Id: 287830

Равенство, сходство, порядок:
Популярное введение в теорию бинарных отношений. С примерами из математической лингвистики № 248. Изд. 2

Аннотация

В предлагаемой читателям книге, написанной известным математиком, кибернетиком и философом Ю.А.Шрейдером, рассказывается о том, как можно формально описать свойства хорошо знакомых всем отношений, указанных в заглавии. На этом примере выясняется, как происходит переход от привычных, но неточных понятий к строгим математическим определениям.

Необходимость строгого описания простейших отношений возникает в математической логике,... (Подробнее)


Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ1
Предисловие к первому изданию5
Введение9
Глава I. Отношения12
§ 1. Как задается отношение12
§ 2. Функции как отношения20
§ 3. Операции над отношениями25
§ 4. Алгебраические свойства операций33
§ 5. Свойства отношений38
§ 6. Инвариантность свойств отношений42
Глава II. Одинаковость и эквивалентность46
§ 1. От одинаковости к эквивалентности46
§ 2. Формальные свойства эквивалентности54
§ 3. Операции над эквивалентностями63
§ 4. Отношения эквивалентности на числовой прямой72
Глава III. Сходство и толерантность78
§ 1. От сходства к толерантности78
§ 2. Операции над толерантностями90
§ 3. Классы толерантности91
§ 4. Дальнейшее исследование структуры толерантностей104
Глава IV. Упорядоченность114
§ 1. Что такое порядок?114
§ 2. Операции над отношениями порядка131
§ 3. Древесные порядки138
§ 4. Множества с несколькими порядками146
Глава V. Отношения в школьной математике155
§ 1. Отношения между геометрическими объектами155
§ 2. Отношения между уравнениями158
Глава VI. Отображения отношений161
§ 1. Гомоморфизмы и корреспонденции161
§ 2. Минимальный образ и каноническое пополнение отношения166
Глава VII. Примеры из математической лингвистики176
§ 1. Синтаксические структуры176
§ 2. Общее понятие текста197
§ 3. Модель сочетаемости206
§ 4. Формальная задача теории дешифровки213
§ 5. О дистрибуциях217
Приложения227
1. Сводка основных типов отношений и их свойств227
2. Первоначальные сведения о множествах227
3. Что такое модель?242
Алфавитный указатель248
Указатель символов254

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга писалась как популярное введение в теорию бинарных отношений. Бинарные отношения, изучавшиеся ранее с точки зрения специальных потребностей математической логики, оказались очень простым и удобным аппаратом для весьма разнооб* разных задач. Язык бинарных (и более общих) отношений очень удобен и естествен для математической лингвистики, математической биологии и целого ряда других прикладных (для математики) областей. Это очень легко объяснить, если сказать, что геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов. Но насколько геометрическая теория графов известна и хорошо освещена в литературе самого разнообразного жанра — от популярцой до монографической, настолько алгебраические аспекты теории отношений изложены весьма скудно.

А между тем алгебра отношений может быть рассказана вполне общедоступно. Так, чтобы ее могли усвоить старшие школьники, занимающиеся в математических кружках, лингвисты, занимающиеся по роду своей работы математическими моделями языка, студенты гуманитарных специальностей, нуждающиеся в определенном математическом образовании, научные работники, занимающиеся какими-либо аспектами кибернетики, и т. п.

Эта книга писалась с расчетом на то, чтобы ее смогли использовать читатели — не математики по профессии. Во всяком случае на такого читателя рассчитан основной материал первых пяти глав. Шестая глава требует некоторого навыка в чтении математической литературы. Седьмая глава написана специально для лингвистов и математиков, занимающихся математической лингвистикой. Для более широкого круга читателей она явится только частным примером.

Как правило, более сложный или более частный материал группируется в конце разделов или выделяется петитом. Так, § 4 главы II является частной геометрической иллюстрацией отношения эквивалентности. Последний параграф главы III предназначен для читателей, намеревающихся специально изучать структуру пространств толерантности — он содержит некоторые новые результаты. Последний параграф главы IV посвящен весьма специальным структурам, возникающим при описании синтаксических отношений во фразе, и предназначен для тех, кто намерен серьезно изучать главу VII.

Пятая глава является несложной иллюстрацией того, какие отношения фактически употребляются в школьной математике.

Формально говоря, чтение этой книги не требует никаких знаний, кроме школьного курса математики и некоторых сведений из теории множеств (эти сведения могут быть почерпнуты, например, из приложения 2). Однако было бы полезно, чтобы читатель обладал знанием основ математики на уровне книги Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику» (М., «Наука», 1965). В некотором смысле настоящая книга является естественным продолжением главы VII книги Ю. А. Шихановича, хотя методические установки обоих авторов чуть ли не противоположны.

Дополнительная трудность при написании книги о математике для нематематиков состоит в том, что такая книга должна в определенной степени дать читателю понятие о том, что -есть математика. Математик-профессионал получает представление о своей науке из всего процесса обучения, не профессиональный читатель составляет свое представление о математике из доступных ему источников. Ходячие представления о математике очень часто неверны, хотя к математике сейчас обращаются очень многие. Иногда от нее ждут готовых рецептов, как решить ту или иную прикладную задачу — такое представление порой складывается в результате обучения школьному или втузовскому курсу. Очень часто написание сложных формул есть просто мистический ритуал, призванный «освятить» и придать достоверность весьма шатким выводам — это своеобразный симптом общей веры в надежность истины постольку, поскольку она выражена в научной форме.

Мне хотелось в этой небольшой книге показать, как осуществляется переход от привычных интуитивных понятий, вроде одинаковости, сходства ) или порядка, к точно определенным математическим понятиям, позволяющим проводить логически строгие рассуждения. При этом хотелось бы предостеречь от неосторожного перенесения выводов, сделанных для данного конкретного уточнения (или, как принято говорить, экспликации) данного понятия, на общий случай, где эти понятия носят только интуитивный характер. Изучение таких экспликаций показывает, в частности, что одно и то же общее понятие допускает разные уточнения с разными свойствами. Это заставляет особенно осторожно относиться к нестрогим выводам или перенесению строгих выводов на ситуации с не строго определенными понятиями, В сущности здесь действует некий принцип соразмерь ности строгости вывода с точностью самого утверждения.

На простейшем материале, использованном в этой книге, мне хотелось показать, как происходит переход от абстрактного, аксиоматического определения объекта к его явному описанию. Это одна из очень важных для математики идей, что мы можем в ряде случаев «перечислить» все объекты, обладающие некоторыми заданными свойствами. Или, иначе, разобраться, как устроены объекты с заданными свойствами.

Бинарные отношения дают, кроме всего прочего, хороший запас содержательных примеров для таких важных общеалгебраических понятий, как полугруппа, гомоморфизм и т. п. В этом польза изучения алгебры бинарных отношений для тех, кто потом рассчитывает глубже изучать математику.

Автор хотел бы выразить свою благодарность ряду лиц, разным образом способствовавших появлению на свет этой книги.

С М. В. Араповым мы систематически обсуждали, что в сущности есть математическое описание языка. Эти обсуждения не могли не сказать на изложении и отборе материала.

С В. Б. Борщевым мы совместно создали некоторые языковые модели, отразившиеся в этой книге. Ему я обязан также рядом конкретных замечаний в ходе изложения.

Т. Д. Вентцель я приздателен за написанный ею § 4 главы II и обсуждение замысла книги.

Н. Я. Виленкин сделал много ценных замечаний при рецензировании рукописи.

Своему учителю И. М, Гельфанду я глубоко благодарен за принципиальное обсуждение роли «размытых» моделей в лингвистике и других областях. Он же обратил мое внимание на важную работу Зимана о толерантности, что и послужило толчком к моим ванятиям в этой области.

Моей ученице Е. Н. Ефимовой я благодарен за неоднократные обсуждения свойств графов, возникающих в лингвистике.

Художнице О. Н. Раздобудько я глубоко признателен за интересное обсуждение смысла иллюстраций, что несомненно оказало влияние на текст книги.

Ряд вопросов, затронутых в этой книге, мне довелось обсуждать с С. Я. Фитиаловым. В частности» в ходе этих бесед возник один из результатов, приведенных в шестой главе.

Многолетнее общение с М. Л. Цетлиным безусловно сказалось на эволюции моих представлений от чисто формальных взглядов на математические модели к идее специфичности моделей живых систем, одной из которых безусловно является язык.

Большую благодарность я испытываю к редактору книги Ю. А. Шихановичу, сумевшему устранить значительное количество имевшихся огрехов, что потребовало очень большого труда.

Своей ученице С. М. Якубович я хотел бы выразить благодарность за активный интерес к совместной работе при изучении свойств отношения толерантности.


ВВЕДЕНИЕ

Мы будем все время иметь дело с простыми категориями, которыми мы повседневно пользуемся, называя определенным образом те или иные ситуации.

Основная трудность (в данном случае — вполне преодолимая) состоит в том, чтобы эти совершенно обыденные категории перевести в ранг точных математических понятий. Подобный перевод весьма типичен для математики. Он даже имеет специальное название. Когда мы переходим от расплывчатого и привычного понятия к точно формулируемому, то это последнее называется экспликацией исходного.

Так, например, математическое понятие «алгорифм» есть экспликация такого обычного понятия как «метод решения задачи».

Возьмем еще пример, требующий большей математической эрудиции: понятие «производная», лежащее в основе дифференциального исчисления, есть не что иное, как экспликация интуитивно ясного понятия «скорость изменения данной величины».

Довольно очевидно, что, поскольку исходное понятие всегда бывает достаточно расплывчатым, оно допускает не одну экспликацию.

В сущности эта книга посвящена экспликации одного существенного понятия, а именно, «отношения», и его основных разновидностей. Что такое отношение, проще всего пояснить примерами. Следующие суждения в действительности выражают отношения между некоторыми объектами:

«Иван — брат Петра», «Иван — сосед Петра», «Железо тяжелее воды», «Киев южнее Москвы», «Ночь и день имеют одинаковое количество букв».

Эти пять предложений выражают отношения разного типа. Однако можно заметить родство в характере отношений, утверждаемых первым, вторым и пятым предложениями. Все они говорят о том, что некие два объекта принадлежат общему классу: сыновей общих родителей, жителей одного дома или поселка, слов с фиксированным числом букв. Третье и четвертое отношения имеют то общее, что выражают относительный порядок объектов в системе. Когда мы говорим, что железо тяжелее воды, мы не предполагаем, что вещества делятся на категории легких и тяжелых. И не утверждаем, что железо тяжелое, а вода легкая. Свинец еще тяжелей железа, а водород гораздо легче воды. Точно так же, деление городов на южные и северные отнюдь не обязательно, чтобы четвертое предложение было справедливым. С точки зрения жителей Мурманска, Москва — это весьма и весьма южный город с черными ночами и созревающими фруктами, а для тбилисцев Киев имеет все основания считаться северным. Даже если бы мы предложили условное деление городов на южные и северные, то в каждой из групп можно было бы найти опять-таки более южных и более северных представителей.

В дальнейшем мы сможем четко определить эту интуитивно ощущаемую разницу между отношениями того и другого типа. Мы увидим, что первый, второй и пятый примеры — это отношения типа эквивалентности, определяющие разбиения объектов на классы подобных друг другу. Остальные два примера — это отношения типа порядка, устанавливающие относительное расположение объектов в системе,

Важно обратить внимание на следующее обстоятельство. Во всех пяти примерах четко выделяются названия объектов и названия отношений. Если вместо названия объекта подставить в предложение название другого объекта, то возможны следующие ситуации:

1) отношение опять будет выполнено;

2) отношение перестанет выполняться;

3) отношение потеряет смысл.

Так, если в третье предложение вместо слова «железо» мы подставим слово «медь», то суждение останется справедливым. Если в четвертое предложение вместо слова «Москва» подставить «Ташкент», то оно перестанет быть верным. Если же в четвертое предложение вместо Москвы поставить «железо», то суждение обратится в бессмыслицу. Аналогично, подставив в первое суждение объекты из четвертого, мы получим предложение «Киев— брат Москвы». Можно, конечно, понимать его в переносном смысле, но ясно, что слово «брат» тогда уже не будет значить «сын общих родителей». (Ср. выражение «Киев--мать городов русских».)

Любопытно, что в пятое предложение можно подставлять, казалось бы, любые объекты, поскольку для любого слова имеет смысл говорить о числе букв, Это объясняется тем, что слова «ночь» и «день» в этом предложении употреблены не как имена соответствующих явлений, а как имена самих себя. Более точно это предложение должно было бы звучать так: «Слово „ночь" и слово „день" имеют одинаковое количество букв».

В таком виде уже ясно, что сама форма суждения ограничивает класс объектов — объектами отношения здесь могут быть только сами слова.

Итак, мы видим, что говорить об отношении можно только тогда, когда мы умеем выделять множество объектов, на которых это отношение определено. Значит, прежде чем пытаться формализовать понятие отношения, нужно научиться формально говорить о множествах и их свойствах. Трудность состоит в том, что понятие множества является в математике «первичным»: его обычно не считают нужным определять через другие понятия. Более того, в полной теории множеств имеются парадоксы.

Мы не будем здесь излагать теорию множеств. Автор в сущности надеется, что первоначальные понятия теории множеств читателю уже знакомы. Но, чтобы не отпугнуть читателя, незнакомого с этими понятиями, мы изложим в приложении 2 те сведения о множествах, на которые будем опираться в дальнейшем.


Об авторе
Шрейдер Юлий Анатольевич
Известный отечественный математик, кибернетик и философ. Кандидат физико-математических наук, доктор философских наук, профессор. Родился в Днепропетровске. В 1946 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1949 г. — аспирантуру там же. В 1950 г. защитил кандидатскую диссертацию по функциональному анализу. C 1961 по 1989 гг. работал в отделе семиотики Всесоюзного института научной и технической информации АН СССР (РАН), где был одним из ведущих сотрудников. С 1970-х гг. занимался исследованием актуальных проблем философии. В 1981 г. защитил докторскую диссертацию по философии. С 1989 г. работал в Институте проблем передачи информации АН СССР. Преподавал в МГУ на механико-математическом факультете и на отделении структурной и прикладной лингвистики филологического факультета. Автор около 800 трудов.

В область научных интересов Ю. А. Шрейдера входили математика (функциональный анализ, вычислительные методы), вычислительная техника, информатика, семиотика, логика, философия и методология науки, системный анализ, философия религии. В его трудах представлены новые результаты по теории бинарных отношений типа сходства; подведены итоги исследований по теории классификации, логике принятия решений «большинством», теории ранговых распределений и общей концепции системы; исследуется отличие информации от личностного знания, формулируются основные принципы инженерии знаний и др. Его книги «Равенство, сходство, порядок» (М.: URSS), «Системы и модели» (М.: URSS), «Природа биологического познания», «Основы этики», «Ценности, которые мы выбираем» (М.: URSS), многочисленные статьи, опубликованные в том числе и на страницах журнала «Вопросы философии», стали классическими в отечественной философской литературе.