Предисловие | 7
|
Глава 1. Элементарная теория | 8
|
1.1. Основная модель | 8
|
1.2. Азы комбинаторики | 11
|
1.3. Комбинации событий | 14
|
1.4. Задачи с подвохом | 17
|
1.5. Условная вероятность и независимость | 19
|
1.6. Независимость испытаний | 21
|
1.7. Формула Байеса и проверка гипотез | 21
|
1.8. Ещё раз об условной вероятности | 24
|
1.9. Примеры и задачи | 25
|
1.10. Выбор в условиях неопределённости | 29
|
1.11. Авантюра века | 32
|
1.12. Стохастические предрассудки | 34
|
1.13. Проклятие моделирования | 37
|
1.14. Аксиоматика Колмогорова | 39
|
Глава 2. С.в. и континуальные пространства | 42
|
2.1. Случайные величины | 42
|
2.2. Континуальные Omega | 45
|
2.3. Плотности и функции распределения | 47
|
2.4. Математическое ожидание | 50
|
2.5. Независимость случайных величин | 51
|
2.6. Комбинирование случайных величин | 52
|
2.7. Дисперсия, ковариация, корреляция | 54
|
2.8. Неравенства | 56
|
2.9. Метод наименьших квадратов | 60
|
Глава 3. Основные функции распределения | 62
|
3.1. Стандартный ассортимент | 62
|
3.2. Функции случайных величин | 67
|
3.3. Условные плотности | 69
|
3.4. Характеристические функции | 73
|
3.5. Производящие функции | 76
|
3.6. Приложение к ветвящемуся процессу | 78
|
3.7. Нормальный закон распределения | 80
|
3.8. Пуассоновские потоки | 83
|
3.9. Статистики размещений | 86
|
3.10. Распределение простых чисел | 87
|
3.11. Задачи и дополнения | 89
|
Глава 4. Законы больших чисел | 93
|
4.1. Слабые варианты | 93
|
4.2. Усиленный закон больших чисел | 95
|
4.3. Несколько сюрпризов | 98
|
4.4. Нелинейный закон больших чисел | 99
|
4.5. Дисперсия и сопряжённая плотность | 101
|
4.6. Доказательство ключевой леммы | 103
|
4.7. Оптимизация в больших размерностях | 105
|
4.8. Несколько замечаний | 107
|
Глава 5. Сходимость | 109
|
5.1. Сходимость п.н. и по вероятности | 109
|
5.2. Сходимость с.к. и по распределению | 110
|
5.3. Взаимоотношения | 112
|
5.4. Комментарии | 113
|
5.5. Закон "нуля или единицы" | 115
|
5.6. Сходимость рядов | 116
|
5.7. Предельные распределения | 117
|
5.8. Задачи и дополнения | 118
|
Глава 6. Бросание монеты и случайное блуждание | 122
|
6.1. Схема Бернулли | 122
|
6.2. Закон арксинуса | 124
|
6.3. Задача о баллотировке | 126
|
6.4. Задача о разорении | 126
|
6.5. Различие при блуждании в R1, R2 и R3 | 128
|
6.6. Процессы восстановления | 130
|
Глава 7. Философия случайности | 132
|
7.1. Где корни случайности | 132
|
7.2. Псевдослучайное поведение | 135
|
7.3. К обоснованию статистической физики | 136
|
Глава 8. Метод Монте-Карло и вероятностные алгоритмы | 140
|
8.1. Идея метода | 140
|
8.2. Ассортимент приложений | 143
|
8.3. Случайность против неопределённости | 148
|
8.4. Распознавание образов | 150
|
8.5. Стохастическая аппроксимация | 153
|
8.6. Генераторы "случайных" чисел | 154
|
Глава 9. Марковские процессы | 157
|
9.1. Марковские модели | 157
|
9.2. Линейная модель | 159
|
9.3. Процессы с непрерывным временем | 162
|
9.4. О практических задачах | 165
|
Глава 10. Случайные процессы | 167
|
10.1. Случайные функции и их свойства | 167
|
10.2. Эргодичность | 170
|
10.3. Случайные процессы | 173
|
10.4. Эргодичность и перемешивание | 174
|
10.5. Спектральная плотность | 177
|
10.6. Белый шум | 179
|
10.7. Броуновское движение | 180
|
10.8. Дифференцирование и интегрирование | 182
|
10.9. Преобразования случайных процессов | 184
|
10.10. Уравнение Винера-Хопфа | 185
|
10.11. Фильтр Калмана | 186
|
10.12. Помехи в системах регулирования | 188
|
Глава 11. Теория информации | 191
|
11.1. Энтропия как неопределённость | 191
|
11.2. Текстовые модели | 194
|
11.3. Простейшие свойства энтропии | 196
|
11.4. Информация, опыты, каналы связи | 197
|
11.5. Частотный взгляд на сообщения | 199
|
11.6. Элементы кодирования | 201
|
11.7. Проблема нетривиальных кодов | 204
|
11.8. Помехи в канале связи | 206
|
11.9. Укрупнение состояний | 210
|
11.10. Энтропия непрерывных сигналов | 212
|
11.11. Передача непрерывных сигналов | 213
|
Глава 12. Статистика | 217
|
12.1. Тактика и стратегия измерений | 218
|
12.2. Понятия и терминология | 220
|
12.3. Оценки матожидания и дисперсии | 222
|
12.4. Теория и практика | 223
|
12.5. Вокруг основных задач | 225
|
Глава 13. Задачи и факты | 231
|
13.1. Элементарная теория | 232
|
13.2. Случайные величины | 239
|
13.3. Законы больших чисел | 244
|
13.4. На платформе сходимости | 246
|
13.5. В кладовых схемы Бернулли | 249
|
13.6. Случайные функции и процессы | 250
|
13.7. Информация и энтропия | 253
|
13.8. Статистика | 254
|
Глава 14. Справки и дополнения | 256
|
14.1. Дельта-функция | 256
|
14.2. Мера Лебега | 259
|
14.3. Измеримые функции | 263
|
14.4. Интеграл Лебега | 266
|
Сокращения и обозначения | 270
|
Литература | 272
|
Предметный указатель | 274
|
Всякая научная дисциплина имеет две составляющих, идеологическую и
аппаратно-техническую. Идеология – это суть, дух, смысл. Её так просто не
ухватишь. Она всюду, волшебна и неуловима. Учить, конечно, проще
аппаратно-техническую часть, материальную. Но там всё безжизненно, мертво.
Движется, но не плодоносит. Истинных причин не вскроет, хотя наговорит, пыль
в глаза пустит – и в кусты.
Короче, учить в первую очередь надо идеологическую основу, без которой
инструменты работают вслепую. Данный учебник при написании исходил из этого
принципа. Что получилось – судить читателю.
Опойцев Валерий Иванович Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.
Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».
За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.
Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.
Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».