Обложка Осипенко К.Ю. Выпуклый анализ
Id: 287935
499 руб.

Выпуклый анализ

URSS. 2022. 144 с. ISBN 978-5-9710-9724-2.
Типографская бумага

Аннотация

Книга посвящена основам выпуклого анализа и его применению к задачам линейного программирования. В основе ее лежат курсы лекций, прочитанные автором на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова и на факультете прикладной математики и управления МФТИ. Изложение основ выпуклого анализа ведется на простом, доступном языке, не требует дополнительных знаний, кроме самых начальных понятий из теории линейных нормированных пространств.... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие к серии «Учебник Школы прикладной математики и информатики МФТИ»6
Предисловие8
Глава 1. Общая теория9
1.1. Введение9
1.2. Выпуклые множества10
1.3. Аффинные подпространства14
1.4. Теорема Каратеодори18
1.5. Теоремы Радона и Хелли22
1.6. Теоремы отделимости26
1.7. Вторая теорема отделимости в конечномерном случае28
1.8. Аффинная независимость. Симплексы29
1.9. Относительная внутренность. Первая теорема отделимости в конечномерном случае33
1.10. Выпуклые функции36
1.11. Теорема Каруша—Куна—Таккера39
1.12. Субдифференциал43
1.13. Теорема Ферма в субдифференциальной форме46
1.14. Субдифференциальное исчисление. Теорема Моро—Рокафеллара48
1.15. Теорема Дубовицкого—Милютина52
1.16. Субдифференциальная форма теоремы Каруша—Куна—Таккера55
1.17. Двойственность выпуклых множеств57
1.18. Двойственность выпуклых функций58
1.19. Сопряженные функции. Преобразование Лежандра—Фенхеля—Юнга61
1.20. Двойственность экстремальных задач65
Глава 2. Линейное программирование67
2.1. Задача линейного программирования в нормальной форме и двойственная к ней67
2.2. Конус. Замкнутость конечнопорожденного конуса68
2.3. Существование решения задачи линейного программирования и двойственной к ней71
2.4. Теорема о двойственности в задаче линейного программирования73
2.5. Различные формы задач линейного программирования и соответствующие двойственные задачи75
2.6. Задача линейного программирования со смешанными ограничениями78
2.7. Выпуклый анализ и теория линейных неравенств80
2.8. Крайние точки в задаче линейного программирования83
2.9. Симплекс-метод решения задач линейного программирования87
2.10. Пример применения симплекс-метода95
2.11. Метод искусственного базиса [-0.2pt]для нахождения начальной крайней точки96
2.12. Примеры задач линейного программирования100
2.12.1. Задача оптимального планирования производства100
2.12.2. Транспортная задача101
2.12.3. Задача на минимакс102
2.13. Транспортная задача103
2.14. Свойства транспортной задачи107
2.15. Методы нахождения начальной крайней точки в транспортной задаче109
2.15.1. Метод «северо-западного угла»110
2.15.2. Минимум по матрице113
2.15.3. Минимум по строке115
2.15.4. Минимум по столбцу117
2.16. Задача, двойственная к транспортной задаче. Метод потенциалов120
2.17. Алгоритм решения транспортной задачи с помощью метода потенциалов126
Глава 3. Дополнения133
3.1. Наилучшее приближение в линейном нормированном пространстве133
3.2. Наилучшее равномерное приближение многочленами. Теорема Чебышева134
3.3. Многочлены Чебышева138
Литература140
Предметный указатель141

Предисловие

Курс выпуклого анализа читается студентам третьего курса факультета управления и прикладной математики МФТИ в осеннем семестре. Он является первой частью курса оптимизации, который продолжает читаться в последующих семестрах. Свойство выпуклости позволяет проще решать оптимизационные задачи. Этим объясняется появление этой темы в самом начале рассмотрения задач оптимизации. Более того, на примере выпуклых задач ярко демонстрируется принцип двойственности, при котором каждой оптимизационной задаче ставится в соответствие некоторая другая, называемая двойственной. Совместное рассмотрение этих двух задач позволяет глубже изучить их свойства и получить решения, как правило, и той, и другой. Оптимизационные выпуклые задачи находят много применений на практике, в частности, в экономике. Поэтому в читаемом курсе уделяется достаточно внимания задачам линейного программирования.

В основе предлагаемого пособия лежат лекции, которые автор читал на механико-математическом факультете

МГУ и на факультете управления и прикладной математики МФТИ. При написании пособия автор систематически обращался к работам своих коллег Г. Г. Магарил-Ильяева, В. М. Тихомирова [5] и Э. М. Галеева [2], которым глубоко благодарен за ценные обсуждения и советы.


Об авторе
Осипенко Константин Юрьевич
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Читает курсы лекций по выпуклому анализу, вариационному исчислению и оптимальному управлению на механико-математическом факультете МГУ и на кафедре математических основ управления МФТИ. Область научных интересов: теория приближений, теория оптимального восстановления. Автор более 160 научных работ.