|
Оглавление
Предисловие
Этот труд является воспроизведением курса, читанного в течение 1-го семестра 1925/26 г. на физико-математическом факультете Парижского университета. В основном я придерживался точки зрения, принятой мною в посвященном этой же теме девятом выпуске сборника Memorial de Mathematiques. Почти всюду я употреблял аналитический аппарат, связанный с координатной системой, в которой задан линейный элемент изучаемого пространства. Это побудило меня дать символику ковариантного диференцирования, которую я постарался ввести так, чтобы возможно больше обнажить существенно геометрическую сторону дела и сохранять все время самую тесную связь с евклидовой геометрией. Несмотря на большие услуги, которые оказало и еще будет оказывать математикам ковариантное диференцирование Риччи и Леви-Чивита, мы будем по возможности избегать слишком формальных выкладок, в которых вакханалия индексов маскирует геометрическую картину, подчас очень простую. Именно эту геометрическую картину я старался сделать возможно более очевидной. Я уделил достаточно много внимания интересной проблеме изучения пространств, которые, будучи локально (localement) евклидовыми, отличаются от нашего обычного пространства своей топологической структурой; это-то, что немецкие математики называют пространственными формами Клиффорда-Клейна. Перспективы, которые открывают основаниям элементарной геометрии и некоторым теориям анализа решение этой проблемы, показались мне достаточно веским поводом для того, чтобы посвятить ей ряд страниц. Отчасти в силу тех же соображений я обратил внимание на важную роль, которую играют в геометрии аксиома плоскости и аксиома свободной подвижности, теснейшим образом связанные одна с другой. Это меня привело, вполне естественно, к общему изучению неевклидовых геометрий, в частности для случая двух измерений. То обстоятельство, что такое изучение может оказать существенные услуги различным отделам математики, не нуждается, впрочем, в обосновании. Две первые ноты, которыми заканчивается труд, возвращаются снова к некоторым понятиям, изученным уже в основном тексте работы; но здесь делаются гипотезы, накладывающие значительно меньшие требования на аналитический характер коэфициентов основной диференциальной формы. Я думаю, что в этом отношении понятие линейной (не поверхностной) римановой кривизны еще не рассматривалось; она найдет, безусловно, приложения в теории относительности. Третья нота, посвященная пространствам с переменной отрицательной кривизной, примыкает к классическому мемуару Адамара о геодезических линиях на поверхностях, главные кривизны которых имеют всюду противоположные знаки. Библиографический указатель в конце книги ограничивается наиболее важными работами и мемуарами, связанными с изучаемым предметом. Мне пришлось оставить в стороне большое количество важных проблем. Они составят, быть может, содержание следующего тома, где будет изложен метод подвижного прямоугольного репера и его многочисленные приложения. Э. Картан
Об авторе
 Картан Эли Выдающийся французский математик, член Парижской академии наук (1931). В 1891 г. окончил Высшую нормальную школу. Был учеником Ж. Г. Дарбу и Софуса Ли. С 1912 г. профессор Парижского университета. Область научных интересов Э. Картана — теория непрерывных групп, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия. Он также автор ряда важных работ в области математической физики. В 1937 г. Казанское физико-математическое общество присудило Э. Картану премию им. Н. И. Лобачевского за исследования по геометрии и теории групп.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||