Обложка Кадомцев С.Б., Шухов А. Г. Математический анализ: Функции одной переменной
Id: 288527
1259 руб.

Математический анализ:
Функции одной переменной

URSS. 2022. 512 с. ISBN 978-5-9519-3345-4.
Типографская бумага
  • Твердый переплет

Аннотация

Предлагаемая книга посвящена рассмотрению основных проблем математического анализа. Одной из ее отличительных черт является особое внимание, уделяемое аксиоме выбора. Книга состоит из двух частей — развитие основ математического анализа до аксиомы выбора и после неё. Первая часть включает следующие разделы: теория вещественных чисел, числовые последовательности и ряды, многочлены, предел функции, непрерывность и дифференцируемость. Вторая часть начинается... (Подробнее)


Оглавление
Оглавление3
Введение7
Глава 1. Натуральные числа8
1. Множества8
2. Натуральный ряд8
3. Сумма натуральных чисел9
4. Сравнение натуральных чисел12
5. Конечные множества15
6. Произведение натуральных чисел20
Глава 2. Целые числа24
7. Множество Z+24
8. Множество Z30
Сравнение целых чисел31
9. Разность целых неотрицательных чисел32
10. Сумма целых чисел34
11. Произведение целых чисел38
12. Наибольший общий делитель44
Глава 3. Рациональные числа51
13. Множество Q51
14. Свойства суммы рациональных чисел58
15. Свойства произведения рациональных чисел60
16. Степень рационального числа65
17. Сравнение рациональных чисел69
Глава 4. Вещественные числа75
18. Иррациональные числа75
19. Множество R80
20. Точные грани ограниченного множества84
21. Сумма вещественных чисел87
22. Произведение вещественных чисел96
Степень вещественного числа111
Глава 5. Числовые последовательности114
23. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности114
24. Предел числовой последовательности117
25. Арифметические операции с числовыми последовательностями124
26. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью129
27. Теоремы, связанные с точными гранями множеств133
Глава 6. Функции148
28. Предел функции148
29. Непрерывныефункции153
Глава 7. Элементарные функции164
30. Функция f (x) = xа164
31. Тригонометрические функции171
32. Функция ln х178
33. Функция ехр х188
34. Раскрытие неопределённостей типа 0-0199
Глава 8. Комплексные числа213
35. Поле213
Следствия из аксиом группы I215
Следствия из аксиом группы II216
Следствия из аксиом групп I–III217
36. Поле комплексных чисел219
37. Свойства комплексных чисел221
38. Тригонометрическая форма записи комплексного числа225
39. Комплексная экспонента231
Глава 9. Дифференцирование239
40. Производная239
41. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения двух функций244
42. Дифференциал248
43. Производная обратной функции250
44. Производная сложной функции252
45. Производная функции, заданной параметрически255
46. Производные и дифференциалы высших порядков257
47. Производные векторной функции263
Глава 10. Числовые ряды267
48. Числовой ряд267
49. Ряды с неотрицательными слагаемыми272
50. Ряды с произвольными слагаемыми292
Глава 11. Многочлены317
51. Многочлен317
52. Метод возвратной индукции319
53. Деление с остатком320
54. Основная теорема алгебры324
55. Следствия из основной теоремы алгебры329
56. Наибольший общий делитель343
57. Алгоритм Евклида347
58. Выделение кратных корней349
Глава 12. Аксиома выбора353
59. Предельные точки множества353
60. Предельные точки числовой последовательности358
Глава 13. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях367
62. Основные теоремы о непрерывных функциях367
63. Основные теоремы о дифференцируемых функциях370
64. Степенные ряды400
Глава 14. Неопределённые интегралы417
65. Неопределённый интеграл417
Примеры418
66. Соотношение эквивалентности419
67. Замена переменной421
68. Интегрирование по частям424
69. Интегрирование вещественной рациональной дроби427
70. Метод Остроградского429
71. Рациональная функция от двух аргументов434
72. Интегрирование рациональной функции от двух гиперболических и двух тригонометрических функций434
73. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей437
74. Интегрирование квадратичных иррациональностей438
Глава 15. Определённые интегралы444
75. Определённый интеграл444
76. Верхние и нижние суммы449
77. Равномерная непрерывность454
78. Свойства определённого интеграла460
79. Формула Ньютона—Лейбница472
80. Интегрирование некоторых разрывных функций477
Глава 16. Несобственные интегралы481
81. Несобственные интегралы 1-го рода481
82. Несобственные интегралы 2-го рода495
83. Другие несобственные интегралы503
Указатель терминов и имён507
Литература511

Введение
Книга ориентирована на самый широкий круг читателей, поскольку базой для её понимания является школьный курс математики. Материал может быть полезен учащимся физико-математических школ, студентам университетов с расширенной математической подготовкой, а также может использоваться в системе дополнительного образования.

Одной из особенностей книги является особое внимание, уделяемое аксиоме выбора. Книга состоит из двух частей — развитие основ математического анализа до аксиомы выбора и после нее. Первая часть включает следующие разделы: теория вещественных чисел, числовые последовательности и ряды, многочлены, предел функции, непрерывность и дифференцируемость. Вторая часть начинается с формулировки и систематического использования аксиомы выбора. Основные разделы второй части: теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях, неопределенные, определенные и несобственные интегралы.

Ещё одна особенность книги — строгость изложения материала. Читатель не найдёт здесь слов «очевидно», «нетрудно видеть», «ясно, что» и т. п.

Практически все сформулированные утверждения доказаны.

Авторы благодарны доцентам кафедры математики физического факультета МГУ А. В. Бадьину, Е. Е. Букжалёву, Н. Т. Левашовой и А. А. Шишкину за полезные замечания и предложения.

Авторы


Об авторах
Кадомцев Сергей Борисович
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Отличник народного просвещения РСФСР. Специалист в области теории подмногообразий многомерных евклидовых пространств, автор более 100 печатных работ. В числе основных трудов С. Б. Кадомцева — многократно переиздававшиеся учебники для 7–11 классов общеобразовательных школ, которые еще до публикации заняли первые места на Всесоюзном конкурсе учебников в 1988 г. Им также были написаны учебные пособия «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» (1-е изд. — 2001) и «Планиметрия: Пособие для углубленного изучения математики» (в соавторстве; 1-е изд. — 2005).
Шухов Алексей Георгиевич
Кандидат физико-математических наук, доцент. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Стаж научно-педагогической деятельности — свыше 30 лет. В настоящее время занимается исследованиями в области математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. В область научных интересов включены теория динамических систем, теория управления, актуарная математика, приложения математики в практике работы страховых компаний.