Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В основу данной книги положены лекции, прочитанные автором в Уральском государственном университете им. А.М.Горького для студентов-математиков старших курсов. Эти лекции посещали также научные работники и инженеры, интересующиеся приложением методов теории устойчивости. Указанное обстоятельство явилось причиной ряда специфических особенностей предлагаемого курса. С одной стороны, автором руководило стремление дать слушателям-математикам представление о современном уровне развития теории устойчивости, показать связь этой теории с другими областями математики, познакомить с новейшими методами исследования, наконец, изложить результаты самого автора и его учеников. С другой стороны, автор понимал, что слушатели не должны были уходить с лекций, унося в голове только голые математические конструкции. Поэтому на лекциях каждый математический факт обсуждался с точки зрения его применимости и ценности в прикладных вопросах. К сожалению, мы не нашли возможным включить все такие обсуждения в эту книгу, однако специфика подбора материала отражает в достаточной степени указанную выше ситуацию.

В первой главе рассматриваются вопросы метода функций Ляпунова. Этот метод был развит в книге А. М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", вышедшей из печати в 1892 г. Дальнейшему развитию метода функций Ляпунова были посвящены известные монографии А. И. Лурье, Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина, А. М. Летова, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова у нас в СССР и Ж. Ла-Салля, С. Лефшеца, В. Гана за рубежом.

В нашей книге, далеко не претендующей на полноту, не изложены даже в полном объеме те теоремы, которые вошли в знаменитую монографию А. М. Ляпунова. Здесь нами рассмотрены только автономные системы. В линейном случае мы ограничились обзором функций Ляпунова только в виде квадратичных форм. В нелинейном случае не обсуждается вопрос об обратимости теорем об устойчивости и неустойчивости.

С другой стороны, в первой главе подробно обсуждаются вопросы устойчивости при любых начальных возмущениях. Как известно, эта теория возникла в 1950—1955 гг. Первые существенные результаты в этой области принадлежат Н. П. Еругину. А. И. Лурье и И. Г. Малкину принадлежит заслуга привлечения к указанным вопросам метода функций Ляпунова. Значительную роль в развитии теории устойчивости в целом сыграли теоремы типа теорем 5.2, 6.3, 12.2, приведенных в первой главе. В этих теоремах свойство устойчивости обусловливается наличием функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную, а не знакоопределенную, как это требуется в некоторых теоремах Ляпунова, производную по времени. Особая роль этих теорем объясняется тем, что почти любая попытка построения простых функций Ляпунова для нелинейных систем приводит к функциям с указанным свойством.

При изложении материала первой главы в любом удобном случае показывается методика построения функций Ляпунова. В конце главы даны примеры, каждый из которых представляет самостоятельный интерес.

Вторая глава посвящена вопросам устойчивости систем с переменной структурой. С математической точки зрения такие системы представляют весьма узкий класс систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Однако именно благодаря этому факту автору вместе с его сотрудниками удалось построить более или менее полную и стройную теорию для рассматриваемого класса систем. Следует отметить важность исследования устойчивости систем с переменной структурой, так как такие системы позволяют осуществлять стабилизацию объектов с существенно переменными параметрами. Часть результатов второй главы получена совместно с инженерами, которые осуществляли как разработку отдельных направлений теории, так и моделирование исследуемых систем.

Метод функций Ляпунова также нашел здесь свое применение, однако заинтересованный читатель может познакомиться с содержанием этой главы независимо от предыдущей.

В третьей главе обсуждаются вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Намерение включить эту главу в книгу появилось в силу следующих обстоятельств. Прежде всего, к моменту начала работы над этой главой не было монографий и фундаментальных работ, посвященных указанным вопросам, за исключением статей Л. Массера и Д. Шеффера. Автором руководило также желание продемонстрировать роль методов функционального анализа в теории устойчивости. Первый результат в этом направлении принадлежит М. Г. Крейну. В дальнейшем Л. Массера и Д. Шеффер, опираясь, в частности, на метод М. Г. Крейна, значительно развили теорию устойчивости в функциональных пространствах. К моменту завершения работы над этой главой вышла из печати книга М. Г. Крейна. Однако различие научных интересов автора указанной выше книги и автора данной книги привело к тому, что пересечение результатов имеет место только в общих вопросах.

Отметим особенности изложения материала в третьей главе нашей работы. Нами дана трактовка задачи о накоплении возмущений как задача отыскания нормы оператора, преобразующего входной сигнал в выходной. Далее, значительное место уделено теоремам Л. Массера и Д. Шеффера, причем снова эти теоремы рассматриваются с точки зрения накопления возмущений, но уже на полубесконечном интервале времени.

В настоящее время стала очень распространенной точка зрения на устойчивость, как на устойчивость по отношению к возмущению входного сигнала. Предположим, что некоторое звено системы автоматического регулирования преобразует входной сигнал в некоторый сигнал. Закон преобразования этих сигналов задается некоторым оператором. Устойчивость состоит в том, что малое возмущение входного сигнала вызывает малое возмущение выходного сигнала. С математической точки зрения указанное свойство соответствует свойству непрерывности рассматриваемого оператора. Представляет интерес дать внутреннюю характеристику таких операторов. Как правило, эта характеристика сводится к описанию асимптотического поведения матрицы Коши (переходных функций). Именно в таком плане мы и рассматриваем результаты § 5 и 6.

Следует заметить, что асимптотическое поведение матрицы Коши линейной системы полностью характеризуется поведением реакции звена на импульсное воздействие. Таким образом, теоремы § 5 и 6 можно рассматривать как теоремы, описывающие поведение реакции системы на импульсный сигнал в зависимости от поведения системы при действии возмущений других типов. Поэтому большое внимание уделено вопросам преобразования импульсных воздействий. Здесь на базе понятия функций ограниченной вариации и понятия интеграла Стилтьеса строится элементарная теория устойчивости по отношению к импульсным воздействиям. Указанный подход позволяет рассматривать вопросы устойчивости в смысле Ляпунова (т. е. вопросы устойчивости по отношению к начальным возмущениям) и вопросы устойчивости по отношению к постоянно действующим возмущениям с единой точки зрения.

Последний параграф третьей главы посвящен вопросам программного регулирования. Материал § б и 7 изложен так, чтобы применение его для решения задачи осуществления движения по заданной траектории не представляло затруднений. Единственное, что здесь потребовалось для развития теории,— это привлечение методов и результатов теории среднеквадратических приближений.

Следует отметить, что третья глава требует от читателя несколько большей математической подготовки. В этой главе мы используем основные понятия функционального анализа, с которыми можно познакомиться [...]. Однако для удобства читателя все основные определения и положения функционального анализа, которыми мы пользуемся в третьей главе, приведены в § 1 этой главы.

В конце книги приведена подробная библиография работ, имеющих отношение к вопросам, рассматриваемым в книге.

Автор благодарен Н, Н. Красовскому за ценные замечания и советы.

В. А. Табуева, Е. И. Геращенко, В. Л. Гасилов, С. Т. Завалишин, А. Ф. Клейменов, Л. В. Киселев указали мне ряд недочетов, допущенных при оформлении работы. Ю. К. Сергеев провел моделирование некоторых результатов второй главы. Всем указанным товарищам автор приносит свою глубокую благодарность.

Об авторе

Барбашин Евгений Алексеевич

Советский ученый в области математики и механики. Доктор физико-математических наук, профессор, академик АН БССР. Окончил Уральский государственный университет и аспирантуру МГУ. В 1952–1958 гг. заведовал кафедрой высшей математики Уральского политехнического института. В 1958–1960 гг. — заведующий отделом математики Уральского филиала АН СССР, в 1961–1966 гг. — заведующий отделом математического анализа Свердловского отделения Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова (ныне Институт математики и механики УрО РАН). Глава уральской научной школы по динамическим системам; автор многочисленных трудов по абстрактным динамическим системам, дифференциальным уравнениям, устойчивости движения, теории управления и приложениям к новой технике. Опубликовал более 80 научных работ, среди них 3 монографии: "Введение в теорию устойчивости", "Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством" (совм. с В. А. Табуевой), "Функции Ляпунова". Лауреат Государственной премии СССР, награжден орденом Трудового Красного Знамени.