суммы для квадратичных характеров385
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое число частей392
1. Разложение числа h на два множителя392
2. Множитель h0395
3. Множитель h*400
4. Условие взаимной простоты h* с l402
5. Замечание об операторной структуре группы классов дивизоров404
§ 6. Условие регулярности407
1. Поле I-адических чисел407
2. Некоторые вспомогательные сравнения411
3. Базис вещественных целых I-адических чисел в случае (h*, l) = 1413
4. Критерий регулярности и лемма Куммера417
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей419
1. Теорема Ферма419
2. Бесконечность числа иррегулярных простых чисел425
§ 8. Числа Бернулли426
Алгебраическое дополнение438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристики ≠ 2438
1.Эквивалентность квадратичных форм438
2. Прямая сумма квадратичных форм439
3. Представление элементов поля441
4. Бинарные квадратичные формы443
§ 2. Алгебраические расширения444
1. Конечные расширения444
2. Норма и след447
3. Сепарабельные расширения450
4. Нормальные расширения452
§ 3. Конечные доля454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах458
1. Делимость в кольцах458
2. Идеалы460
3. Целые элементы461
4. Дробные идеалы463
§ 5. Характеры465
1. Строение конечных абелевых групп465
2. Характеры конечных абелевых групп465
3. Числовые характеры468
Таблицы472
Список литературы492
Перечень стандартных обозначений499
Предметный указатель500

Об авторах
Боревич Зенон Иванович
Известный математик, специалист по алгебре и теории чисел. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил с отличием математико-механический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ), затем аспирантуру при Математическом институте АН СССР. Ученик члена-корреспондента АН СССР Д. К. Фаддеева. В 1951 г. защитил кандидатскую диссертацию и начал преподавать в ЛГУ на кафедре высшей алгебры. В 1967 г. защитил докторскую диссертацию, с 1968 г. — профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и теории чисел. В 1964–1973 гг. был заместителем декана, а затем, в 1973–1984 гг. — деканом математико-механического факультета ЛГУ. Внес большой вклад в развитие алгебры, в том числе теории гомологий групп и ее приложений и теории локальных полей. Автор более 120 работ, среди которых учебник "Определители и матрицы" и монография "Теория чисел" (совместно с И. Р. Шафаревичем), переведенная на несколько иностранных языков.
Шафаревич Игорь Ростиславович
Выдающийся советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН СССР и РАН. Еще в школе изучал программу механико-математического факультета МГУ и сдавал экстерном экзамены. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 г. (в 17 лет). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 г. (в 19 лет), докторскую — в 1946 г. (в 23 года). В 1944 г., после окончания аспирантуры, стал преподавателем механико-математического факультета МГУ. С 1946 г. — сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова (МИАН). В 1953–1974 гг. — профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. В 1960–1995 гг. работал в должности заведующего отделом алгебры МИАН, с 1995 г. — главный научный сотрудник МИАН (советник РАН). В 1958 г. избран членом-корреспондентом АН СССР, с 1991 г. — академик. Лауреат Ленинской премии (1959). Президент Московского математического общества (1970–1973).

В область научных интересов И. Р. Шафаревича входили алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. В теории алгебраических чисел он нашел самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Леонарду Эйлеру и Карлу Гауссу. Внес фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. За работы по алгебраической теории чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп), опубликованные в 1950–1954 гг., был удостоен Ленинской премии. В 1970-1980-х гг. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. Кроме того, И. Р. Шафаревич получил известность как общественный деятель и автор историко-философских публикаций.


Страницы (пролистать)