Анисов А.М. Современная логика и онтология.
Книга 2: Аксиоматические теории. Теория множеств. Модели времени. Кн.2. Изд. 1

---

Предисловие				5
Введение				8
Глава 1. Аксиоматические теории				16
1.1. Теории и модели теорий				16
1.2. Теория сходства				23
1.3. Теория эквивалентности				26
1.4. Теория равенства				30
1.5. Теории порядка				38
1.6. Формальная арифметика				48
1.6.1. Теория арифметики Ar				49
1.6.2. Нестандартная арифметика				61
Глава 2. Теория множеств				69
2.1. Устранимые консервативные расширения				72
2.2. Теория множеств ZF				76
2.3. Пространство ZF				86
2.3.1. Множества, отношения, функции				86
2.3.2. Ординалы				91
2.3.3. Кардиналы				101
2.3.4. Модели				107
2.4. Теории классов B и BM				112
2.5. Теория типов TT				116
2.6. Теория множеств NF				120
Глава 3. Течение времени. Простейшие модели				129
3.1. Генетические теории. МНР-вычислимость				130
3.2. Темпоральные универсумы. Уоры				139
3.3. Элементы логической теории неопределенности				150
3.3.1. Логика неопределенности				151
3.3.2. Примеры теорий с неопределенностями				157
Глава 4. Модели времени. ABT-вычислимость				164
4.1. ABT-компьютеры и язык программирования ABT				166
4.1.1. Абстрактные ABT-компьютеры				166
4.1.2. Канонические ABT-программы				175
4.1.3. Онтология течения времени. BECOMING.ABT				184
4.2. ABTС-вычислимость и творение нового из ничего				191
4.2.1. Два подхода к понятию нового				191
4.2.2. Теория множеств с атомами ZFA				193
4.2.3. Язык программирования АВТС				197
Литература				203

---

Использование в названии книги слова «современная» может вызвать недоумение: разве может быть не современная логика и онтология в работе XXI века? Применительно к логике и онтологии, увы, может. Это в физике больше не опираются на «Физику» Аристотеля, а в химии — на алхимиков. В литературе по логике, ориентированной на гуманитариев, сплошь и рядом воспроизводится безнадежно устаревшая, восходящая к Аристотелю, традиционная логика с вкраплениями обрывочных сведений из современной логики. Не лучше дело обстоит и в области онтологии.

Онтологические проблемы пытаются обсуждать, нелепо подражая античности и средневековью, на естественном языке, как будто еще в XX веке не было показано, что естественный язык менее всего пригоден для глубокой и точной постановки логических и онтологических вопросов, не говоря уже о поисках адекватных ответов на них.

Выход за пределы естественного языка, расширение его искусственными формальными языками является неизбежным приемом, позволяющим достичь современного уровня науки в логике и онтологии. Поэтому термин «современный» в рассматриваемом контексте означает не сию минутный, а указывает на процессы более чем столетней давности, в ходе которых и возникла современная логика и онтология. Однако, к сожалению, эти процессы в сфере философии не смогли устранить схоластическую логику и онтологию, которые сумели выжить и приспособиться к современности, в отличие от отброшенной современной наукой античной физики и средневековой алхимии.

Название книги можно прочитать и как «[Современная логика] и [Онтология]», и как «[Современная] [логика и онтология]» и даже как «[Современная логика] и [современная онтология]». Все три варианта прочтения правомерны 1) . В первом варианте упор делается на применение современной логики в онтологии, во втором и третьем — на современный уровень логики и онтологии. В любом варианте фиксируются цели, которые мы стремились достичь. Слово современный имеет несколько отличный смысл применительно к логике и применительно к онтологии. Современная логика возникла на рубеже XIX и XX веков и сформировалась как зрелая наука в первой половине XX столетия. Современная онтология основывается на логике, и потому развивается с некоторой временной задержкой. Совершенно неизвестно, сколько продлится современный этап развития логики и онтологии. Есть надежда, что этот этап займет, как минимум, несколько грядущих десятилетий прежде, чем прилагательное «современный» станет неуместным применительно к материалу данной книги. Во всяком случае, на сегодняшний день не видно никаких признаков будущих принципиальных изменений в построении логики и, соответственно, зависящей от нее онтологии.

Какого рода упомянутая зависимость, каково соотношении логики и онтологии? Наша позиция заключается в том, что логика является фундаментом онтологии. И, подобно тому, как фундамент здания составляет часть здания, логика является частью онтологии. Оставшаяся часть онтологии будет надстройкой над логикой, в которой четко выделяются еще две части: теория пространства и теория времени. Таким образом, современная онтология как наука состоит из трех дисциплин: логики, теории пространства и теории времени. Это трактовка онтологии в широком смысле. В узком смысле под онтологией будем понимать две последние из названных дисциплин. В итоге вся работа посвящена онтологии в широком смысле и состоит из двух частей: в первой книге излагается логика, во второй книге — онтология в узком смысле.

В отличие от логики, онтологию в узком смысле нельзя признать вполне оформившейся наукой. Слишком велики различия в понимании онтологических проблем, даже если их исследователи сознательно опираются на методы и результаты логики. Положение усложняет то обстоятельство, что имеющиеся канонические разделы логики в разной степени применимы к проблемам пространства и времени. В 1977 г. под редакцией Дж. Барвайса вышла книга Handbook of Mathematical Logic, переведенная с дополнениями на русский язык в 1982–1983 гг. в виде четырех томов, соответствующих основным разделам логики: теории моделей, теории множеств, теории рекурсии и теории доказательств (см. [114–117]). Из них лишь теория множеств имеет явно прямое отношение к онтологии: не только реальный мир, но и возможные миры погружены в универсумы теории множеств. Теория моделей обнаруживает онтологическое содержание косвенно, через ту же теорию множеств, поскольку модели формальных теорий строятся из теоретико-множественных структур. Теория рекурсии, занимающаяся проблемами вычислимости, только в последние десятилетия стала применяться в онтологических построениях в рамках метафоры «Природа как Компьютер». Но пока это не получившие широкого признания разрозненные попытки. Кроме того, на наш взгляд, если эти попытки будут ограничиваться стандартной вычислимостью, то они быстро зайдут в тупик. Вся надежда тут в поиске адекватных неклассических теорий вычислимости. Наконец, теория доказательств, по-видимому, по своей сути далека от онтологических вопросов. И это несмотря на ошеломляющие результаты К. Гёделя, А. Чёрча, А. Тарского и других логиков.

Все же эти результаты и им подобные ограничительные теоремы говорят не о реальности, а о возможностях тех или иных методов доказательств.

Например, то, что множество истин арифметики нельзя рекурсивно аксиоматизировать, свидетельствует об ограниченности аксиоматических систем, но ничего не добавляет к пониманию природы натуральных чисел и их отношения к реальности.

Помимо того, что те или иные разделы логики в разной мере применимы к онтологии в узком смысле, следует учесть и тот факт, что эта применимость не всеохватывающая. Совершенно неверно считать, что любая теорема или метатеорема теории множеств или теории моделей имеет онтологическое значение. Такое значение имеют лишь отдельные результаты этих теорий, причем они, как правило, относятся к фундаментальным основам самой логики и математики.

В отличие от первой книги, содержащей обычные при изложении современной логики темы, посвященная онтологии в узком смысле вторая книга не имела предустановленного порядка рассмотрения. Канонических книг под рубрикой «онтология» попросту нет. Разные авторы заполняют эту рубрику настолько различным содержанием, что ни о каком едином подходе, даже в перспективе, не может быть и речи. В таких обстоятельствах выбор круга проблем для исследования сам остается под вопросом.

Здесь мы намерены следовать простому плану: сначала изучить проблемы онтологии пространства, а затем перейти к постановке проблем онтологии времени. Пространственная онтология хорошо разработана в современной науке, чего совершенно нельзя сказать об онтологии времени. Даже методы построения онтологии пространства и онтологии времени кардинально отличаются. В первом случае используется широко известный и повсеместно применяемый в науке аксиоматический метод задания теории, во втором — гораздо менее известный и реже применяемый генетический метод конструирования теории, который к тому же будет пониматься существенно иначе, чем это принято в освещающих этот метод работах.

---