| Предисловие к первому изданию | 7
|
| Очерк предмета основной части книги. О подготовительных главах и запасе предварительных сведений. О технической стороне изложения | 7
|
| Часть первая, подготовительная | 24
|
| Глава 0. Алгебры, модули, комплексы | 24
|
| § 1. Банаховы и полинормированные алгебры. Необходимые понятия и факты | 25
|
| 1.1. Минимум по чистой алгебре (теории ассоциативных алгебр). 1.2. Минимум по теории полинормированных (локально выпуклых) пространств. Векторнозначные аналитические функции. 1.3. Общие полинормированные алгебры. 1.4. Банаховы алгебры
|
| § 2. Банаховы и полинормированные алгебры. Необходимые примеры | 37
|
| 2.1. Банаховы алгебры функций и последовательностей. 2.2. Групповые алгебры. 2.3. Операторные алгебры. 2.4. Алгебра-голоморфных функций в области и другие не нормируемые алгебры
|
| § 3. Модули (представления)
|
| 3.1. Алгебраические модули. 3.2. Полинормированные модули. Понятия и факты. 3.3. Полинормированные модули. Примеры
|
| § 4. Категории модулей и связывающие их функторы | 49
|
| 4.1. Теоретико-категорный минимум. Стандартные категории банаховых и полинормированных модулей. 4.2. Функторы забвения, унитализации и отступления. Функтор морфизмов «Аh» и его разновидности
|
| § 5. Комплексы и функтор гомологии | 55
|
| 5.1. Точные последовательности. 5.2. Случай банаховых модулей: теорема о связи точности последовательности сточностью ее сопряженной. 5.3. Комплексы и функтор гомологии. 5.4. «Основная лемма гомологической алгебры» и условия, когда доставляемый ею алгебраический изоморфизм является топологическим
|
| Глава I. Группы когомологий и подводящие к ним задачи | 63
|
| § 1. Расширения | 63
|
| 1.1. Общие понятия. 1.2. Сингулярные расширения и пространство H2(А, X). 1.3. Аннуляторные и конечномерные расширения; связь с геометрией единичного шара
|
| § 2. Дифференцирования и другие вопросы | 73
|
| 2.1. Дифференцирования и пространство H1(А, X). 2.2. Возмущения алгебр и модулей. Пространство H3(А, X)
|
| § 3. Стандартные комплексы и группы когомологий | 77
|
| 3.1. Определения и постановка основных вопросов. 3.2. Несколько замечаний о «прямых» методах
|
| Примечания | 82
|
| Глава II. Тензорное произведение | 85
|
| § 1. Вводные понятия | 85
|
| 1.1. Свойство универсальности. Алгебраическое тензорное произведение. 1.2. Тензорные произведения преднорм
|
| § 2. Тензорное произведение банаховых пространств | 89
|
| 2.1. Определение и явная конструкция. 2.2. Примеры. Тензорное умножение на L1(μ), C(Ω) и гильбертово пространство. 2.3. Тензорное произведение операторов и функтор 2.4. Тензорное произведение пространств дуальной пары. Ядерные операторы. Числовой и операторный след. 2.5. Свойство аппроксимации. Приложения к проблеме существования следа. 2.6. Оценки норм диагональных и треугольных элементов
|
| §3. Тензорное произведение банаховых модулей | 106
|
| 3.1. Определение и общие свойства. 3.2. Тензорное умножение на идеалы и циклические модули. 3.3. Приложения к аннуляторным расширениям
|
| § 4. Топологические тензорные произведения | 113
|
| 4.1. Проективное и индуктивное тензорные произведения. 4.2. Тензорное умножение на пространство голоморфных функций и другие примеры
|
| § 5. Снова об алгебрах, модулях и комплексах (добавления, основанные на тензорном произведении) | 120
|
| 5.1. Тензорное произведение алгебр. 5.2. Обертывающая алгебра и сведение всех модулей к левым унитальным. 5.3. Функтор А«Θ» и его свойства. Сопряженная ассоциативность. 5.4. Бикомплексы и тензорное произведение комплексов. 5.5. Группы гомологии
|
| Примечания | 132
|
| Часть вторая, основная | 135
|
| Глава III. Гомологические понятия (общие свойства) | 135
|
| § 1. Проективные банаховы и полинормированные модули | 136
|
| 1.1. Гомотопия и расщепимость комплексов. 1.2. Проективные и инъективные модули. 1.3. Свободные модули. Задачи подъема, характеризующие проективность. Свободные модули над O(U). 1.4. Косвободные банаховы модули и их связь с инъективными. Не унитальные проективные модули и би-модули
|
| § 2. Резольвенты | 144
|
| 2.1. Проективные резольвенты и теорема сравнения. 2.2. Нормализованная баррезольвента. 2.3. Ненормализованная бар-резольвента. Варианты стандартных резольвент для не унитальных модулей и бимодулей
|
| § 3. Производные функторы | 150
|
| 3.1. Определение производных функторов и длинная точная последовательность. 3.2. Независимость от выбора резольвент
|
| § 4. Ext и Тоr | 156
|
| 4.1. Ext и его связь с задачами подъема и продолжения. 4.2. Выражение групп когомологий через Ext. 4.3. Приложения: группы когомологий и дифференцирования операторных алгебр. 4.4. Тоr и его связь с группами гомологии
|
| § 5. Гомологические размерности модулей и алгебр | 164
|
| Примечания | 168
|
| Глава IV. Проективность | 170
|
| § 1. Некоторые общие приемы проверки проективности | 170
|
| § 2. Проективность идеалов; достаточные условия | 172
|
| 2.1. Проективные и наследственные алгебры. 2.2. Каноническая проекция для идеалов функциональных и групповых алгебр. Проективность в терминах оператора продолжения функций с диагонали. 2.3. Идеалы в С(Ω); роль топологических свойств спектра. 2.4. Идеалы в операторных и групповых алгебрах
|
| § 3. Внутренние (необходимые) свойства проективных идеалов | 178
|
| 3.1. Скелет .проективного идеала. 3.2. Приложение: пракомпактность спектров и описание проективных идеалов в C(Ω). 3.3. Условия типа стабильности. 3.4. Элементы с не очень большими нормами
|
| § 4. Алгебры, с проективными циклическими модулями | 184
|
| 4.1. Постановка основных вопросов. 4.2. Реализация циклических модулей идеалами; роль свойства аппроксимации. 4.3. Алгебры глобальной размерностинуль
|
| § 5. Бипроективные алгебры | 189
|
| 5.1. Определение и общие свойства. Задача ретракции, характеризующая бипроективность. 5.2. Примеры. Бипроективные алгебры среди групповых и операторных. 5.3. Структура бипроективных алгебр; условия их представимости в виде прямых сумм алгебр ядерных операторов. 5.4. Не нормируемые алгебры биразмерности нуль; характеризация СM
|
| Примечания | 198
|
| Глава V. Резольвенты и размерности | 201
|
| § 1. Резольвента Кошуля | 201
|
| 1.1. Комплекс Кошуля. 1.2. Резольвента Кошуля для алгебр голоморфных функций
|
| § 2. Раскручивающая резольвента и размерности банаховых алгебр | 207
|
| 2.1. Раскручивающая резольвента. 2.2. Морфизмы, не продолжаемые с диагонали. 2.3. Оценка снизу глобальной размерности функциональных алгебр. Приложения к сингулярным расширениям. 2.4. Размерности бипроективных алгебр. 2.5. Нерешенные вопросы и разное
|
| Примечания | 219
|
| Глава VI. Мультиоператорное голоморфное исчисление на спектре Тэйлора | 221
|
| 1. Спектр Тэйлора и формулировка основной теоремы | 223
|
| 2. Комплекс, доминирующий над модулем | 226
|
| 3. Точные комплексы пространств голоморфных функций. Связь точности на слоях и глобальной точности | 229
|
| 4. Построение доминирующего комплекса Чеха — конец доказательства основной теоремы | 233
|
| Примечания | 238
|
| Глава VII. Плоскость и аменабельность | 239
|
| § 1. Плоские модули | 240
|
| 1.1. Определение плоскогомодуля. Достаточное условие плоскости идеала. 1.2. Сравнение Tor0A(X,Y) с XАΘY. Не плоские модули с тривиальными Tor-ами положительных размерностей. 1.3. Взаимосвязь плоскости и инъективности. 1.4. Критерий плоскости циклических модулей
|
| § 2. Аменабельные алгебры | 248
|
| 2.1. Инъективные бимодули и биплоские алгебры. Задача коретракции, характеризующая биплоскость. 2.2. Диагональный идеал обертывающей алгебры. 2.3. Аменабельные алгебры и их эквивалентные определения. 2.4. Некоторые свойства аменабельных алгебр. 2.5. Аменабельные групповые алгебры и теорема Джонсона. 2.6. Аменабельные равномерные алгебры; характеризация С(Ω). Несколько замечаний об аменабельных С*-алгебрах
|
| Примечания | 265
|
| Добавление А. Паракомпактные топологические пространства | 267
|
| Добавление Б. Инвариантное среднее на локально компактных группах | 269
|
| Литература | 272
|
| Указатель терминов | 281
|
| Указатель обозначений и сокращений | 286
|
Хелемский Александр Яковлевич 
