Карташов Э.М.✦, Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений Изд. 4, перераб. и сущ. доп.

Содержание

Предисловие

Аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных разделов современных инженерных исследований в машиностроительной, энергетической, атомной промышленности, в технологических процессах химической, строительной, текстильной, пищевой, геологической и других отраслях промышленности. Это представляется совершенно естественным, если учесть, что практически все процессы в той или иной степени связанны с изменением температурного состояния и переносом теплоты. Следует также отметить, что инженерные исследования кинетики целого ряда физических и химико-технологических процессов аналогичны задачам стационарной и нестационарной теплопроводности. К ним можно отнести процессы диффузий, седиментации, вязкого течения жидкостей через пористую среду, электрические колебания, сорбции, сушки, горения и др.

Именно этими обстоятельствами объясняется бурное развитие теории теплообмена в последние десятилетия и то исключительное внимание, которое ей уделяется как в физической теплотехнике, так и в других областях науки, в частности, в дифференциальных уравнениях математической физики в связи с созданием и развитием аналитических методов решения краевых задач уравнения теплопроводности и ему родственных. Даже поверхностное изучение соответствующей научной и учебной литературы показывает, что краевые задачи для уравнений параболического (и эллиптического) типа – предмет практически необозримого числа исследований. С годами их поток не уменьшается, охватывая все новые содержательные математические объекты и все большее число самых разнообразных приложений.

Классические краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики в силу чрезвычайно широкого применения исторически привлекали внимание ученых разных направлений: математиков, механиков, физиков, химиков, теплофизиков и т.д. Создавались новые, более общие и более конкретные физические и соответствующие им математические модели процессов, разрабатывались новые аналитические, графические, численные (с помощью метода конечных разностей) методы, методы аналогий и другие подходы для решения целых классов и задач; необычайно высокого уровня развития достигла качественная теория дифференциальных уравнений в частных производных. Применение численных методов на базе ЭВМ существенно расширило класс математических моделей, допускающих исчерпывающий анализ. На основе точного решения задачи даже громоздкого вида можно было проследить влияние любого параметра на кинетику процесса. Разностные схемы приближенного вычисления решения задачи позволили при построении исходной математической модели процесса не стремиться к сильным упрощениям, необходимым для получения точного аналитического решения. А.Н. Тихонов и А.А. Самарский разработали теорию создания разностных схем для дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных с гладкими и разрывными коэффициентами в виде эффективных алгоритмов, чрезвычайно приспособленных для реализации на вычислительных машинах.

Необычайно высокого уровня достигло развитие качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных [181; 180; 83; 289]: условия разрешимости краевых задач (теоремы существования и единственности решения); непрерывная зависимость решения от начальных данных и параметров (анализ связей между гладкостью решений и гладкостью краевых функций в исходной постановке задачи); принцип максимума для параболических и эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, априорные оценки шаудеровского типа в классах Гельдера для решений начально-краевых задач для параболического уравнения в нецилиндрических областях при минимальных требованиях на исходные данные; локальные свойства решений; асимптотические разложения решений и т.д. Качественная теория дифференциальных уравнений в частных производных позволяла, не решая самих дифференциальных уравнений (с заданными краевыми условиями), получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решения, что имело важное практическое значение для оценки тепловой реакции области, когда соответствующая краевая задача не допускала точного аналитического решения.

В работах Петровского И.Г. было положено начало развития общей теории линейных систем уравнений в частных производных, в частности, их классификация. Соболевым С.Л. было введено новое понятие – обобщенное решение дифференциального уравнения на основе общей концепции обобщенных функций; им были введены и изучены новые функциональные пространства, благодаря чему стали изучаться краевые и начально-краевые задачи для параболических, эллиптических и гиперболических уравнений в обобщенной постановке в пространствах Соболева. Дана достаточно полная теория этих пространств для решения задач для уравнений второго порядка в частных производных, включая теоремы вложения и теоремы о следах, компактность вложения и теорию усреднения, то есть регуляризацию функций из пространств Соболева [211]. Аналитические методы теории нестационарного переноса позволяют получать решение большого числа краевых задач. Результаты таких решений предоставляют возможность наглядного и удобного анализа явлений, позволяют отразить влияние всех факторов, оценить их значимость и выделить главные из них, т.е. провести аналитический анализ решения исходной задачи. Наличие аналитических решений определенного класса краевых задач представляет интерес и для построения разностных схем приближенного вычисления решений достаточно сложных задач, плохо поддающихся исследованию другими методами. Уверенность в том, что решение вычислено правильно, достигается применением той же вычислительной схемы для расчета тех модельных задач, точные аналитические решения которых заранее известны.

Несмотря на наличие обширной литературы по математической физике, студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, специализирующиеся в области теплофизики, так же как и научные работники и инженеры, работающие в этой области, испытывают серьезные затруднения в подборе руководства по аналитическим методам теории теплопроводности. Особенно это относится к задачам нестационарной теплопроводности в областях с границами, движущимися во времени; с переменным во времени относительным коэффициентом теплообмена на границе области; при фазовых превращениях – задачи Стефана (прямые и обратные) и более общие для уравнений параболического типа со свободной границей, а так же задачи в гидромеханике с более сложными (чем классические) граничными условиями; с разнородными граничными условиями на линиях, на плоскости и в пространстве; краевые задачи линейного сопряжения граничных условий (или задача Гильберта). В этих случаях классические аналитические методы математической физики становятся неприменимыми, так как оставаясь в рамках этих методов, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с наличием дополнительных факторов, усложняющих постановку соответствующей краевой задачи. Возникает необходимость в создании специального математического аппарата, который оказывается эффективным при нахождении точного аналитического решения задач только в определенной ситуации. В то же время и для областей канонического типа вызывают определенные трудности многомерные задачи теплопереноса (особенно в цилиндрической и сферической системах координат); тепловые задачи в слоистых телах и с нестационарными граничными условиями при сопряжении сред, обладающих существенно разной теплопроводностью, либо случаи когда граничные условия сопряжения задаются на поверхностях, являющихся координатными в различных координатных системах. Несмотря на хорошо развитую аналитическую теорию нестационарного теплопереноса при решении простейших одномерных задач для бесконечной пластины, бесконечного сплошного и полого цилиндра (радиальный поток тепла), сплошного и полого шара (центральная симметрия), и для этих случаев имеется обширное поле деятельности. Один из важных вопросов – улучшение сходимости рядов Фурье–Бесселя в аналитических решениях краевых задач до абсолютной и равномерной вплоть до границы области, когда в постановке краевой задачи не выполняются условия сопряжения краевых функций (начальной и граничной) в угловых точках фазовой области определения уравнения нестационарной теплопроводности. Такие улучшенные решения представляют собой функциональные конструкции нового вида, отличные от известных (классических) и являются весьма удобными при рассмотрении многих практических вопросов теплофизики: расчеты теплофизических постоянных на основе решения обратных задач; определение времени прогрева детали канонической формы; расчет времени выхода процесса на стационарную фазу и т.д.

Все вопросы, отмеченные выше, рассмотрены в настоящей книге.

Основная задача, которую поставили перед собой авторы, состояла в том, чтобы отобрать, обобщить и представить в удобной для изучения форме тот обобщенный материал, составляющий содержание аналитической теории теплопроводности и разбросанный в оригинальных и обзорных специальных работах по теории теплопроводности (и других разделах прикладной математики и физики), а так же в многочисленных монографиях по математической физике и специальным функциям, в которых изучаются классические аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными, указываются различные искусственные приемы, конкретные подставки, преобразования, приближения и т.п. Все это необходимо было изложить применительно к решению краевых задач уравнения теплопроводности, сохранив при этом основные преимущества метода, его обзорность и возможности качественного анализа.

При этом оказалось, что число литературных ссылок намного превысило тот объем, который возможен в рамках данной книги. Поскольку невозможно перечислить всю литературу по аналитической теории теплопроводности (причем число публикаций в этой области непрерывно растет), авторы ограничились в ссылках только теми работами, которые, по их мнению, представляют для студентов, аспирантов и других заинтересованных читателей первостепенный материал для более детального изучения рассматриваемых проблем. Авторы исходили из опыта преподавания курса «Аналитическая теория теплопроводности», а также участия в совместных исследованиях с различного рода научно-исследовательскими институтами и промышленными предприятиями.

В настоящей книге излагаются основные аналитические методы решения краевых задач стационарной и нестационарной теплопроводности (и родственных явлений), классических и обобщенного типа, апробированные на широком классе тепловых задач: 1) метод разделения переменных (метод Фурье); 2) метод продолжений; 3) метод произведения решений; 4) метод Дюамеля; 5) метод интегральных преобразований (с конечными и бесконечными пределам в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат) с улучшением сходимости рядов типа Фурье в аналитических решениях краевых задач нестационарной теплопроводности в ограниченных областях; 6) операционный метод; 7) метод функции Грина (для нестационарной и стационарной теплопроводности); 8) метод отражения (метод источников). Рассмотрены новые разделы аналитической теории теплопроводности, в частности: 1) методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами (метод тепловых потенциалов, метод функции Грина, метод рядов, метод функциональных преобразований); 2) методы решения краевых задач стефановского типа, с переменным во времени относительным коэффициентом теплообмена, с разнородным граничными условиями на линиях, на плоскости и в пространстве (метод сопряжения, метод дуальных интегральных уравнений, метод Винера–Хопфа, метод тепловых потенциалов).

Книга содержит ряд новых разделов аналитической теории теплопроводности: интегральные преобразования и интегральная форма записи аналитических решений краевых задач для обобщенного уравнения нестационарной теплопроводности через функции Грина одновременно в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат (главы V, VII), что представляет практический интерес для изучения влияния геометрического фактора области на распределение температуры в образце; значительное внимание уделено постановке краевых задач нестационарной теплопроводности гиперболического типа, методу функций Грина и интегральном способе записи аналитических решений (гл. VII); рассмотрен новый подход в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Этот материал наглядно показывает, что еще имеются «математические резервы» для переосмысливания некоторых основ теории, хорошо развитой к настоящему моменту времени (гл.VI); ряд интересных задач для самостоятельных исследований приведен в главе VIII; это прежде всего метод функций Грина для области с границей, перемещающейся по корневой зависимости, здесь могут быть получены интересные результаты; рассмотрены ряд вопросов в прикладной термоупругости, учитывая, что процессы теплопроводности и деформирования связанны друг с другом. К ним относится теория теплового удара вязкоупругих и упругих тел в терминах динамической и квазистатической термоупругости; новые интегральные соотношения в теории теплового удара, представляющие интерес для дальнейших научных исследований студентов, преподавателей и научных сотрудников.

Каждому методу отводится самостоятельная глава или параграф, если предполагается объединить группу методов, предназначенных для решения одного класса задач; по этому принципу построена, например, гл. VIII. В начале каждой главы излагаются теоретические основы метода, и после того, как читатель познакомится с самим методом, он сможет посмотреть применение данного метода при решении конкретных тепловых задач с подробным ходом решения, с основными преобразованиями и расчетами.

В тексте пособия приводятся в качестве самостоятельных упражнений задачи (с ответами), позволяющие читателю проверить усвоение того или иного метода. Наряду с ними формулируются задачи, решение которых может составить содержание курсовой работы, а во многих случаях и студенческого научного исследования,

Предполагается, что читатель знаком с основами дифференциального и интегрального исчисления и решением обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в объеме высших технических учебных заведений, а также имеет представление о тригонометрических рядах и интеграле Фурье. В некоторых случаях более сложный математический аппарат излагается в самом тексте и одновременно даются соответствующие ссылки на учебную математическую литературу.

Авторы учитывали, что читатель может заинтересоваться не всеми методами, рассмотренными в книге, а только теми, которые его интересуют в настоящий момент времени. В соответствии с этим книга построена так, что отдельные ее главы могут изучаться независимо друг от друга. В то же время, исходя из практических соображений, читателю рекомендуется ознакомиться со всем содержанием книги, так как все задачи теории теплопроводности не могут быть успешно решены каким-либо одним из названных методов. Кроме того, знакомя учащегося с возможностями и пределами применимости каждого аналитического метода, мы внушаем ему мысль о том, что для каждой задачи (и даже в пределах одной задачи) имеется свой наиболее рациональный метод решения с точки зрения экономии времени, труда и достижения наибольшей точности.

Основное внимание в книге уделено изложению методов и связи между ними, вопросам функционального конструирования аналитических решений тепловых задач (классических и обобщенного типа), построению рабочих (расчетных) формул записи аналитических решений и методике пользования найденными решениями. Значительно меньше внимания в книге уделяется физическому анализу найденного решения. Читатель, интересующийся вопросами такого рода, может обратиться к известному учебному пособию А. В. Лыкова «Теория теплопроводности», в котором на многочисленных примерах дано детальное изложение методики физического анализа аналитического решения задачи. В данной книге этими вопросами мы не будем заниматься, с тем чтобы сосредоточить основное внимание на аналитических методах решения краевых задач для уравнений теплопроводности.

В кратком заключений авторы предлагают заинтересованным читателям свыше 20 проблем современной аналитической теории теплопроводности твердых тел, каждая из которых может составить научное направление для серьезных исследований.

Настоящая книга продолжает серию предыдущих изданий авторов, в частности: Карташов Э.М. «Аналитические методы в теории теплопроводности тел». М.: Высшая школа. 1979; 1985; 2001, Карташов Э.М., Кудинов В.А. «Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости». М.: URSS, 2012. 650 с., Карташов Э.М., Кудинов В.А. «Математические модели теплопроводности и прикладной термоупругости». Самара. СамГТУ. 2013. 877 с.

В книге сохранены построение материала и его распределение по главам, включая существенно новые разделы, характер изложения с упором на выбор рационального подхода при нахождении аналитического решения той или иной краевой задачи для уравнения теплопроводности, его наглядности и оп¬тимальной формы функционального конструирования, возможности представления одного и того же решения в различных (эквивалентных) функциональных формах.

Книга адресована в первую очередь студентам, обучающимся по направлениям подготовки бакалавров и магистров, а так же специалистам в области техники и технологии, будущим технологам, разработчикам-материаловедам, интересующимся физико-механическими свойствами материалов и их связью со структурой. Книга представляет интерес для аспирантов, преподавателей и научных сотрудников  специалистов в области приложений теории теплопроводности, в физике и механике прочности твердых тел, в механике хрупкого разрушения, физике твердого тела и других направлений науки и техники. Книга может представлять интерес для обучающихся и исследователей в области вычислительной математики, прикладной математики и механики, физики, теплофизики, математической физики, если учесть, что дифференциальные уравнения в частных производных описывают физические, механические, химические, биологические, экономические, социальные и многие другие явления и процессы в природе и обществе и математические модели теплопроводности в этом отношении имеют универсальный характер.

Об авторах

Карташов Эдуард Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор Московского технологического университета (Институт тонких химических технологий). Grand Doctor of Philosophy, Full Professor. Заслуженный деятель науки РФ, почетный работник высшего профессионального образования РФ, почетный работник науки и техники РФ. Академик Международной академии наук высшей школы и других международных академий, семикратный соросовский профессор по математике, дважды победитель конкурса «Выдающиеся ученые России». Лауреат Международной премии по теплофизике имени академика А.В.Лыкова. Награжден орденом «Знак Почета», медалями РФ, Золотой медалью НАН Беларуси, Золотой медалью Всероссийского конкурса учебников и учебных пособий, дважды — за открытия — медалью им. нобелевского лауреата П. Л. Капицы. Автор и соавтор свыше 600 научных публикаций, среди которых 40 книг (монографии, учебники, учебные пособия с грифами Министерства образования и науки), в том числе изданных за рубежом, 14 крупных обзоров, 12 авторских свидетельств. Основал научную школу по математическому моделированию, в рамках которой подготовил 25 кандидатов наук и 9 докторов наук. Научные интересы: физика прочности и механика хрупкого разрушения; физика и механика полимеров; термомеханика; аналитическая теория теплопроводности твердых тел; дифференциальные и интегральные уравнения математической физики.

Кудинов Василий Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). Автор более 200 научных работ, в том числе 56 статей, зарегистрированных в базах данных Scopus, 13 — в Web of Science, 25 книг, напечатанных в 32 изданиях. Область научных интересов: математическое и компьютерное моделирование энергетических процессов и систем, локально-неравновесные процессы переноса тепла, массы, импульса с учетом релаксационных явлений.