Обложка Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций
Id: 283624
1208 руб.

Введение в общую теорию множеств и функций. Изд. стереотип.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классическое учебное пособие, написанное выдающимся советским математиком, академиком АН СССР П.С.Александровым и посвященное общим вопросам теории множеств и функций. Более элементарные главы (первая, вторая, четвертая и пятая) образуют сами по себе связное целое и могут служить курсом теории множеств и теории функций действительного переменного в высших педагогических учебных заведениях. В остальных главах... (Подробнее)


Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ3
Предисловие к первому изданию7
Глава первая. О бесконечных множествах13
§ 1. Понятие множества13
§ 2. Подмножества. Операции надмножествами14
§ 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества18
§ 4. Теоремы о счётных множествах25
§ 5. Понятие об упорядоченном множестве31
§ 6. О сравнении мощностей36
Глава вторая. Действительные числа44
§ 1. Дедекиндовское определение иррационального числа44
§ 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани48
§ 3. Действия над действительными числами54
§ 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность континуума60
Глава третья Упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа67
§ 1. Упорядоченные множества67
§ 2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств73
§ 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах79
§ 4. Счётные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса). Понятие конфинальности. Аксиома произвольного выбора88
§ 5. Теорема Цермело99
§ 6. Теоремы о кардинальных числах107
§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем начальном числе, которому конфинален данный порядковый тип118
Глава четвёртая. Множества на прямой и на плоскости123
§ 1. Простейшие определения и примеры123
§ 2. Дальнейшие предложения теории точечных множеств. Открытые и замкнутые множества на прямой128
§ 3. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Канторово совершенное множество133
§ 4. Общие теоремы о совершенных множествах на прямой. Точки конденсации143
§ 5. Ограниченные множества; теоремы Больцано-Вейерштрасса, Кантора и Бореля-Лебега; теорема Коши150
§ 6. Замечания о множествах, расположенных на плоскости159
§ 7. Множества Fσ и Gδ; множества первой и второй категории163
Глава пятая. Действительные функции одного действительного переменного170
§ 1. Непрерывность и пределы функций. Элементарные свойства непрерывных функций170
§ 2. Точки разрыва первого и второго рода. Точки поправимого разрыва184
§ 3. Монотонные функции189
§ 4. Функция с ограниченным изменением193
§ 5. Последовательности функций; равномерная и неравномерная сходимость201
§ 6. Вопрос об аналитическом изображении функций; теорема Вейерщтрасса; понятие о классификации Бэра206
§ 7. Производная215
§ 8. Правая и левая производные; производная принимает все промежуточные значения; верхняя и нижняя производные219
§ 9. Пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке223
Глава шестая. Точечные множества в метрических пространствах226
§1. Определение метрического пространства226
§ 2. Евклидовы пространства; замечание о метрическом произведении; гильбертово пространство228
§ 3. Элементарные предложения теории точечных множеств233
§ 4. Замкнутые множества метрического пространства237
§ 5. Открытые множества метрического пространства R. Внутренние точки множества относительно пространства R239
§ 6. Борелевские множества244
§ 7. Замкнутые и открытые в данном множестве Е подмножества множества Е249
§ 8. Множества, всюду плотные и нигде не плотные в данном пространстве250
§ 9. Связность256
§ 10. Некоторые замечания об открытых множествах евклидовых пространств264
§ 11. Пространства со счётной базой267
§ 12. Непрерывные отображения278
§ 13. Теорема о продолжении непрерывных функций, заданных на замкнутых множествах284
Прибавление к главе шестой: Топологические пространства287
Глава седьмая. Компактные и полные пространства312
§ 1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе312
§ 2. Непрерывные отображения компактов320
§ 3. Связность в компактных пространствах330
§ 4. Компакты как непрерывные образы канторова совершенного множества340
§ 5. Определение и примеры полных метрических пространств351
§ 6. Пополнение метрического пространства357
§ 7. Простейшие свойства полных метрических пространств362
§ 8. Компактность и полнота. Теорема Урысона о погружении364
§ 9. Локально компактные метрические пространства369
§ 10. Множества, являющиеся одновременно множествами Fσ и Gδ в компактных метрических пространствах374
Прибавления к главе седьмой380
Первое прибавление: Бикомпактные пространства380
Второе прибавление: О квазиравномерной сходимости406

Предисловие к первому изданию

Огромное влияние теории множеств на развитие математики последнего полустолетия является в настоящее время общепризнанным фактом; поэтому естественно, что идеи теории множеств находят достаточно большое место в преподавании математики как в университетах, так и в высших педагогических учебных заведениях. Современный курс анализа сам по себе уже испытал значительное влияние теории множеств, и влияние это за последние годы очень усилилось). Наряду с этим, в большинстве университетов осуществляются специальные курсы теории множеств и теории функций; такой курс входит и в программы высших педагогических институтов. Однако, согласно господствующей в настоящее время традиции, курсы теории множеств и теории функций строятся почти исключительно в направлении собственно теории функций действительного переменного в том духе, как эта теория сложилась в школе теории функций Московского университета. Эта традиция в своё время сыграла большую роль в развитии нашей математической культуры, и, конечно, совершенно естественно, что в наших университетах читаются и будут читаться курсы, посвященные специально теории функций действительного переменного или отдельным её главам. Однако едва ли в настоящее время можно видеть в теории функций действительного переменного основную область применения идей и методов теории множеств, а следовательно, и основной источник ознакомления с этими идеями. Ведь область влияния теории множеств стала гораздо более широкой, и самый центр тяжести этого влияния значительно сместился за последние десятилетия в сторону от, так сказать, «классической» теории функций действительного переменного. В самом анализе уже давно невозможно пользоваться одними множествами действительных и комплексных чисел; различные типы функциональных (и вообще, так называемых «абстрактных») пространств (как в топологическом, так и в метрическом смысле слова) давно заняли прочное место в современном построении математического анализа, а также таких дисциплин, как теория динамических систем, теория вероятностей, не говоря уже о собственно функциональном анализе, значение которого в общей системе математики нашего времени непрерывно возрастает. Излагать, например, теорию интегрирования по Лебегу лишь для функций, определённых на действительной прямой, было бы в настоящее время анахронизмом.

Ещё большим анахронизмом является изложение в курсе теории точечных множеств и функций, например, элементарных свойств непрерывных функций лишь для функций, определённых па числовой прямой и её отрезках; в результате приходится доказывать эти свойства сначала для функций одного действительного переменного, потом для функций двух действительных переменных, потом для функций одного комплексного переменного, потом для функционалов, определённых на компактных семействах функций, и т. д., вместо того, чтобы раз навсегда доказать их для функций, определённых в компактных метрических пространствах. Вообще, понятие метрического (а в значительной степени и топологического) пространства настолько приобрело в настоящее время право гражданства в математике, что стало невозможным излагать элементарные вопросы теории точечных множеств и функций, ограничиваясь лишь случаем числовой прямой или даже n-мерного евклидова пространства. Подтверждением этому может служить хотя бы недавно вышедшая книга В. В. Немыцкого и В. В. Степанова по качественной теории дифференциальных уравнений: занимаясь проблемами, по существу аналитическими, авторы этой книги оказались вынужденными посвятить целую главу множествам, лежащим в метрических пространствах, т. е. предмету, который читатель имеет право найти в любом курсе теории множеств и функций.

Изложенные соображения предопределили достаточную общность принятых нами предпосылок как в первой части, посвященной общим вопросам теории множеств и функций, так и во второй, излагающей теорию меры и интегрирования.

Однако общность предпосылок педагогически лишь тогда целесообразна, когда читатель подготовлен к ней, т. е. понимает её естественность. Для достижения этой цели нами в первой части избран путь постепенного расширения предпосылок. Таким образом, читатель в четвёртой и пятой главах знакомится с традиционным изложением элементов теории точечных множеств на прямой (и отчасти на плоскости), а также с элементарными предложениями теории действительных функций действительного переменного. Лишь в шестой и седьмой главах разбирается общий случай метрических, а в Прибавлениях к этим главам — и топологических пространств. Некоторая «концентричность» изложения, получившаяся в результате такого размещения материала, представляет, как нам кажется, ещё одно преимущество: более элементарные главы, а именно, первая, вторая, четвёртая и пятая, образуют сами по себе связное целое и могут служить курсом теории множеств и теории функций действительного переменного в высших педагогических учебных заведениях. В остальных главах можно найти богатый материал для всякого рода факультативных занятий студентов высших педагогических учебных заведений. При пользовании книгой следует далее иметь в виду, что весь материал второй главы, а также части четвёртой и пятой глав содержится в обычных курсах анализа.

Первая часть книги написана П. С. Александровым.

Вторая часть, написанная А. Н. Колмогоровым, посвящена более специальному кругу вопросов: теории меры и интеграла Лебега с применениями к системам ортогональных функций и теории интегральных уравнений с симметрическим ядром. Теория меры и интеграл Лебега возникли по преимуществу из интересов чисто логического порядка: стремления выяснить естественные границы обобщения основных понятий классического анализа. Созданные по этому поводу концепции оказались, однако, соединяющими большую общность с большой простотой: по существу общая теория интеграла Лебега, охватывающая классические теории интегрирования функций одного и многих переменных, как в обычном смысле, так и в смысле Стильтьеса, значительно проще этой совокупности старых теорий, а может быть даже и каждой из них в отдельности. Общий интеграл Лебега (на множестве элементов любой природы и по любой абстрактной мере) сделался чрезвычайно мощным орудием дальнейших исследований в самых различных областях математики. Именно в таком общем и приспособленном к различным применениям виде и излагается во второй части нашего курса теория меры и теория интеграла Лебега. Таким образом, вторая часть ориентирована по преимуществу на интересы университетских студентов-математиков, для которых мера и интеграл Лебега явятся необходимым орудием при изучении теории вероятностей функционального анализа, теории динамических систем и т. д. Постепенно становится ясным, что ориентированный в эту же сторону курс теории меры и интеграла Лебега будет делаться всё более необходимым и специалистам по теоретической физике и по механике. Эта тенденция уже осуществляется в ленинградском университете в курсах математического анализа для механиков В. И. Смирнова и в специальных дополнительных курсах для физиков-теоретиков в Московском университете.

При составлении этой книги мы пользовались большой помощью наших сотрудников Л. Д. Кудрявцева и Ю. М. Смирнова (по первой части), А. А. Петрова (по второй), которым мы обязаны многими полезными замечаниями и улучшениями и которым выражаем самую сердечную благодарность. Мы очень благодарны также редактору Д. А. Райкову, который сделал ряд предложений, касающихся композиции первой части; эти предложения были приняты во внимание и содействовали, как нам кажется, значительному улучшению книги.

Болшево, Комаровка 8 мая 1948 г.

П. Александров А. Колмогоров


Об авторе
Александров Павел Сергеевич
Выдающийся ученый-математик, создатель отечественной топологической школы, получившей мировое признание. Лауреат Сталинской премии первой степени (1942). Герой Социалистического Труда (1969). Родился в 1896 г. в Богородске (ныне Ногинск). Окончил Московский государственный университет в 1917 г. Доцент МГУ с 1921 г., профессор с 1929 г. В том же году был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1953 г. — академиком. В 1932–1964 гг. был президентом Московского математического общества.

П. С. Александров ввел ряд фундаментальных понятий и конструкций топологии, создал теорию существенных отображений и гомологическую теорию размерности, основал и развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Он также получил много значительных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Среди его учеников — такие известные математики, как академики АН СССР Л. С. Понтрягин и А. Н. Тихонов, академик АН Грузинской ССР Г. С. Чогошвили.


Страницы (пролистать)