|
Оглавление
Предисловие
Посвящаю моим дочерям Наташе и Светлане
В 1946/47 учебном году на механико-математическом факультете Московского университета работал семинар по теории вероятностей под руководством А. Н. Колмогорова. В течение года участниками семинара (А. Н. Колмогоровым, Н. А. Дмитриевым, А. М. Ягломом, Б. А. Севастьяновым) было опубликовано несколько работ, в которых описывался и изучался новый класс марковских процессов, служащих моделью многих реальных явлений размножения и превращения частиц в физике, химии, технике, биологии и т. п. Эти процессы получили название ветвящихся процессов. В 1948 г. в США также появилось несколько работ, посвященных ветвящимся процессам. В частности, Р. Беллман и Т. Е. Харрис ввели новую модель ветвящихся процессов с зависимостью от возраста частиц. Таким образом, возникновение теории ветвящихся процессов надо отнести к концу сороковых годов, хотя отдельные задачи, которые мы теперь относим к этой теории, рассматривались в литературе и раньше (например, в последней четверти XIX века английские статистики Гальтон и Ватсон рассматривали задачу о вырождении фамилии). За прошедшие 25 лет появилась обширная литература по ветвящимся процессам. Особенно интенсивный поток статей по ветвящимся процессам в научных журналах наблюдается в последнее десятилетие. Ориентироваться в этой литературе, особенно новичку, становится затруднительно. В переведенной на русский язык в 1966 г. монографии Т. Е. Харриса «Теория ветвящихся случайных процессов» дается описание многих типов ветвящихся процессов и приводятся многочисленные примеры их приложений. Однако монография Т. Е. Харриса, отразившая в свое время обширную литературу как теоретического, так и прикладного характера, носит в значительной степени обзорный характер. В настоящей книге, имеющей мало пересечений с книгой Харриса, дается систематическое изложение теории ветвящихся процессов, вернее той классической части теории, которая относится к марковским моделям с конечным числом типов частиц и к моделям ветвящихся процессов с зависимостью от возраста частиц. В последних главах дается менее детальное изложение моделей ветвящихся процессов с диффузией частиц, ветвящихся процессов для частиц с энергией. В конце книги намечен подход к описанию общего ветвящегося процесса. В настоящее время начинается интенсивная разработка теории общих ветвящихся процессов как марковских процессов в достаточно общих фазовых пространствах. Особенно здесь стоит упомянуть активную работу группы японских математиков (Н. Икеда, М. Нагасава, С. Ватанабе и др.)- Этот аспект теории ветвящихся процессов в книге не затрагивается. Не включил я в книгу также вопросы о сходимости ветвящихся процессов к диффузионным процессам (работы Дж. Ламперти, П. Нея и др.) и модели ветвящихся процессов с непрерывным множеством состояний, введенные М. Иржиной. Все эти направления, конечно, заслуживают отдельных монографий, которые, несомненно, должны появиться в ближайшем будущем. Интенсивное развитие, которое получила теория ветвящихся процессов в последние годы, объясняется, с одной стороны, прикладным и наглядным характером решаемых ею задач и изучаемых моделей, и, с другой стороны, возможностью применять мощный математический аппарат производящих функций и производящих функционалов. В теории ветвящихся процессов изучаются такие процессы размножения и превращения частиц, в которых отдельные частицы размножаются и эволюционируют независимо друг от друга. Именно это основное условие и позволяет успешно использовать аппарат производящих функций и построить красивую математическую теорию ветвящихся случайных процессов. Многие прикладные задачи можно решать с помощью той или иной модели ветвящихся процессов. Однако остается большой круг интересных прикладных задач, которые выходят за рамки моделей ветвящихся процессов. Я имею в виду такие процессы, как, например, биологические процессы размножения в популяциях с двумя полами, процессы эпидемии или процессы борьбы за существование, в которых появление новых частиц обусловливается взаимодействием нескольких существующих в данный момент частиц. В этом случае аппарат производящих функций становится, как правило, неприменимым. Хотя и имеется ряд работ, в которых решаются отдельные задачи для процессов с существенным взаимодействием частиц, общая математическая теория таких процессов пока еще не построена. Поэтому часто в прикладных работах отдельные стадии процессов с взаимодействием частиц иногда приходится рассчитывать также с помощью теории ветвящихся процессов. Например, начальную стадию многих химических реакций, когда число «активных» молекул или ионов мало можно с довольно хорошим приближением считать ветвящимся процессом. Значительная часть книги доступна читателям, знакомым с обычными курсами математического анализа и теории вероятностей. Некоторые необходимые дополнительные сведения даются по ходу изложения либо с доказательствами (например, в гл. IV § 5, где приводятся свойства неотрицательных матриц), либо без доказательств, но со ссылками, в основном на монографии (например, в § 7 гл. VIII, где излагаются результаты, относящиеся к уравнениям восстановления). В тексте обычно не даются ссылки на литературу. Литературные указания, отнюдь не претендующие на полноту, даются в конце книги. В них указаны основные работы, из которых заимствованы те или иные результаты или способы доказательств. Даются также некоторые сведения о работах, где можно найти дальнейшее развитие тех или иных разделов теории. Обзор литературы по ветвящимся процессам до 1967 г. можно найти в моей статье [35], изданной ВИНИТИ в серии «Итоги науки». В книге принята следующая нумерация параграфов, формул, теорем, лемм, следствий, определений, замечаний и примеров. В каждой главе имеется своя нумерация параграфов, в каждом параграфе имеется своя нумерация формул, теорем и т. п. При ссылке внутри одного параграфа называется только этот номер, при ссылке внутри одной главы на формулу, теорему и т. п. другого параграфа к соответствующему номеру добавляется номер параграфа. При ссылке на параграф, теорему, формулу и т. д. другой главы добавляется еще номер главы. Например, § 2.3 означает § 3 гл. II; формула (3.5) означает формулу (5) в § 3 той же главы, где дается ссылка; форфула (8.3.5) означает формулу (5) в § 3 гл. VIII Аналогично на теорему 2 из § 7 гл. VIII мы будем ссылаться как на теорему 2 в том же параграфе, как на теорему 7.2 в другом параграфе той же главы и как на теорему 8.7.2 в другой главе. Москва, 3 июля 1970 г. Б. А. Севастьянов Об авторе
 Севастьянов Борис Александрович Математик, доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН СССР и РАН. В 1948 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова с отличием и был рекомендован в аспирантуру в Институт математики и механики МГУ. Студентом 4-го курса посещал семинар А. Н. Колмогорова, под руководством которого выполнил дипломную работу. С 1948 г. работал в МИАН имени В. А. Стеклова. С 1952 г. кандидат физико-математических наук, в 1968 г. защитил докторскую диссертацию. В 1969–1984 гг. — профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. С 1984 г. — член-корреспондент отделения математики (специальность «математика, в том числе прикладная математика») Академии наук СССР.
В область научных интересов Б. А. Севастьянова входили теория ветвящихся случайных процессов, случайные размещения, теория массового обслуживания, статистические критерии, дискретные задачи теории вероятностей. На мехмате МГУ он читал курсы «Теория вероятностей», «Дополнительные главы математической статистики», «Случайные величины и распределение вероятностей». Награжден орденами «Знак Почета» (1976), Трудового Красного Знамени (1982). Лауреат Государственной премии СССР (1990). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
