URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Босс В. Лекции по математике: Контрпримеры и парадоксы
Id: 285546
629 р.

Контрпримеры и парадоксы. Лекции по математике. Т.12. Изд. 4

Лекции по математике: Контрпримеры и парадоксы
URSS. 2023. 224 с. ISBN 978-5-9519-3151-1.
Типографская бумага

Аннотация

Рассматриваются контрпримеры и парадоксы, рассеянные по другим томам и территориям. В отличие от специализированных источников подобного сорта здесь проблематика охватывается шире --- фактически во всем диапазоне университетского математического образования. Отбор материала производится в основном по критерию идеологической значимости. Главное внимание уделяется осмыслению результатов.

Изложение отличается краткостью и прозрачностью.

Для... (Подробнее)


Содержание
Предисловие к «Лекциям»7
Предисловие к двенадцатому тому9
Глава 1. Интуиция как источник парадоксов10
1.1. Противоречия «в» или «вне»10
1.2. Существует ли логический дальтонизм13
1.3. Инерция и неизобретательность14
1.4. Иллюзии неразрешимости17
1.5. Движение по накатанной18
1.6. Портрет интуиции19
Глава 2. Числа и множества22
2.1. Актуальная бесконечность22
2.2. Аксиома выбора25
2.3. Парадокс Банаха—Тарского27
2.4. Химеры на окружности28
2.5. Разрезание группы поворотов30
2.6. Дробление орбит и финиш31
2.7. Разрывная линейная функция33
2.8. Конструктивные числа35
2.9. Последовательность Шпеккера36
2.10. Замечания и дополнения38
Глава 3. Мера и категория44
3.1. Меры Жордана, Бореля и Лебега44
3.2. Осечки наивного подхода47
3.3. К определению линии и кривые Пеано51
3.4. Множества Витали и Бернштейна52
3.5. Категории Бэра54
3.6. Измеримые функции56
3.7. Факультативная экзотика58
Глава 4. Классический анализ60
4.1. Непрерывные странности60
4.2. О несбыточности намерений65
4.3. Скрытые «изъяны» гомеоморфизмов67
4.4. Дифференциальные свойства68
4.5. Интегрирование70
4.6. Повторные пределы73
4.7. Замечания и дополнения76
Глава 5. Метрические пространства78
5.1. Конечномерный прецедент78
5.2. Циклические многогранники80
5.3. Метрика и топология83
5.4. О бесконечной размерности87
5.5. Линейные операторы90
5.6. Слабая сходимость92
5.7. Полная непрерывность93
5.8. Спектральные свойства94
5.9. Обусловленность и спектр95
Глава 6. Теория вероятностей98
6.1. Простейшие неполадки98
6.2. Как теория создает заблуждения104
6.3. Подоплека независимости105
6.4. Корреляционные ляпсусы107
6.5. Проблемы в основаниях108
6.6. Сходимость случайных величин110
Глава 7. Алгоритмическая неразрешимость114
7.1. Алгоритмы и вычислимость114
7.2. Перечислимость и разрешимость116
7.3. Диофантовы множества118
7.4. Теоремы Гёделя122
7.5. Неформализуемость истины125
7.6. Неаксиоматизируемость арифметики126
7.7. Универсальные функции и нумерации128
7.8. Теорема Райса129
Глава 8. Дискретная проблематика132
8.1. О разрешенных инструментах132
8.2. Парадокс Сколема134
8.3. Конечная природа счетности135
8.4. Арифметика Пеано136
8.5. Аксиоматика Цермело—Френкеля138
8.6. Гипотеза континуума140
8.7. P против NP141
8.8. Сюрреалистические достижения144
Глава 9. Динамические системы148
9.1. Дуализм описания148
9.2. Устойчивость равновесия150
9.3. Связь локального с глобальным153
9.4. Бифуркации155
9.5. Феномен вибрации158
9.6. Внутренний резонанс159
9.7. Адиабатические процессы160
9.8. Управляемость162
9.9. Аттракторы и фракталы163
9.10. Волны и солитоны166
Глава 10. Игры и теория голосования170
10.1. Сюрпризы смешанных стратегий170
10.2. Антагонистические игры173
10.3. Нэшевские решения174
10.4. Теорема Эрроу176
Глава 11. Топология178
11.1. Деформационные трюки178
11.2. Рогатая сфера Александера180
11.3. Односторонние поверхности181
11.4. О проблеме Пуанкаре183
11.5. Расслоения Хопфа185
Глава 12. Оптимизация186
12.1. Морсовские седла186
12.2. Взаимодействие экстремумов188
12.3. Вариационное исчисление190
Глава 13. Перечень фактов и определений193
13.1. Интуиция как источник парадоксов193
13.2. Числа и множества193
13.3. Мера и категория196
13.4. Классический анализ198
13.5. Метрические пространства201
13.6. Теория вероятностей205
13.7. Алгоритмическая неразрешимость208
13.8. Дискретная проблематика209
13.9. Динамические системы209
13.10. Игры и теория голосования212
13.11. Оптимизация212
Сокращения и обозначения215
Литература217
Предметный указатель218

Предисловие к "Лекциям"
В математике -- что-то не так. Проще сказать, конечно, что все в порядке. Но вы-то чувствуете, что чего-то не хватает. То ли -- в избытке.

Для нормального изучения любого математического предмета необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:

1) живой учитель;

2) обыкновенный подробный учебник;

3) рядовой задачник;

4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".

До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев -- при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника. Акценты изНза перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.

"Лекции" ставят 4Нй пункт своей главной целью. Сопутствующая идея -- экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.

Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств, -- такого сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих "короткие дороги" тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями.

В вопросе "на кого рассчитано", -- есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит "на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.

Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему -- надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но по-другому.


Предисловие к двенадцатому тому
Математика состоит из двух вещей -- теорем и контрпримеров.
Д.Пойа

В этом мире между поворотными моментами все движется по инерции. Так и математика течет в рутине эпизодов, однако время от времени разбивается в фейерверк на крутых виражах. При этом формообразующая роль противоречий и неожиданностей не только управляет движением, но и питает эмоции, без которых суть невидима.

Далее собраны факты и положения, рассеянные по другим томам и территориям. В центре внимания -- осмысление, ибо цель состоит не в том, чтобы удивить фактурой, -- а в том, чтобы уловить, "какова роль, откуда проистекает и на что влияет". Акцент делается на тех примерах, где суть противоречит либо интуитивным представлениям, либо побочным эффектам образования в виде порочных стереотипов мышления.


О загадке бестселлеров В.Босса

Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом еще раз, чтобы разобраться, в чем дело, но скрытых пружин так и не нашел. Конечно, великолепный подбор миниатюр, точный язык, мягкий юмор, располагающая интонация, -- но все это вместе взятое не объясняет результат даже наполовину. Сын моего приятеля -- парню 14 лет -- выучил "Интуицию" почти наизусть. Измучил родителей вопросами, прочел гору дополнительной литературы. Понятно -- особый случай, но показательный! В целом ситуация, безусловно, мягче. Однако отзывы все положительные, а процент восторженных -- удивителен и необъясним.

"Лекции по математике" того же автора -- другое дело. Кое-кто из моих коллег принял их в штыки, поскольку система образования, естественно, противится нововведениям. Лишняя головная боль для преподавателя. Тем не менее, в результате итогового обсуждения -- первые два тома "Лекций" пришли к нам на отзыв -- В.Босс получил высший бал.

Лично мне "Лекции" нравятся даже больше, чем "Интуиция". Ясное и продуманное изложение предмета. Лаконичное до неправдоподобия, но без ущерба для содержания. Вот что по этому поводу пишет сам автор: "Первая часть книги -- сжатый курс матанализа. Чушь более сотни страниц, но "все есть". Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограмм, человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие подробности мешают видеть суть. И освобождение от балласта, как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы, на которые в толстых учебниках не хватает места".

Первый опыт показывает, что студенты -- и сильные, и слабые -- благосклонно принимают "Лекции". В этом еще одна удивительная, хотя и понятная особенность изложения. Короткий и ясный взгляд на предмет, обсуждение мотивов, общая картина, -- нужны всем.

Наконец, я бы не писал в газету, если бы речь шла просто о хороших и даже очень хороших книгах. "Лекции" В.Босса, на мой взгляд, явление неординарное. Дело в том, что информационная лавина сейчас многое меняет. В результате, сложившаяся система образования подходит к критической точке. Конечно, как в доме накапливаются ненужные вещи, так и в образовании со временем укореняется масса атавизмов. Но хуже другое. То, без чего вроде бы нельзя обойтись, перестает помещаться в рамки. Поэтому необходимы новые подходы и принципы. "Лекции" обеспечивают прорыв в этом направлении.

Профессор МФТИ А.П.Афанасьев

Из интервью с В.Боссом

-- Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?

-- Диалектика обучения -- во взаимодействии сторон. Понимание -- умение. Суть -- детали. "Лекции" добиваются понимания.

-- Как?

-- Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему "целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".

-- Объяснениями на пальцах?

-- Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное -- обнажение сути.

-- А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?

-- Таблетку димедрола.


В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но по-другому.

В.Босс

Из отзывов читателей:

Чтобы усвоить предмет, надо освободить его от деталей, обнажить центральные конструкции, понять, как до теорем можно было додуматься. Это тяжелая работа, на которую не всегда хватает сил и времени. В "Лекциях" такая работа проделывается автором.

Популярность книг В.Босса легко объяснима. Дается то, чего недостает: общая картина, мотивация, взаимосвязи. И самое главное -- легкость вхождения в любую тему.

Содержание продумано и хорошо увязано. Громоздкие доказательства ужаты до нескольких строчек. Виртуозное владение языком.


Об авторе
Босс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».

Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.

Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».

За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.

Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.

Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».