| ОГЛАВЛЕНИЕ | 3
|
| Предисловие к первому изданию | 7
|
| Глава первая. О бесконечных множествах | 13
|
| § 1. Понятие множества | 13
|
| § 2. Подмножества. Операции надмножествами | 14
|
| § 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества | 18
|
| § 4. Теоремы о счётных множествах | 25
|
| § 5. Понятие об упорядоченном множестве | 31
|
| § 6. О сравнении мощностей | 36
|
| Глава вторая. Действительные числа | 44
|
| § 1. Дедекиндовское определение иррационального числа | 44
|
| § 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани | 48
|
| § 3. Действия над действительными числами | 54
|
| § 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность континуума | 60
|
| Глава третья Упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа | 67
|
| § 1. Упорядоченные множества | 67
|
| § 2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств | 73
|
| § 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах | 79
|
| § 4. Счётные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса). Понятие конфинальности. Аксиома произвольного выбора | 88
|
| § 5. Теорема Цермело | 99
|
| § 6. Теоремы о кардинальных числах | 107
|
| § 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем начальном числе, которому конфинален данный порядковый тип | 118
|
| Глава четвёртая. Множества на прямой и на плоскости | 123
|
| § 1. Простейшие определения и примеры | 123
|
| § 2. Дальнейшие предложения теории точечных множеств. Открытые и замкнутые множества на прямой | 128
|
| § 3. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Канторово совершенное множество | 133
|
| § 4. Общие теоремы о совершенных множествах на прямой. Точки конденсации | 143
|
| § 5. Ограниченные множества; теоремы Больцано-Вейерштрасса, Кантора и Бореля-Лебега; теорема Коши | 150
|
| § 6. Замечания о множествах, расположенных на плоскости | 159
|
| § 7. Множества Fσ и Gδ; множества первой и второй категории | 163
|
| Глава пятая. Действительные функции одного действительного переменного | 170
|
| § 1. Непрерывность и пределы функций. Элементарные свойства непрерывных функций | 170
|
| § 2. Точки разрыва первого и второго рода. Точки поправимого разрыва | 184
|
| § 3. Монотонные функции | 189
|
| § 4. Функция с ограниченным изменением | 193
|
| § 5. Последовательности функций; равномерная и неравномерная сходимость | 201
|
| § 6. Вопрос об аналитическом изображении функций; теорема Вейерщтрасса; понятие о классификации Бэра | 206
|
| § 7. Производная | 215
|
| § 8. Правая и левая производные; производная принимает все промежуточные значения; верхняя и нижняя производные | 219
|
| § 9. Пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке | 223
|
| Глава шестая. Точечные множества в метрических пространствах | 226
|
| §1. Определение метрического пространства | 226
|
| § 2. Евклидовы пространства; замечание о метрическом произведении; гильбертово пространство | 228
|
| § 3. Элементарные предложения теории точечных множеств | 233
|
| § 4. Замкнутые множества метрического пространства | 237
|
| § 5. Открытые множества метрического пространства R. Внутренние точки множества относительно пространства R | 239
|
| § 6. Борелевские множества | 244
|
| § 7. Замкнутые и открытые в данном множестве Е подмножества множества Е | 249
|
| § 8. Множества, всюду плотные и нигде не плотные в данном пространстве | 250
|
| § 9. Связность | 256
|
| § 10. Некоторые замечания об открытых множествах евклидовых пространств | 264
|
| § 11. Пространства со счётной базой | 267
|
| § 12. Непрерывные отображения | 278
|
| § 13. Теорема о продолжении непрерывных функций, заданных на замкнутых множествах | 284
|
| Прибавление к главе шестой: Топологические пространства | 287
|
| Глава седьмая. Компактные и полные пространства | 312
|
| § 1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе | 312
|
| § 2. Непрерывные отображения компактов | 320
|
| § 3. Связность в компактных пространствах | 330
|
| § 4. Компакты как непрерывные образы канторова совершенного множества | 340
|
| § 5. Определение и примеры полных метрических пространств | 351
|
| § 6. Пополнение метрического пространства | 357
|
| § 7. Простейшие свойства полных метрических пространств | 362
|
| § 8. Компактность и полнота. Теорема Урысона о погружении | 364
|
| § 9. Локально компактные метрические пространства | 369
|
| § 10. Множества, являющиеся одновременно множествами Fσ и Gδ в компактных метрических пространствах | 374
|
| Прибавления к главе седьмой | 380
|
| Первое прибавление: Бикомпактные пространства | 380
|
| Второе прибавление: О квазиравномерной сходимости | 406
|
Предисловие к первому изданию
Огромное влияние теории множеств на развитие математики последнего полустолетия является в настоящее время общепризнанным фактом; поэтому естественно, что идеи теории множеств находят достаточно большое место в преподавании математики как в университетах, так и в высших педагогических учебных заведениях. Современный курс анализа сам по себе уже испытал значительное влияние теории множеств, и влияние это за последние годы очень усилилось). Наряду с этим, в большинстве университетов осуществляются специальные курсы теории множеств и теории функций; такой курс входит и в программы высших педагогических институтов. Однако, согласно господствующей в настоящее время традиции, курсы теории множеств и теории функций строятся почти исключительно в направлении собственно теории функций действительного переменного в том духе, как эта теория сложилась в школе теории функций Московского университета. Эта традиция в своё время сыграла большую роль в развитии нашей математической культуры, и, конечно, совершенно естественно, что в наших университетах читаются и будут читаться курсы, посвященные специально теории функций действительного переменного или отдельным её главам. Однако едва ли в настоящее время можно видеть в теории функций действительного переменного основную область применения идей и методов теории множеств, а следовательно, и основной источник ознакомления с этими идеями. Ведь область влияния теории множеств стала гораздо более широкой, и самый центр тяжести этого влияния значительно сместился за последние десятилетия в сторону от, так сказать, «классической» теории функций действительного переменного. В самом анализе уже давно невозможно пользоваться одними множествами действительных и комплексных чисел; различные типы функциональных (и вообще, так называемых «абстрактных») пространств (как в топологическом, так и в метрическом смысле слова) давно заняли прочное место в современном построении математического анализа, а также таких дисциплин, как теория динамических систем, теория вероятностей, не говоря уже о собственно функциональном анализе, значение которого в общей системе математики нашего времени непрерывно возрастает. Излагать, например, теорию интегрирования по Лебегу лишь для функций, определённых на действительной прямой, было бы в настоящее время анахронизмом.
Ещё большим анахронизмом является изложение в курсе теории точечных множеств и функций, например, элементарных свойств непрерывных функций лишь для функций, определённых па числовой прямой и её отрезках; в результате приходится доказывать эти свойства сначала для функций одного действительного переменного, потом для функций двух действительных переменных, потом для функций одного комплексного переменного, потом для функционалов, определённых на компактных семействах функций, и т. д., вместо того, чтобы раз навсегда доказать их для функций, определённых в компактных метрических пространствах. Вообще, понятие метрического (а в значительной степени и топологического) пространства настолько приобрело в настоящее время право гражданства в математике, что стало невозможным излагать элементарные вопросы теории точечных множеств и функций, ограничиваясь лишь случаем числовой прямой или даже n-мерного евклидова пространства. Подтверждением этому может служить хотя бы недавно вышедшая книга В. В. Немыцкого и В. В. Степанова по качественной теории дифференциальных уравнений: занимаясь проблемами, по существу аналитическими, авторы этой книги оказались вынужденными посвятить целую главу множествам, лежащим в метрических пространствах, т. е. предмету, который читатель имеет право найти в любом курсе теории множеств и функций.
Изложенные соображения предопределили достаточную общность принятых нами предпосылок как в первой части, посвященной общим вопросам теории множеств и функций, так и во второй, излагающей теорию меры и интегрирования.
Однако общность предпосылок педагогически лишь тогда целесообразна, когда читатель подготовлен к ней, т. е. понимает её естественность. Для достижения этой цели нами в первой части избран путь постепенного расширения предпосылок. Таким образом, читатель в четвёртой и пятой главах знакомится с традиционным изложением элементов теории точечных множеств на прямой (и отчасти на плоскости), а также с элементарными предложениями теории действительных функций действительного переменного. Лишь в шестой и седьмой главах разбирается общий случай метрических, а в Прибавлениях к этим главам — и топологических пространств. Некоторая «концентричность» изложения, получившаяся в результате такого размещения материала, представляет, как нам кажется, ещё одно преимущество: более элементарные главы, а именно, первая, вторая, четвёртая и пятая, образуют сами по себе связное целое и могут служить курсом теории множеств и теории функций действительного переменного в высших педагогических учебных заведениях. В остальных главах можно найти богатый материал для всякого рода факультативных занятий студентов высших педагогических учебных заведений. При пользовании книгой следует далее иметь в виду, что весь материал второй главы, а также части четвёртой и пятой глав содержится в обычных курсах анализа.
Первая часть книги написана П. С. Александровым.
Вторая часть, написанная А. Н. Колмогоровым, посвящена более специальному кругу вопросов: теории меры и интеграла Лебега с применениями к системам ортогональных функций и теории интегральных уравнений с симметрическим ядром. Теория меры и интеграл Лебега возникли по преимуществу из интересов чисто логического порядка: стремления выяснить естественные границы обобщения основных понятий классического анализа. Созданные по этому поводу концепции оказались, однако, соединяющими большую общность с большой простотой: по существу общая теория интеграла Лебега, охватывающая классические теории интегрирования функций одного и многих переменных, как в обычном смысле, так и в смысле Стильтьеса, значительно проще этой совокупности старых теорий, а может быть даже и каждой из них в отдельности. Общий интеграл Лебега (на множестве элементов любой природы и по любой абстрактной мере) сделался чрезвычайно мощным орудием дальнейших исследований в самых различных областях математики. Именно в таком общем и приспособленном к различным применениям виде и излагается во второй части нашего курса теория меры и теория интеграла Лебега. Таким образом, вторая часть ориентирована по преимуществу на интересы университетских студентов-математиков, для которых мера и интеграл Лебега явятся необходимым орудием при изучении теории вероятностей функционального анализа, теории динамических систем и т. д. Постепенно становится ясным, что ориентированный в эту же сторону курс теории меры и интеграла Лебега будет делаться всё более необходимым и специалистам по теоретической физике и по механике. Эта тенденция уже осуществляется в ленинградском университете в курсах математического анализа для механиков В. И. Смирнова и в специальных дополнительных курсах для физиков-теоретиков в Московском университете.
При составлении этой книги мы пользовались большой помощью наших сотрудников Л. Д. Кудрявцева и Ю. М. Смирнова (по первой части), А. А. Петрова (по второй), которым мы обязаны многими полезными замечаниями и улучшениями и которым выражаем самую сердечную благодарность. Мы очень благодарны также редактору Д. А. Райкову, который сделал ряд предложений, касающихся композиции первой части; эти предложения были приняты во внимание и содействовали, как нам кажется, значительному улучшению книги.
Болшево, Комаровка 8 мая 1948 г.
П. Александров А. Колмогоров
Александров Павел Сергеевич
Выдающийся ученый-математик, создатель отечественной топологической школы, получившей мировое признание. Лауреат Сталинской премии первой степени (1942). Герой Социалистического Труда (1969). Родился в 1896 г. в Богородске (ныне Ногинск). Окончил Московский государственный университет в 1917 г. Доцент МГУ с 1921 г., профессор с 1929 г. В том же году был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1953 г. — академиком. В 1932–1964 гг. был президентом Московского математического общества.
П. С. Александров ввел ряд фундаментальных понятий и конструкций топологии, создал теорию существенных отображений и гомологическую теорию размерности, основал и развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Он также получил много значительных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Среди его учеников — такие известные математики, как академики АН СССР Л. С. Понтрягин и А. Н. Тихонов, академик АН Грузинской ССР Г. С. Чогошвили.
