| Оглавление | 3
|
| Введение | 7
|
| Глава 1. Натуральные числа | 8
|
| 1. Множества | 8
|
| 2. Натуральный ряд | 8
|
| 3. Сумма натуральных чисел | 9
|
| 4. Сравнение натуральных чисел | 12
|
| 5. Конечные множества | 15
|
| 6. Произведение натуральных чисел | 20
|
| Глава 2. Целые числа | 24
|
| 7. Множество Z+ | 24
|
| 8. Множество Z | 30
|
| Сравнение целых чисел | 31
|
| 9. Разность целых неотрицательных чисел | 32
|
| 10. Сумма целых чисел | 34
|
| 11. Произведение целых чисел | 38
|
| 12. Наибольший общий делитель | 44
|
| Глава 3. Рациональные числа | 51
|
| 13. Множество Q | 51
|
| 14. Свойства суммы рациональных чисел | 58
|
| 15. Свойства произведения рациональных чисел | 60
|
| 16. Степень рационального числа | 65
|
| 17. Сравнение рациональных чисел | 69
|
| Глава 4. Вещественные числа | 75
|
| 18. Иррациональные числа | 75
|
| 19. Множество R | 80
|
| 20. Точные грани ограниченного множества | 84
|
| 21. Сумма вещественных чисел | 87
|
| 22. Произведение вещественных чисел | 96
|
| Степень вещественного числа | 111
|
| Глава 5. Числовые последовательности | 114
|
| 23. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности | 114
|
| 24. Предел числовой последовательности | 117
|
| 25. Арифметические операции с числовыми последовательностями | 124
|
| 26. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью | 129
|
| 27. Теоремы, связанные с точными гранями множеств | 133
|
| Глава 6. Функции | 148
|
| 28. Предел функции | 148
|
| 29. Непрерывныефункции | 153
|
| Глава 7. Элементарные функции | 164
|
| 30. Функция f (x) = xа | 164
|
| 31. Тригонометрические функции | 171
|
| 32. Функция ln х | 178
|
| 33. Функция ехр х | 188
|
| 34. Раскрытие неопределённостей типа 0-0 | 199
|
| Глава 8. Комплексные числа | 213
|
| 35. Поле | 213
|
| Следствия из аксиом группы I | 215
|
| Следствия из аксиом группы II | 216
|
| Следствия из аксиом групп I–III | 217
|
| 36. Поле комплексных чисел | 219
|
| 37. Свойства комплексных чисел | 221
|
| 38. Тригонометрическая форма записи комплексного числа | 225
|
| 39. Комплексная экспонента | 231
|
| Глава 9. Дифференцирование | 239
|
| 40. Производная | 239
|
| 41. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения двух функций | 244
|
| 42. Дифференциал | 248
|
| 43. Производная обратной функции | 250
|
| 44. Производная сложной функции | 252
|
| 45. Производная функции, заданной параметрически | 255
|
| 46. Производные и дифференциалы высших порядков | 257
|
| 47. Производные векторной функции | 263
|
| Глава 10. Числовые ряды | 267
|
| 48. Числовой ряд | 267
|
| 49. Ряды с неотрицательными слагаемыми | 272
|
| 50. Ряды с произвольными слагаемыми | 292
|
| Глава 11. Многочлены | 317
|
| 51. Многочлен | 317
|
| 52. Метод возвратной индукции | 319
|
| 53. Деление с остатком | 320
|
| 54. Основная теорема алгебры | 324
|
| 55. Следствия из основной теоремы алгебры | 329
|
| 56. Наибольший общий делитель | 343
|
| 57. Алгоритм Евклида | 347
|
| 58. Выделение кратных корней | 349
|
| Глава 12. Аксиома выбора | 353
|
| 59. Предельные точки множества | 353
|
| 60. Предельные точки числовой последовательности | 358
|
| Глава 13. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях | 367
|
| 62. Основные теоремы о непрерывных функциях | 367
|
| 63. Основные теоремы о дифференцируемых функциях | 370
|
| 64. Степенные ряды | 400
|
| Глава 14. Неопределённые интегралы | 417
|
| 65. Неопределённый интеграл | 417
|
| Примеры | 418
|
| 66. Соотношение эквивалентности | 419
|
| 67. Замена переменной | 421
|
| 68. Интегрирование по частям | 424
|
| 69. Интегрирование вещественной рациональной дроби | 427
|
| 70. Метод Остроградского | 429
|
| 71. Рациональная функция от двух аргументов | 434
|
| 72. Интегрирование рациональной функции от двух гиперболических и двух тригонометрических функций | 434
|
| 73. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей | 437
|
| 74. Интегрирование квадратичных иррациональностей | 438
|
| Глава 15. Определённые интегралы | 444
|
| 75. Определённый интеграл | 444
|
| 76. Верхние и нижние суммы | 449
|
| 77. Равномерная непрерывность | 454
|
| 78. Свойства определённого интеграла | 460
|
| 79. Формула Ньютона—Лейбница | 472
|
| 80. Интегрирование некоторых разрывных функций | 477
|
| Глава 16. Несобственные интегралы | 481
|
| 81. Несобственные интегралы 1-го рода | 481
|
| 82. Несобственные интегралы 2-го рода | 495
|
| 83. Другие несобственные интегралы | 503
|
| Указатель терминов и имён | 507
|
| Литература | 511
|
Книга ориентирована на самый широкий круг читателей, поскольку базой для её понимания является школьный курс математики. Материал может быть полезен учащимся физико-математических школ, студентам университетов с расширенной математической подготовкой, а также может использоваться в системе дополнительного образования.
Одной из особенностей книги является особое внимание, уделяемое аксиоме выбора. Книга состоит из двух частей — развитие основ математического анализа до аксиомы выбора и после нее. Первая часть включает следующие разделы: теория вещественных чисел, числовые последовательности и ряды, многочлены, предел функции, непрерывность и дифференцируемость. Вторая часть начинается с формулировки и систематического использования аксиомы выбора. Основные разделы второй части: теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях, неопределенные, определенные и несобственные интегралы.
Ещё одна особенность книги — строгость изложения материала. Читатель не найдёт здесь слов «очевидно», «нетрудно видеть», «ясно, что» и т. п.
Практически все сформулированные утверждения доказаны.
Авторы благодарны доцентам кафедры математики физического факультета МГУ А. В. Бадьину, Е. Е. Букжалёву, Н. Т. Левашовой и А. А. Шишкину за полезные замечания и предложения.
Кадомцев Сергей Борисович 
Шухов Алексей Георгиевич