|
Оглавление
Предисловие
Учебное пособие предназначено для студентов втузов, обучающихся по техническим специальностям, а также для самостоятельного изучения этого важнейшего раздела высшей математики. Основная цель пособия — дать первоначальные сведения о приемах и методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а также показать их практические применения. Пособие состоит из восьми глав, разбитых на параграфы, и приложения, в котором приведены варианты расчетно-графических работ. Содержание глав дано в оглавлении. В начале каждого параграфа, как правило, приводится краткое изложение соответствующего раздела теории. Теория излагается конспективно, без доказательств, но достаточно аккуратно, на уровне математической строгости достаточной для втуза. В частности, формулировки некоторых теорем и утверждений часто приводятся в несколько упрощенном виде по сравнению с учебниками и пособиями для университетов (полными курсами), в которых можно найти все необходимые доказательства. При этом даны формулировки некоторых принципиально важных теорем, которые как правило отсутствуют в литературе для втузов, и разъясняется их смысл. При этом, по возможности, разъясняется геометрический и физический смысл основных понятий. Далее идет разбор основных типичных задач по каждой теме, причем в первых главах решения приводятся весьма подробно, в последующих уже более кратко. Учитывая втузовскую направленность пособия, в него не включены задачи повышенной трудности и представляющие чисто математический интерес. Все доказательства изложены в полных курсах, в списке литературы они обозначены «*». Первые четыре главы содержат минимально необходимые для каждого будущего инженера разделы курса. Главы пятая и шестая, необходимые для некоторых специальностей (например, для механиков и проектировщиков), могут для других специальностей быть опущены. Абсолютно необходимой является седьмая глава, в которой приведены примеры применения дифференциальных уравнений к некоторым простым практическим задачам, поскольку основная, конечная цель изучения этого раздела математики для инженера состоит в том, чтобы уметь применять их к решению реальных практических задач. В восьмой главе приведены коротко некоторые дополнительные приемы и методы решения уравнений и систем, в частности даны основные сведения по применению степенных рядов для нахождения приближенных решений. Рамки данного пособия не позволили коснуться таких важных вопросов как применение операционного исчисления, элементов асимптотических и численных методов. В приложении даны варианты расчетно-графических работ. Предлагаемое на суд читателей пособие имеет некоторые (разумеется, не принципиальные) отличия от аналогичных работ. Основные из них следующие: 1. Многолетний опыт автора в области преподавания высшей математики, и в частности, курса дифференциальных уравнений для будущих инженеров, показывает, что по каждой теме курса необходимо показать решения как минимум 7–8 примеров (особенно в настоящее время, когда уровень математической подготовки студентов резко снизился, по мнению автора, во многом благодаря введению ЕГЭ). Поэтому в данном пособии количество примеров по каждой теме увеличено по сравнении с аналогичными работами. 2. В первой, основной главе, больше чем обычно рассматриваются особые решения и метод замены переменной. 3. Во второй главе подробно и аккуратно рассмотрены уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. 4. Два важнейших раздела курса «Теория устойчивости» и «Краевые задачи» рассмотрены более подробно, чем во многих книгах, естественно на соответствующем уровне математической строгости, при этом, разумеется, рассматриваются только самые основные вопросы, поскольку подробное изложение обоих этих разделов потребует отдельной книги, например [5]. 5. В 8-й главе излагаются некоторые вопросы, которые обычно рассматриваются только в полных курсах, в частности метод замены переменных для уравнений второго порядка, однородные и квазиоднородные уравнения высших порядков, а также некоторые другие. 6. Решение прикладных задач является важнейшей частью курса, в какой то мере итогом его изучения. Вместе с тем, в настоящее время есть только одна книга [11], целиком посвященная приложениям, которая давно стала библиографической редкостью. В обычных учебниках и пособиях прикладным задачам, как правило, уделяется весьма мало внимания, кроме того, немногочисленные примеры обычно разбросаны по всему тексту. Поэтому в данное пособие содержит большую по объему главу 7, в которой собраны прикладные задачи механики, геометрии, физики и техники (приложения к экономике, биологии, медицине и другим областям науки не рассматриваются, поскольку данное пособие предназначено для студентов инженерно-технических специальностей). 7. Расчетно-графические работы несколько больше по объему, чем обычно, поскольку в них включены задачи по всем разделам курса. В зависимости от специальности и математической подготовки студентов, объем РГР можно сокращать. При работе над данной книгой автор опирался на свой многолетний опыт преподавания в одном из ведущих втузов Москвы — Московском автомеханическом институте (МАМИ), в настоящее время — Московский политехнический университет. Автор пользуется приятной возможностью выразить благодарность своим товарищам и коллегам по работе — профессорам Когану Е. А. (МАМИ) и Крылову О. В. (МАМИ) за дружескую критику и ценные советы, и доценту МАИ Пустовойтову Н. Н., который со свойственной ему тщательностью вычитал весь текст и исправил значительное количество опечаток и мелких ошибок. Автор просит всех читателей своей работы сообщать о замеченных опечатках, ошибках и других (увы, неизбежных, несмотря на тщательное и неоднократное вычитывание текста) недостатках.
Об авторе
 Теуш Борис Леонардович Кандидат технических наук. С 1995 г. работал доцентом кафедры высшей математики Московского государственного машиностроительного университета «МАМИ» (ныне — Московский политехнический университет).
Область научных интересов — граничные интегральные уравнения изгиба и колебаний пластин. Автор значительного числа методических пособий для студентов и абитуриентов МАМИ. Участвовал в работе приемной комиссии института по математике. Имел большой опыт репетиторской работы по подготовке к поступлению в различные вузы Москвы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||