| Предисловие к первому изданию | 7
|
| Глава I. Общая теория роста целых функций | 9
|
| § 1. Шкала роста | 10
|
| § 2. Связь между ростом целой функции и скоростью убывания коэффициентов ее степенного разложения | 12
|
| § 3. Разложение целой функции в бесконечное произведение | 15
|
| § 4. Оценка канонического произведения | 18
|
| § 5. Теорема Иенсена | 24
|
| § 6. Связь между максимумом модуля голоморфной функции и максимумом ее вещественной части | 28
|
| § 7. Оценка модуля многочлена снизу | 31
|
| § 8. Оценка модуля голоморфной функции снизу | 33
|
| § 9. Рост произведения двух целых функций | 35
|
| § 10. Теорема Адамара | 38
|
| § 11. Целые функции целого порядка | 41
|
| § 12. Уточненный порядок | 46
|
| § 13. Распространение классических теорем на случай уточненного порядка | 60
|
| § 14. Принцип Фрагмена и Линделёфа | 67
|
| § 15. Индикатор функции | 72
|
| § 16. Основное соотношение для индикатора и аналитические свойства индикатора | 75
|
| § 17. Вспомогательные функции | 85
|
| § 18. Обобщенный индикатор | 96
|
| § 19. Плоские выпуклые множества | 100
|
| § 20. Целые функции конечной степени | 113
|
| Глава II. Целые функции, множество корней которых имеет угловую плотность | 118
|
| § 1. Изложение основных результатов | 118
|
| § 2. Целые функции нецелого порядка с правильным распределением корней (доказательство теоремы 1) | 128
|
| § 3. Целые функции целого порядка с правильным распределением корней (доказательство теоремы 2) | 142
|
| § 4. Построение целой функции с заданным индикатором (доказательство теоремы 3) | 151
|
| § 5. Асимптотическое представление целых функций с правильным распределением корней (доказательство теоремы 4) | 159
|
| § 6. Целые функции с регулярным множеством корней (доказательство теоремы 5) | 163
|
| § 7. Теоремы о равностепенной непрерывности (доказательство теорем 6 и 7) | 167
|
| Глава III. Функции вполне регулярного роста | 182
|
| § 1. Множество лучей вполне регулярного роста | 184
|
| § 2. Обобщенная формула Иенсена. Исследование функции JrF (Ɵ) | 186
|
| § 3. Основная теорема о функциях вполне регулярного роста | 199
|
| § 4. Индикатор произведения двух функций | 207
|
| § 5. Некоторые следствия, из обобщенной формулы Иенсена. Случай тригонометрического индикатора | 209
|
| Глава IV. Единственность, интерполяция и полнота | 218
|
| § 1. Теоремы единственности для целых функций конечного порядка | 221
|
| § 2. Теоремы единственности для функций конечного порядка, голоморфных внутри угла | 227
|
| § 3. Функции, обращающиеся в нуль на множестве, имеющем угловую плотность | 247
|
| § 4. Представление целых функций интерполяционным рядом Лагранжа | 253
|
| § 5. Некоторые приложения интерполяционного ряда Лагранжа | 263
|
| § 6. Полнота системы функций. Связь между полнотой и единственностью | 274
|
| § 7. Теоремы о полноте некоторых систем целых функций | 280
|
| Глава V. Функции класса А | 289
|
| § 1. Формула Карлемана. Критерий принадлежности целой функции конечной степени классу А | 291
|
| § 2. Представление функции, гармонической в полуплоскости | 299
|
| § 3. Представление в верхней полуплоскости функции конечной степени и класса А | 306
|
| § 4. Функции класса А и вполне регулярного роста | 314
|
| § 5. Индикаторная диаграмма целой функции конечной степени и класса А | 325
|
| § 6. Теорема М. Г. Крейна о разложении обратной величины целой функции | 333
|
| Глава VI. Корни экспоненциальных сумм | 341
|
| § 1. Некоторые сведения из теории почти-периодических функций | 342
|
| § 2. Корни почти-периодической функции с ограниченным спектром | 346
|
| § 3. Общая теорема о корнях и о среднем движении для голоморфных почти-периодических функций | 353
|
| § 4. Теорема о среднем движении для почти-периодической функции с полуограниченным спектром | 361
|
| § 5. Функции, приближаемые экспоненциальными многочленами | 371
|
| § 6. Рост функции класса EI при нормирующей области в виде многоугольника | 380
|
| § 7. Рост функции класса EI при произвольной нормирующей области | 388
|
| Глава VII. Теорема Эрмита—Билера для целых функций | 394
|
| § 1. Представление вещественной мероморфной функции, отображающей верхнюю полуплоскость на верхнюю | 397
|
| § 2. Обобщение теоремы Эрмита — Билера на произвольные целые функции | 402
|
| § 3. Представление функции класса НВ | 409
|
| § 4. Теорема Эрмита — Билера для целых функций конечной степени | 412
|
| Глава VIII. Приближение целых функций многочленами с корнями в заданной области | 422
|
| § 1. Функции, приближаемые многочленами, все корни которых лежат внутри угла | 423
|
| § 2. Теоремы о композиции многочленов | 434
|
| § 3. Последовательности множителей | 439
|
| Глава IX. Операторы, сохраняющие неравенства между целыми функциями | 449
|
| § 1. Майоранты и допустимые классы | 452
|
| § 2. Некоторые свойства класса Р* | 454
|
| § 3. Операторы, сохраняющие подчинение (ßT-операторы) | 458
|
| § 4. Класс Р и неравенства на вещественной оси | 466
|
| § 5. Классы функций от нескольких переменных | 471
|
| § 6. Общий вид операторов ß и ß* | 480
|
| § 7. Некоторые экстремальные свойства целых функций | 489
|
| Приложение I. Некоторые дополнительные вопросы общей теории | 494
|
| 1. Невозможность построения точной шкалы роста | 494
|
| 2. Сходящийся и расходящийся типы | 495
|
| 3. Теорема Палея и Винера | 498
|
| 4. Многочлены Левитана | 504
|
| 5. О степенных рядах с коэффициентами, проинтерполи-рованными целой функцией конечной степени | 506
|
| Приложение II. Применение теорем единственности к квазианалитическим классам функций | 510
|
| 1. Функции, определяемые своими значениями на интервале | 510
|
| Приложение III. Полнота и линейная независимость системы функций {еiλkх} на конечном интервале | 533
|
| 1. Теоремы о полноте | 533
|
| 2. Минимальность (усиленная линейная независимость) системы функций {еiλkх} | 542
|
| Приложение IV. Применение теорем единственности к некоторым вопросам теории дифференциальных уравнений | 549
|
| 1. Полнота системы решений дифференциального уравнения второго порядка в областях комплексной плоскости | 549
|
| 2. Об обратной задаче для уравнения Штурма — Лиувилля | 556
|
| Приложение V. Представление положительной целой функции конечной степени в виде квадрата модуля целой функции | 566
|
| Приложение VI. Почти-периодические функции с ограниченным спектром | 575
|
| 1. Выражение вещественной части корня функции класса [Δ] | 575
|
| 2. Характеристика множества корней почти-периодической функции класса [Δ] | 582
|
| 3. Связь между рядами Фурье функций φ(х) и f(x) | 595
|
| Приложение VII. Отдельные теоремы и задачи | 601
|
| Список важнейших понятий и теорем | 609
|
| Цитированная литература | 626
|
Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции и распределением ее корней. К этой проблеме сводятся многие задачи из различных областей, смежных с теорией функций комплексного переменного.
Связь между ростом целой функции и распределением ее корней была исследована в классических работах Бореля, Адамара, Линделёфа и других авторов в конце прошлого и начале настоящего столетий.
Более тонкие характеристики роста и распределения корней целых функций дали возможность установить более точные зависимости. При этом аналогичные зависимости были обнаружены для более широкого класса функций, голоморфных внутри угла.
Особенно точные зависимости получаются для специального класса функций, которые естественно называть функциями вполне регулярного роста. В этой книге теория функций вполне регулярного роста систематически применяется к исследованию различных вопросов теории целых функций.
Затем в главах IV, V и VI даются различные приложения этой теории к изучению вопросов полноты и единственности, интерполирования, распределения корней экспоненциальных сумм, свойств целых функций, ограниченных на вещественной оси, и пр.
В дальнейших главах рассматривается цикл вопросов, связанных с перенесением на целые функции некоторых свойств многочленов. Сюда относятся обобщения теоремы Эрмита — Билера, начатые в работах Н. Г. Чеботарёва и развитые в работах других советских математиков (гл, VII), изложение результатов Лагерра — Полна, Шура об алгебраических свойствах целых функций (гл. VIII) и далеко идущие обобщения неравенств А. А. и В. А. Марковых и С. Н. Бернштейна (гл. IX).
Хотя в этих главах аппарат теории функций вполне регулярного роста и не играет основной роли, однако он облегчает исследования, упрощая некоторые доказательства.
Поскольку я не могу указать руководства, в котором с достаточной полнотой и в нужной для моих построений форме была бы изложена общая теория целых функций, я счел необходимым расширить первоначально задуманное введение, превратив его в довольно обширную главу, посвященную изложению общей теории целых функций.
Глава V читается независимо от главы IV, а VII, VIII и IX — независимо от IV и VI глав. В книге помещены приложения, в которых даны применения в смежных областях результатов и методов, изложенных в Книге.
Круг вопросов, вошедших в эту книгу, естественно определялся интересами автора и направлением его собственных исследований.
В конце книги помещен список важнейших понятий и теорем. Пользуясь этим списком, читатель сможет быстро восстановить в памяти не только определение понятия, но и относящиеся к нему основные факты. Классические понятия и теоремы не внесены в этот список.
Я выражаю благодарность М. Г. Крейну, который побудил меня к написанию этой книги, познакомился с рукописью и сделал ряд существенных замечаний. Я выражаю также благодарность Н. И. Ахиезеру, который знакомился с рукописью по мере ее написания и дал мне ряд советов, которыми я воспользовался. Я весьма благодарен также Н. С. Ландкофу, который внимательно прочитал всю рукопись и сделал много замечаний, способствовавших улучшению книги.
Левин Борис Яковлевич