|
Оглавление
Предисловие
Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной нелинейной системы автоматического управления позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. К таким задачам относятся: оценки изменения регулируемой величины, оценка времени протекания переходного процесса (времени регулирования); оценка интегральных критериев качества регулирования и т.д. С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезающих во времени, получить оценку влияния постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решать задачи устойчивости в «большом», т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной заранее области. С помощью функций Ляпунова можно решать также проблему существования или отсутствия периодических решений. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления. Проблема обращения теорем об устойчивости А.М.Ляпунова была одной из самых трудных и интересных проблем рассматриваемой теории. Однако методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения необходимых условий устойчивости и неустойчивости, хотя и позволили установить факт существования таких функций, но не были настолько эффективными, чтобы ими можно было воспользоваться при исследовании конкретных систем. Следует заметить, что способ построения функций Ляпунова для линейных автономных систем был указан еще самим А.М.Ляпуновым. При наличии свойства асимптотической устойчивости у системы линейного приближения легко строится функция Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия соответствующей нелинейной системы. Проблему построения функций Ляпунова в заданной области фазового пространства нелинейной системы нельзя считать в настоящее время полностью решенной. Имеется лишь некоторый набор приемов, дающих в ряде случаев положительный результат. Описанию этих приемов и посвящена предлагаемая вниманию читателя книга, В самом начале работы над книгой автор предполагал создать справочник, в котором были бы перечислены все наиболее интересные функции Ляпунова. В процессе работы пришлось отказаться от этого замысла, так как обилие примеров грозило затопить ведущие идеи описываемых методов. Почти все приводимые в книге функции Ляпунова привлекаются для формулировки достаточных условий асимптотической устойчивости при любых начальных возмущениях (устойчивости в целом). Однако главная цель монографии состоит не в формулировке таких условий, а в том, чтобы продемонстрировать на конкретных примерах существующие в настоящее время приемы построения функций Ляпунова. В первой главе, имеющей вводный характер, даны основы метода функций Ляпунова, главным образом, для автономных систем. Здесь, в частности, приводятся теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости, в формулировке которых отсутствует требование знакоопределенности производной функции Ляпунова. Теоремы указанного типа, как будет видно из дальнейшего изложения, являются наиболее удобными при решении задач устойчивости в большом. Вторая глава посвящена линейным системам. Здесь рассматриваются вопросы построения функций Ляпунова в виде квадратичных форм. Даются методы оценки решений и методы вычисления интегральных квадратичных критериев качества регулирования. Здесь же дано краткое изложение вопроса построения функций Ляпунова для линейных интегро-дифференциальных уравнений. Для полноты изложения следовало бы рассмотреть аналогичный вопрос и для уравнений с запаздываниями, однако этот материал исчерпывающе изложен в монографии [53] и в статье [99]. В третьей главе, посвященной нелинейным системам, показано на примере, как с помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения решения нелинейных систем, время регулирования, а также приводятся некоторые общие свойства функций Ляпунова и дано общее описание методов построения этих функций. В этой же главе изложена методика построения векторных функций Ляпунова для сложных систем, подсистемы которых связаны между собой линейной и нелинейной зависимостью. В четвертой главе дается понятие о методах построения функций Ляпунова, развитых в теории абсолютной устойчивости. Однако здесь в основном рассмотрены только основные и простейшие критические случаи, когда матрица линейной части системы имеет один или (в случае системы прямого управления) два нулевых собственных значения. Весь этот материал привлечен, главным образом, для полноты описания. Читателей, желающих более подробно познакомиться с развиваемой здесь теорией, следует адресовать к монографиям [2], [63], [61], [66]. В пятой главе строятся функции Ляпунова для некоторых нелинейных уравнений третьего и четвертого порядков. Наибольший интерес здесь представляют рассуждения, снимающие и ослабляющие ограничения, наложенные на поведение функции Ляпунова в бесконечности. В шестой главе приведены функции Ляпунова для нелинейных систем третьего порядка с одной, двумя и тремя нелинейностями. Здесь в основном изложены результаты Н.Н.Красовского, В. А. Плисса, А. П. Тузова. В последней, седьмой, главе строятся функции Ляпунова для систем третьего порядка с нелинейностью, зависящей от двух координат точек фазового пространства. Автор приносит свою глубокую благодарность А.М.Лётову за ценные замечания и советы и И. В. Гайшуну, проверившему все выкладки и взявшему на себя нелегкий труд изложения материала двух последних глав книги. Об авторе
 Барбашин Евгений Алексеевич Советский ученый в области математики и механики. Доктор физико-математических наук, профессор, академик АН БССР. Окончил Уральский государственный университет и аспирантуру МГУ. В 1952–1958 гг. заведовал кафедрой высшей математики Уральского политехнического института. В 1958–1960 гг. — заведующий отделом математики Уральского филиала АН СССР, в 1961–1966 гг. — заведующий отделом математического анализа Свердловского отделения Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова (ныне Институт математики и механики УрО РАН). Глава уральской научной школы по динамическим системам; автор многочисленных трудов по абстрактным динамическим системам, дифференциальным уравнениям, устойчивости движения, теории управления и приложениям к новой технике. Опубликовал более 80 научных работ, среди них 3 монографии: "Введение в теорию устойчивости", "Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством" (совм. с В. А. Табуевой), "Функции Ляпунова". Лауреат Государственной премии СССР, награжден орденом Трудового Красного Знамени.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||