|
Оглавление
Предисловие к первому изданию
Прошло почти полвека после выхода в свет краткого сообщения И. М. Гельфанда [112], возвестившего математическому миру о создании новой теории. С той поры о банаховых алгебрах и их обобщениях было написано немало книг, в том числе несколько монографий учебного характера. О некоторых из них нам хочется сейчас с признательностью вспомнить. Автору и многим его товарищам довелось учиться банаховым алгебрам по двум выдающимся книгам, принадлежащим перу первооткрывателя теории и/или его ближайших сотрудников: это «Коммутативные нормированные кольца» И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова и Г. Е. Шилова [20] и «Нормированные кольца» М. А. Най-марка [53]. За рубежом весьма значительную роль в пропаганде этой дисциплины сыграла «Общая теория банаховых алгебр» Ч. Риккарта [64], с ее мастерски изложенным алгебраическим подходом к предмету. Из более поздних книг особого упоминания заслуживает, на наш взгляд, монография «Полные нормированные алгебры» Ф. Бонсола и Дж. Дункана [9]. В этой книге тщательное изложение начал органически сочетается с рассказом о самых свежих по тому времени — вплоть до 1972 г.— достижениях (туда успели попасть даже первые результаты о когомологиях и только что открытых аменабельных алгебрах). Всем названным книгам суждена долгая жизнь. Но поскольку пошла уже вторая половина восьмидесятых годов, мы надеемся, что эта новая книга об «алгебрах анализа» также принесет некоторую пользу. Она задумана прежде всего как учебное пособие и предназначена для первого знакомства с предметом; неудивительно, что много разнообразных результатов в этой большой области функционального анализа со столь обширным пограничным слоем осталось за ее пределами. Вместе с тем мы попытались, в той мере, в какой это позволяют объем и пропорции книги, отразить некоторые современные тенденции в развитии теории. Для специалиста достаточно полное представление о вошедшем в книгу материале дает подробно составленное оглавление. Поэтому ограничимся лишь несколькими замечаниями о ее содержании. Изложение наиболее традиционного раздела — теории коммутативных банаховых алгебр — мы приостанавливаем довольно рано, доказав основную теорему о функциональном представлении этих алгебр и выяснив, во что она оборачивается в конкретных ситуациях. На указанном рубеже, говоря условно, кончаются «общие» результаты, среди которых эта теорема является высшим достижением, и начинаются «специальные», для которых она становится частью фундамента, служит исходным принципом и основным рабочим средством. Оставляя ряд интересных и важных вопросов «коммутативной» теории вне рамок книги, мы не чувствуем особых угрызений совести. На русском языке имеется превосходная книга Т. Гамелина «Равномерные алгебры» [17], где все эти полезные и красивые вещи — граница Шилова, аналитические диски, доли Глисона и др.— изложены весьма подробно и основательно. Зато больше внимания, чем в предшествовавших монографиях, мы уделяем банаховым и полинормированным модулям с их разнообразными связями и приложениями. В частности, в контексте «модулей анализа» рассмотрены такие понятия, как «свобода», проективность, инъективность и плоскость, вместе с их применениями к дифференцированиям, расширениям и другим вопросам. В свете этих понятий рассказано о нескольких классах алгебр, введенных в 70-е годы и с тех пор активно изучаемых; среди последних наиболее известны уже упомянутые аменабельные. Некоторых пояснений заслуживает, пожалуй, еще нулевая глава, содержащая необходимые предварительные сведения. Не следует думать, что ее пропорции точно отражают сравнительную степень участия соответствующих понятий и результатов в основном тексте. Преимущественное внимание здесь уделено тем вопросам, которые содержатся в труднодоступной литературе либо изложены не совсем так, как нам бы этого хотелось — скажем, алгебраистами для алгебраистов. Прежде всего имеются в виду банаховы и топологические тензорные произведения. Кроме того, хотя и в меньшей степени, сказанное касается элементарных категорных и гомологических понятий, а также полинормированных пространств. Этот материал, по нашему убеждению, должен входить в обязательный минимум для современного учебного пособия по интересующему нас предмету. Но важно и то, что он представляет самостоятельный интерес и по своим приложениям далеко выходит за рамки этой дисциплины. В то же время мы ограничились сравнительно краткими напоминаниями о ряде других, не менее нужных для изложения предмета подготовительных сведений. Большей частью это касается вопросов анализа и топологии, входящих в университетский курс или по крайней мере содержащихся в университетских учебниках. Среди последних мы в наибольшей степени ориентировались на книги А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [42], А. А. Кириллова и А. Д. Гвишиани [41]. * * * Коснемся некоторых деталей технической стороны изложения. Как обычно, в тексте выделены теоремы, определения и прочие «математические высказывания» различной смысловой нагрузки. Для них используется единая нумерация, независимая в пределах каждого параграфа (делится параграф на пункты или нет — роли не играет), или главы, если та не делится на параграфы. Ссылка типа «согласно 4.2.14» относится к «высказыванию» 2.14 главы 4. Ссылка типа «см. начало п. 1.1» означает, что имеется в виду нечто, сказанное в начале первого пункта первого параграфа. Здесь, как и при ссылках на «высказывания», номер главы опускается, если ссылка дается в ее пределах. Теоремы, леммы и предложения даются с полными (лучше сказать, претендующими на полноту) доказательствами. Последние окаймлены знаками < и >; поставленные рядом (< >), эти знаки говорят «очевидно» либо «непосредственно проверяется». После следствий, которые всегда считаются очевидными, исходя из сказанного ранее, эти знаки не ставятся. Среди пронумерованных «высказываний» довольно много задач; они включены непосредственно в текст и рассматриваются как его органическая часть. С учетом иногда имеющихся указаний они довольно просты. Если эти задачи (и «утверждения», о которых пойдет речь далее) удалить, то замкнутость изложения сохранится: подчеркнем, что между знаками < и > они не используются. Тем не менее пропускать их, по нашему мнению, неразумно: они достаточно познавательны, и, решая их, читатель проверит, насколько хорошо он понял определение или теорему, которые данная задача сопровождает. Другой разряд фактов, сообщаемых без доказательства— но по другой причине,— это «утверждения». Их не столь много. По большей части это результаты принципиальной важности, имеющие простую и эффектную формулировку; однако их доказательства достаточно сложны либо опираются на теоремы анализа или алгебры, выходящие за пределы принятого нами минимума (бывает и то и другое вместе). Поэтому знать о существовании подобного результата желательно уже при первом знакомстве с предметом, но тратить время и силы на разбор его доказательства пока не стоит: на данном этапе обучения разумнее двигаться дальше. Типичные «утверждения» в нашем тексте — это теоремы о многомерном голоморфном исчислении (Шилова — Аренса — Кальдерона и Тэйлора) или, скажем, теорема Кэйдисона о совпадепии алгебраической и топологической неприводимости для представлений С*-алгебр. Знак ↔ заменяет слова «тогда и только тогда, когда». Равенство по определению часто обозначается знаком :=. Хвостатая стрелка применяется там, где мы объясняем, как данное отображение действует на элементы или — реже — как функтор действует на объекты и морфизмы. Скажем, так: «рассмотрим функцию w: С→С: z→z2». Мелким шрифтом набраны дополнительные сведения; часто это вещи, о которых мы хотим рассказать без излишнего формализма. Разумеется, крупно напечатанный текст не зависит от «мелкого». Список литературы но большей части, хотя и не всегда, состоит из монографий и статей, на которые мы непосредственно ссылаемся в тексте. Излишне говорить, что от полноты он весьма далек; в частности, за его пределами остались многие старые работы, достаточно хорошо «переваренные» в позднейших книгах. Исчерпывающая библиография по «алгебрам анализа» и их приложениям могла бы составить отдельную книгу, сравнимую по размерам с нашей. 1989 г.
Об авторе
 Хелемский Александр Яковлевич Доктор физико-математических наук, профессор, специалист по функциональному анализу. Заслуженный профессор Московского университета (2011). Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1964 г. В 1967 г. защитил кандидатскую диссертацию «Расширения коммутативных банаховых алгебр». С 1967 г. работает на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ; с 1993 г. профессор.
А. Я. Хелемский читает курсы «Банаховы алгебры», «Квантовый функциональный анализ», «Приложения теории функций и функционального анализа», «Действительный анализ», «Операторные алгебры и пространства», «Функциональный анализ», «Групповые операторные пространства и слабо аменабельные группы», «Алгебры фон Нойманна» на механико-математическом факультете МГУ. Основные труды: «Банаховы и полинормированные алгебры: Общая теория, представления, гомологии» (1989), «Квантовый функциональный анализ» (2009), учебник «Лекции по функциональному анализу» (2014). Страницы (пролистать)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
