Стояновский А.В. Введение в математические принципы квантовой теории поля Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

Настоящая книга возникла при попытке понять основные принципы квантовой теории поля, предпринятой математиком, точнее специалистом по математической физике. Не секрет, что квантовая теория поля является для многих математиков "китайской грамотой". В то же время, на наш взгляд, назрела принципиальная необходимость включить квантовую теорию поля в математическую физику. Это необходимо по нескольким причинам. Главная из них – то, что квантовая теория поля отвечает на естественные натурфилософские вопросы, которыми может задаться математик: можно ли делить материю до бесконечности? Как обобщить далеко разработанный и богатый прекрасными результатами аппарат линейной математической физики на многомерные вариационные задачи? Иными словами, как математически моделировать среду, в которой возбуждения распространяются во все стороны не по кривым, а по (многомерным) поверхностям?

Вторая причина, по которой математикам пора понять квантовую теорию поля, – обилие математических результатов, полученных квантовополевыми методами. Для непосвященных математиков эти результаты выглядят как фокусы типа "кролик из шляпы". Исторически сам автор, будучи студентом, начал с изучения этих результатов, таких как применение конформной теории поля к теории представлений и алгебраической геометрии. В то же время стало понятно, что удовлетворительное для математика изложение конформной теории поля отсутствует. Изучение конформной теории поля напоминало изучение теории функций комплексного переменного без знания вещественного дифференциального и интегрального исчисления. То есть как раз не хватало понимания математических механизмов квантовой теории поля.

Настоящая книга рассчитана на математиков, имеющих классическое образование в области математического анализа и математической физики. Тем самым эти прекрасные математические результаты, которые начали уже выходить из многих образовательных курсов, снова включаются в основное древо развития математики, неотделимого от развития естествознания. Автор счастлив, что на его долю выпало снова соединить разделенное. Здесь уместно вспомнить слова И.М.Гельфанда, который говорил, что воспринимает математику вместе с математической физикой как единое целое. Можно добавить, что математики более ранних времен вообще не отделяли математику от физики, и было бы прекрасно возродить эту классическую традицию.

Перейдем к изложению содержания книги. Основной метод вывода результатов и конструкций квантовой теории поля в книге – математический, т.е. метод логических рассуждений, опирающихся на натурфилософские представления. В какой-то степени это метод последовательных приближений, от наивных представлений ко все более и более корректным. Поэтому книгу можно рассматривать как математический трактат, выводящий основные понятия квантовой теории поля из общих натурфилософских предпосылок.

В первой вводной части напоминаются некоторые классические результаты математической физики, связанные с оптико-механической аналогией, которые будут служить ориентиром и, так сказать, почвой для дальнейшего изложения. Сюда входят одномерное вариационное исчисление, теория Гамильтона–Якоби, гамильтонов формализм, обобщенные функции, преобразование Фурье и представление А.Вейля симплектической группы, теория квазиклассических асимптотик решения уравнения Шредингера, исчисление Г.Вейля псевдодифференциальных операторов. Здесь есть и новые результаты, объединяющие с единых позиций метод комплексного ростка В.П.Маслова, исчисление Г.Вейля и представление А.Вейля. Мы постарались дать здесь обзор математических методов, связанных с оптико-механической аналогией, от закона преломления света до интегральных операторов Фурье. Более подробно содержание книги освещено в оглавлении.

Изложение в первой части представляет собой сильно расширенный и модифицированный вариант брошюры автора [38].

Во второй части совершается постепенный переход к теории поля. Основная движущая идея – обобщение предыдущих результатов на ситуацию многомерной вариационной задачи. Вначале дается детальный анализ классической теории поля: многомерное вариационное исчисление, обобщенная теория Гамильтона–Якоби, ковариантный обобщенный гамильтонов формализм. Затем переходим к попыткам квантования. В качестве пробного камня рассматривается свободное скалярное поле. Его квантование приводит к идее подходящего бесконечномерного обобщения представления А.Вейля и метода комплексного ростка, которая оказывается неудачной. Вместо этого оказывается целесообразным бесконечномерное обобщение исчисления Г.Вейля, и рассмотрение уравнения Гейзенберга в алгебре Г.Вейля. Таким образом удается построить полную логически последовательную квантовую теорию свободного скалярного поля и получить формулы физиков для функций Грина свободного поля. Вообще, уже здесь следует сказать, что наиболее близкая "физическая" книга к нашему изложению – это книга Н.Н.Боголюбова и Д.В.Ширкова [8]. Однако изложение не опирается на эту книгу, а как бы параллельно ей. (Только в самом конце мы ссылаемся на теорему Боголюбова–Парасюка.)

Следующий шаг – переход к рассмотрению взаимодействующих полей, причем взаимодействие рассматривается как малое возмущение. Здесь обсуждается несколько подходов к квантованию, наиболее прямолинейный из которых – это рассмотрение уравнения Гейзенберга в алгебре Вейля. Выясняется, что решения этого уравнения плохо определены, потому что ряд теории возмущений для оператора эволюции задается расходящимися интегралами, соответствующими диаграммам Фейнмана. Основное отличие от обычных фейнмановских интегралов, рассматриваемых в физике, – то, что интегрирование идет не по всему пространству-времени, а только по полосе в нем. Следуя физическим соображениям, пытаемся модифицировать эти расходящиеся интегралы вычитательной процедурой, так чтобы получить однопараметрическое семейство автоморфизмов алгебры Вейля. В качестве примера берем модель phi⁴. Однако, хотя для однопетлевой диаграммы с двумя вершинами перенормировка проходит, для двух петель возникают трудности. Выясняется, что это связано с негладкостью характеристической функции полосы. Приходится изменить точку зрения на квантовополевую динамику и рассматривать операторы эволюции с членом взаимодействия, сглаженным при помощи гладкого множителя во всем пространстве-времени, например, g(x)phi(x)⁴, где g(x) – гладкая функция, служащая заменителем характеристической функции полосы. Формулировку динамики с функцией g(x) приходится давать при помощи подходящей версии условия причинности. Теперь фейнмановские интегралы уже удается перенормировать, и мы приходим к формулировке Боголюбова квантовой теории поля через S-матрицу S(g), зависящую от функции включения взаимодействия g(x). Эту S-матрицу можно вычислить в любом порядке разложения по степеням функции g(x), и естественно постулировать ее существование вне рамок теории возмущений. Унитарность S-матрицы в рамках теории возмущений становится нетривиальной теоремой.

Таким образом, мы приходим к мысли, что S-матрицу правильно задавать одновременно для целого семейства лагранжианов, зависящих от вспомогательных функций. Коэффициенты разложения по этим функциям – это квантовополевые функции Грина, обладающие интересными математическими свойствами. Они в какой-то мере отвечают на вопрос, как умножать обобщенные функции.

Изложение во второй части следует серии статей автора [39–45].

Несколько слов о нумерации формул. Формулы внутри глав нумеруются подряд, а ссылка на формулу из другой главы дается с указанием номера этой главы, например формула (4.20) означает формулу (20) из главы 4.

Автор признателен В.В.Долотину, Ю.А.Неретину и И.В.Тютину за многочисленные полезные обсуждения, способствовавшие продвижению в понимании предмета.

Автор был частично поддержан грантом РФФИ N04–01–00640.

Автор посвящает эту книгу людям, которые помогли ему в трудные минуты жизни: родителям, Д.З.Клейману, И.М.Гельфанду.

Об авторе

Стояновский Александр Васильевич

Доцент кафедры математики Российского государственного гуманитарного университета, кандидат физико-математических наук.

Родился в 1973 г. Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Защитил кандидатскую диссертацию в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Имеет 17 научных работ по комбинаторике, теории представлений, алгебраической геометрии, конформной теории поля, математической физике.