URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: Общая теория, представления, гомологии Обложка Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: Общая теория, представления, гомологии
Id: 287693
1429 р.

Банаховы и полинормированные алгебры:
Общая теория, представления, гомологии. Изд. 2

URSS. 2022. 466 с. ISBN 978-5-9710-9756-3.
Белая офсетная бумага
Фундамент · Начальные понятия и первые результаты · Вокруг спектра · Основной запас примеров · Коммутативные и звездные банаховы алгебры · Полинормированные алгебры, близкие к банаховым · Модули, они же и представления · Задачи, подводящие к гомологии, и элементы гомологической теории

Аннотация

В предлагаемой книге изложена теория банаховых и более общих полинормированных алгебр, включая ряд приложений этой теории к анализу и топологии. Много внимания уделено разбору общих понятий и фактов на конкретных примерах алгебр, играющих важную роль в теории операторов, гармоническом анализе, теории функций и некоторых других дисциплинах. В текст включено много задач, при решении которых читатель получает дополнительную информацию... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие3
Глава 0. Фундамент7
§ 0. Напоминания из теории множеств, линейной алгебры, топологии7
§ 1. Напоминания и дополнительные сведения из линейного функционального анализа12
1.1. Нормированные, преднормированные и полинормированные пространства12
1.2. Основные принципы теории операторов16
1.3. Некоторые классы операторов в банаховых и гильбертовых пространствах21
1.4. Банаховы дополнения и примеры недополняемых подпространств24
§ 2. Теоретико-категорный минимум. Некоторые категории функционального анализа и связывающие их функторы27
2.1. Категории и некоторые типы морфизмов. Примеры27
2.2. Функторы и естественные преобразования функторов; примеры. Аддитивные категории и функторы30
§ 3. Тензорные произведения33
3.1. Билинейные операторы и их типы непрерывности. Изоморфизмы замораживания34
3.2. Свойство универсальности и алгебраическое тензорное произведение. Тензорные произведения преднорм37
3.3. Банахово тензорное произведение. Оценки некоторых норм. Тензорное умножение на L1(•) и другие примеры41
3.4. Тензорное произведение операторов и функтор «Θ». Замечание о слабом тензорном произведении47
3.5. Индуктивное и проективное тензорные произведения полинормированных пространств. Замечание о ядерных пространствах50
§ 4. Комплексы и их гомологии54
4.1. Комплексы, гомотопия, расщепимость54
4.2. Точные последовательности и их расшифровка в простейших случаях. Сравнение точности и расщепимости57
4.3. Гомология комплекса. «Основная лемма гомологической алгебры»63
Глава 1. Начальные понятия и первые результаты67
§ 1. «Чистые» алгебры67
1.1. Комплексные ассоциативные алгебры и их примеры. Гомоморфизмы, характеры и представления67
1.2. Единица и ее присоединение, обратимые элементы. Многочлены и рациональные функции от элемента алгебры71
§ 2. Банаховы алгебры и другие полинормированные алгебры; первые сведения и примеры75
2.1. Определения основных структур. Автоматическая непрерывность характеров банаховых алгебр75
2.2. Несколько первоочередных примеров79
2.3. Некоторые конструкции над полинормированными алгебрами (тензорное произведение, унитализация и др. Аппроксимативная единица83
2.4. Топологические свойства группы обратимых элементов89
2.5. Топология на множестве характеров91
§ 3. Идеалы93
3.1. Идеалы и их примеры93
3.2. Максимальные и модулярные идеалы96
3.3. Факторалгебры100
3.4. Радикал и полупростота104
Глава 2. Вокруг спектра112
§ 1. Спектры и характеризация некоторых полинормированных тел112
1.1. Определение спектра и его простейшие свойства112
1.2. Условия компактности и непустоты спектра. Теорема Гельфанда — Мазура114
1.3. Спектральный радиус и радикалы банаховых алгебр118
§ 2. Голоморфные функции от элементов банаховых алгебр122
2.1. Одномерное голоморфное исчисление. Постановка задачи и ее решение в классе банаховых алгебр122
2.2. Несколько замечаний о многомерном голоморфном исчислении: поиски совместных спектров, спектры Шилова и Тэйлора, основная теорема Тэйлора (кратко)131
Глава 3. Основной запас примеров136
§ 1. Функциональные алгебры137
1.1. Постановка некоторых типовых вопросов (о закрепленности идеалов и характеров, о спектральном синтезе, о точечных идеалах)137
1.2. Алгебры непрерывных функций. Спектральный синтез в С(Ω)140
1.3. Алгебры гладких функций, винерова алгебра, алгебры последовательностей142
1.4. Алгебры голоморфных функций. Замечание об интерпретации характеров как точек оболочки голоморфности147
§ 2. Операторные алгебры152
2.1. Алгебры ограниченных, компактных и ядерных операторов в гильбертовом пространстве; их идеалы и *-педставления153
2.2. Алгебры Калкина, фермионов, локальных и квазилокальных наблюдаемых спиновой системы. Замечание о гнездовых алгебрах160
2.3. Некоторые операторные топологии и соответствующие полинормированные алгебры. Алгебры фон Нойманна и теорема фон Нойманна о бикоммутанте. Замечание об алгебрах Ласснера166
§ 3. Групповые алгебры173
3.1. L1-алгебры дискретных групп, прямой и окружности; их аппроксимативные единицы, идеалы и характеры174
3.2. Несколько замечаний об общих L1-алгебрах локально компактных групп и смежных вопросах гармонического анализа182
3.3. Операторные групповые алгебры, алгебры мер, некоторые групповые алгебры основных и обобщенных функций187
Глава 4. Коммутативные и звездные банаховы алгебры194
§ 1. Спектр (= пространство максимальных идеалов) коммутативной банаховой алгебры194
1.1. Отождествление максимальных идеалов с характерами. Приложения к функциональным алгебрам и тригонометрическим рядам (теоремы Винера и Леви)195
1.2. Спектр алгебры и его топология197
§ 2. Превращение коммутативной банаховой алгебры в алгебру непрерывных функций (преобразование Гель-фанда202
2.1. Функция, сопоставляемая элементу202
2.2. Преобразование алгебры в целом. Его функториальные свойства и согласованность с голоморфным исчислением203
§ 3. Функциональное представление конкретных классов алгебр208
3.1. Функциональные алгебры: переход к функциям на «исправленной» области определения. Приложение: максимальное, компактное расширение208
3.2. Групповые алгебры: преобразование Фурье212
§ 4. Инволюция и звездные алгебры215
4.1. Начальные определения и свойства215
4.2. Звездные алгебры и их основные примеры; *-представления218
§ 5. Положительные функционалы, ГНС-конструкция и универсальное представление222
5.1. Положительные функционалы и ассоциированные с ними ГНС-представления222
5.2. Автоматическая непрерывность положительных функционалов и ГНС-представления звездных банаховых алгебр227
5.3. Универсальное представление, звездный радикал и звездная полупростота229
§ 6. Эрмитовы алгебры235
§ 7. С*-алгебры241
7.1. Определение и простейшие свойства. Описание коммутативных С*-алгебр как алгебр С0(Ω)241
7.2. Непрерывные и борелевские функции от некоторых элементов С*-алгебр. Приложение: спектральная теорема для нормального оператора245
7.3. Описание С*-алгебр как операторных алгебр259
7.4. Обертывающие и групповые С*-алгебры. Замечание о тензорных произведениях С*-алгебр и о ядерных С*-алгебрах263
7.5. Положительные элементы, аппроксимативные единицы, факторалгебры266
Глава 5. Полинормированные алгебры, близкие к банаховым273
1. Банаховы алгебры, сопутствующие заданной мультинормированной. Приложение: характеризация мультинормированных тел274
2. Описание алгебр Аренса — Майкла в терминах банаховых278
3. Коммутативные алгебры Аренса — Майкла и разное286
Глава 6. Модули, они же и представления297
§ 1. Левые модули; начальные определения и примеры298
1.1. Модули чистой алгебры и их морфизмы298
1.2. Модули анализа; первые определения. Свободные банаховы модули304
1.3. Модули анализа; типичные примеры. Замечание о связи представлений групп с представлениями их групповых алгебр311
§ 2. Неприводимость315
2.1. Циклические и неприводимые представления. Определения и примеры316
2.2. Характеризация радикала и полупростоты в терминах неприводимости. Структурная теорема для некоммутативных алгебр (и то, чего в ней не хватает)323
2.3. Лемма Шура и ее звездный вариант (теорема М. А. Наймарка). Теорема плотности и ее приложения — дальнейшие результаты об автоматической непрерывности329
2.4. Связь топологически неприводимых *-представлений и чистых состояний. Приложение: новая характеризация звездного радикала и звездной полупростоты340
§ 3. Различные типы модулей, их взаимосвязь и некоторые конструкции над ними345
3.1. Правые модули и бимодули; примеры. Сведение всех типов модулей к левым унитальным345
3.2. Операции забвения и отступления. Модули морфизмов и тензорные произведения модулей350
Глава 7. Задачи, подводящие к гомологии, и элементы гомологической теории361
§ 1. Проективность и другие понятия, выражаемые в терминах задач подъема и продолжения361
1.1. Задача подъема. Проективные модули и их связь со свободными361
1.2. Примеры проективных модулей. Условия проективности идеалов и циклических модулей367
1.3. Задача продолжения. Инъективные и плоские модули. Плоские L1(G)-модули и аменабельные группы372
1.4. Стягиваемые, бипроективные и аменабельные алгебры. Эквивалентные определения и общие свойства379
1.5. Стягиваемость, бипроек-тивность и аменабельность в конкретных классах алгебр. Теорема Джонсона об аменабельности (случай дискретных групп)386
§ 2. Дифференцирования, автоморфизмы и расширения; первое появление коциклов и кограниц393
2.1. Дифференцирования и автоморфизмы393
2.2. Расширения алгебр и условия расщепимости сингулярных расширений. Несколько слов о возмущениях400
2.3. Допустимые комплексы и расширения модулей. Приложения к дифференцированиям406
§ 3. Пространства Extn, их подготовка и приложения410
3.1. Проектные резольвенты. Стандартная (нормализованная бар-)резольвента. Замечание о резольвенте Кошуля411
3.2. Производные функторы и Extn. Одномерные Ext-ы в терминах расширений и препятствий к подъему. Замечание о Тоr-х416
3.3. Группы когомологий и их выражение через Ext1. Приложения к дифференцированиям и расширениям. Когомологическая характеризация стягиваемых и аменабельных алгебр424
3.4. Гомологическая размерность. Ее оценка для бипроективных алгебр428
Список литературы435
Указатель терминов452
Указатель обозначений457

Предисловие к первому изданию
top

Прошло почти полвека после выхода в свет краткого сообщения И. М. Гельфанда [112], возвестившего математическому миру о создании новой теории. С той поры о банаховых алгебрах и их обобщениях было написано немало книг, в том числе несколько монографий учебного характера. О некоторых из них нам хочется сейчас с признательностью вспомнить.

Автору и многим его товарищам довелось учиться банаховым алгебрам по двум выдающимся книгам, принадлежащим перу первооткрывателя теории и/или его ближайших сотрудников: это «Коммутативные нормированные кольца» И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова и Г. Е. Шилова [20] и «Нормированные кольца» М. А. Най-марка [53]. За рубежом весьма значительную роль в пропаганде этой дисциплины сыграла «Общая теория банаховых алгебр» Ч. Риккарта [64], с ее мастерски изложенным алгебраическим подходом к предмету. Из более поздних книг особого упоминания заслуживает, на наш взгляд, монография «Полные нормированные алгебры» Ф. Бонсола и Дж. Дункана [9]. В этой книге тщательное изложение начал органически сочетается с рассказом о самых свежих по тому времени — вплоть до 1972 г.— достижениях (туда успели попасть даже первые результаты о когомологиях и только что открытых аменабельных алгебрах).

Всем названным книгам суждена долгая жизнь.

Но поскольку пошла уже вторая половина восьмидесятых годов, мы надеемся, что эта новая книга об «алгебрах анализа» также принесет некоторую пользу. Она задумана прежде всего как учебное пособие и предназначена для первого знакомства с предметом; неудивительно, что много разнообразных результатов в этой большой области функционального анализа со столь обширным пограничным слоем осталось за ее пределами. Вместе с тем мы попытались, в той мере, в какой это позволяют объем и пропорции книги, отразить некоторые современные тенденции в развитии теории.

Для специалиста достаточно полное представление о вошедшем в книгу материале дает подробно составленное оглавление. Поэтому ограничимся лишь несколькими замечаниями о ее содержании.

Изложение наиболее традиционного раздела — теории коммутативных банаховых алгебр — мы приостанавливаем довольно рано, доказав основную теорему о функциональном представлении этих алгебр и выяснив, во что она оборачивается в конкретных ситуациях. На указанном рубеже, говоря условно, кончаются «общие» результаты, среди которых эта теорема является высшим достижением, и начинаются «специальные», для которых она становится частью фундамента, служит исходным принципом и основным рабочим средством. Оставляя ряд интересных и важных вопросов «коммутативной» теории вне рамок книги, мы не чувствуем особых угрызений совести. На русском языке имеется превосходная книга Т. Гамелина «Равномерные алгебры» [17], где все эти полезные и красивые вещи — граница Шилова, аналитические диски, доли Глисона и др.— изложены весьма подробно и основательно.

Зато больше внимания, чем в предшествовавших монографиях, мы уделяем банаховым и полинормированным модулям с их разнообразными связями и приложениями. В частности, в контексте «модулей анализа» рассмотрены такие понятия, как «свобода», проективность, инъективность и плоскость, вместе с их применениями к дифференцированиям, расширениям и другим вопросам. В свете этих понятий рассказано о нескольких классах алгебр, введенных в 70-е годы и с тех пор активно изучаемых; среди последних наиболее известны уже упомянутые аменабельные.

Некоторых пояснений заслуживает, пожалуй, еще нулевая глава, содержащая необходимые предварительные сведения. Не следует думать, что ее пропорции точно отражают сравнительную степень участия соответствующих понятий и результатов в основном тексте. Преимущественное внимание здесь уделено тем вопросам, которые содержатся в труднодоступной литературе либо изложены не совсем так, как нам бы этого хотелось — скажем, алгебраистами для алгебраистов. Прежде всего имеются в виду банаховы и топологические тензорные произведения. Кроме того, хотя и в меньшей степени, сказанное касается элементарных категорных и гомологических понятий, а также полинормированных пространств. Этот материал, по нашему убеждению, должен входить в обязательный минимум для современного учебного пособия по интересующему нас предмету. Но важно и то, что он представляет самостоятельный интерес и по своим приложениям далеко выходит за рамки этой дисциплины.

В то же время мы ограничились сравнительно краткими напоминаниями о ряде других, не менее нужных для изложения предмета подготовительных сведений. Большей частью это касается вопросов анализа и топологии, входящих в университетский курс или по крайней мере содержащихся в университетских учебниках. Среди последних мы в наибольшей степени ориентировались на книги А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [42], А. А. Кириллова и А. Д. Гвишиани [41].

* * *

Коснемся некоторых деталей технической стороны изложения. Как обычно, в тексте выделены теоремы, определения и прочие «математические высказывания» различной смысловой нагрузки. Для них используется единая нумерация, независимая в пределах каждого параграфа (делится параграф на пункты или нет — роли не играет), или главы, если та не делится на параграфы. Ссылка типа «согласно 4.2.14» относится к «высказыванию» 2.14 главы 4. Ссылка типа «см. начало п. 1.1» означает, что имеется в виду нечто, сказанное в начале первого пункта первого параграфа. Здесь, как и при ссылках на «высказывания», номер главы опускается, если ссылка дается в ее пределах.

Теоремы, леммы и предложения даются с полными (лучше сказать, претендующими на полноту) доказательствами. Последние окаймлены знаками < и >; поставленные рядом (< >), эти знаки говорят «очевидно» либо «непосредственно проверяется». После следствий, которые всегда считаются очевидными, исходя из сказанного ранее, эти знаки не ставятся.

Среди пронумерованных «высказываний» довольно много задач; они включены непосредственно в текст и рассматриваются как его органическая часть. С учетом иногда имеющихся указаний они довольно просты. Если эти задачи (и «утверждения», о которых пойдет речь далее) удалить, то замкнутость изложения сохранится: подчеркнем, что между знаками < и > они не используются. Тем не менее пропускать их, по нашему мнению, неразумно: они достаточно познавательны, и, решая их, читатель проверит, насколько хорошо он понял определение или теорему, которые данная задача сопровождает.

Другой разряд фактов, сообщаемых без доказательства— но по другой причине,— это «утверждения». Их не столь много. По большей части это результаты принципиальной важности, имеющие простую и эффектную формулировку; однако их доказательства достаточно сложны либо опираются на теоремы анализа или алгебры, выходящие за пределы принятого нами минимума (бывает и то и другое вместе). Поэтому знать о существовании подобного результата желательно уже при первом знакомстве с предметом, но тратить время и силы на разбор его доказательства пока не стоит: на данном этапе обучения разумнее двигаться дальше. Типичные «утверждения» в нашем тексте — это теоремы о многомерном голоморфном исчислении (Шилова — Аренса — Кальдерона и Тэйлора) или, скажем, теорема Кэйдисона о совпадепии алгебраической и топологической неприводимости для представлений С*-алгебр.

Знак ↔ заменяет слова «тогда и только тогда, когда». Равенство по определению часто обозначается знаком :=. Хвостатая стрелка применяется там, где мы объясняем, как данное отображение действует на элементы или — реже — как функтор действует на объекты и морфизмы. Скажем, так: «рассмотрим функцию w: С→С:

z→z2».

Мелким шрифтом набраны дополнительные сведения; часто это вещи, о которых мы хотим рассказать без излишнего формализма. Разумеется, крупно напечатанный текст не зависит от «мелкого».

Список литературы но большей части, хотя и не всегда, состоит из монографий и статей, на которые мы непосредственно ссылаемся в тексте. Излишне говорить, что от полноты он весьма далек; в частности, за его пределами остались многие старые работы, достаточно хорошо «переваренные» в позднейших книгах. Исчерпывающая библиография по «алгебрам анализа» и их приложениям могла бы составить отдельную книгу, сравнимую по размерам с нашей.

1989 г.


Об авторе
top
photoХелемский Александр Яковлевич
Доктор физико-математических наук, профессор, специалист по функциональному анализу. Заслуженный профессор Московского университета (2011). Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1964 г. В 1967 г. защитил кандидатскую диссертацию «Расширения коммутативных банаховых алгебр». С 1967 г. работает на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ; с 1993 г. профессор.

А. Я. Хелемский читает курсы «Банаховы алгебры», «Квантовый функциональный анализ», «Приложения теории функций и функционального анализа», «Действительный анализ», «Операторные алгебры и пространства», «Функциональный анализ», «Групповые операторные пространства и слабо аменабельные группы», «Алгебры фон Нойманна» на механико-математическом факультете МГУ. Основные труды: «Банаховы и полинормированные алгебры: Общая теория, представления, гомологии» (1989), «Квантовый функциональный анализ» (2009), учебник «Лекции по функциональному анализу» (2014).