URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Шикин Е.В. Линейные пространства и отображения Обложка Шикин Е.В. Линейные пространства и отображения
Id: 283356
942 р.

Линейные пространства и отображения Изд. 2, стереотип.

2022. 312 с.
Типографская бумага

Аннотация

Настоящая книга представляет собой учебное пособие, в основе которого лежит курс лекций, прочитанный автором на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. В книге излагаются основные понятия и факты теории конечномерных пространств, действующих на них линейных отображений и билинейных форм. Рассмотрены свойства линейных отображений в евклидовых, унитарных и нормированных пространствах, элементы тензорной алгебры. Значительное... (Подробнее)


Оглавление
top
Оглавление5
Предисловие6
Глава I. Линейные пространства8
§ 1. Структура линейных пространств: внешний закон композиции, определение линейного пространства, простейшие свойства, произведение линейных пространств8
§ 2. Линейные подпространства: определение линейного подпространства, простейшие свойства, линейная оболочка11
§ 3. Линейная зависимость: линейная зависимость системы векторов, базис, размерность, линейное пространство цветов, линейные пространства атомных и молекулярных составляющих, эквивалентные системы векторов14
§ 4. Изоморфизм линейных пространств25
§ 5. Сумма линейных подпространств: размерность суммы и пересечения, прямая сумма линейных подпространств, дополнительное подпространство, фактор-пространство27
§ 6. Линейные аффинные многообразия: параллельные линейные аффинные многообразия, аффинная оболочка, аффинная зависимость32
§ 7. Замена базиса: формулы перехода, ориентация вещественного пространства36
Глава II. Евклидовы и унитарные пространства39
§ 1. Евклидовы пространства: определение и простейшие свойства, длина и угол, ортогональные векторы, матрица Грама, изометрия евклидовых пространств, ортогональное дополнение, расстояние между множествами39
§ 2. Унитарные пространства50
Глава III. Линейные отображения54
§ 1. Основные понятия: определение линейного отображения, образ линейного отображения, ядро линейного отображения, теорема о ранге и дефекте линейного отображения54
§ 2. Операции над линейными отображениями: линейное пространство линейных отображений, кольцо линейных операторов, ранг произведения линейных отображений57
§ 3. Линейные отображения и матрицы: матрица линейного отображения, размерность пространства линейных отображений, преобразование матрицы линейного отображения при переходе к новым базисам, эквивалентные матрицы, каноническая пара базисов, матрица линейного оператора62
§ 4. Инвариантные подпространства: определение и примеры, собственные векторы и собственные значения, характеристический многочлен, способ построения собственного вектора, собственное подпространство, инвариантные подпространства минимальной размерности в комплексном и вещественном пространствах71
§ 5. Канонический вид матрицы линейного оператора: многочлен от линейного оператора, теорема Гамильтона - Кэли, расщепление линейного оператора, треугольный вид матрицы линейного оператора в комплексном пространстве, нильпотентный оператор, жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора79
Глава IV. Билинейные и квадратичные формы92
§ 1. Билинейные формы92
§ 2. Квадратичные формы95
§ 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов: метод Лагранжа, метод Якоби96
§ 4. Квадратичные формы в вещественном пространстве: знакоопределенные квадратичные формы, закон инерции100
§ 5. Полуторалинейные и эрмитовы формы: полуторалинейные формы, эрмитовы формы106
Глава V. Линейные отображения унитарных пространств111
§ 1. Операция сопряжения: сопряженное отображение, свойства операции сопряжения, матрицы взаимно сопряженных отображений, ядра и образы взаимно сопряженных отображений, нормальный оператор, унитарный оператор, эрмитов оператор, положительный оператор, корень из оператора, сингулярная пара базисов111
§ 2. Разложения линейного оператора: эрмитово разложение полярное разложение125
§ 3. Линейные отображения в евклидовом пространстве: операция сопряжения в евклидовом пространстве, симметричный оператор, ортогональное преобразование, простейший вид матрицы ортогонального преобразования, разложения линейного оператора в евклидовом пространстве127
§ 4. Квадратичные формы в евклидовом пространстве: билинейная форма в евклидовом пространстве, приведение квадратичной формы к главным осям135
§ 5. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом точечном пространстве: точечные пространства, приведенные уравнения гиперповерхностей второго порядка, классификация гиперповерхностей второго порядка в точечном евклидовом пространстве137
Глава VI. Нормированные пространства144
§ 1. Норма вектора: определение и примеры, шар и сфера в конечномерном нормированном пространстве, эквивалентные нормы144
§ 2. Норма линейного отображения: согласованные и подчиненные нормы, спектральная норма, евклидова норма матрицы, экстремальные свойства собственных значений самосопряженного оператора148
§ 3. Линейные операторные уравнения в унитарном пространстве: условия разрешимости линейных уравнений, нормальное решение, псевдорешение, нормальное псевдорешение, квазирешение154
§ 4. Метод регуляризации отыскания нормального решения: понятие корректно и некорректно поставленных задач, сглаживающий функционал, теорема Тихонова160
Глава VII. Выпуклые множества166
§ 1. Определение и простейшие свойства166
§ 2. Операции над выпуклыми множествами168
§ 3. Выпуклая оболочка множества171
§ 4. Три теоремы о выпуклых множествах: теорема Радона, теорема Каратеодори, теорема Хелли174
§ 5. Выпуклые многогранники180
§ 6. Выпуклые конусы: определение и примеры, коническая оболочка множества, многогранный конус184
§ 7. Выпуклые множества в точечных пространствах190
§ 8. Симметризация192
Глава VIII. Элементы тензорной алгебры197
§ 1. Понятие тензора: примеры, определение тензора, алгебраические операции над тензорами, примеры тензоров (физические и механические)197
§ 2. Метрический тензор: метрическая структура пространства, операции опускания и поднятия индексов, псевдоевклидова метрика, преобразования Лоренца208
Приложение. Опорный материал: матрицы, определители, линейные системы, принцип индукции, эквивалентность, отображения, группы, кольца, поля, многочлены, основная теорема алгебры213
Добавление. Выпуклые множества: топологическая структура, дифференциальные свойства, неравенства242
Введение242
A. Элементы топологии: топология точечного евклидова пространства, топологическое пространство, подпространство, непрерывное отображение, топологическое произведение, связность, линейная связность, компактность243
Б. Выпуклые множества: простейшие выпуклые множества, замыкание и внутренность выпуклого множества, звездность выпуклого множества, звездность и теорема Хелли, выпуклая оболочка компактного множества, выпуклое тело, размерность выпуклого множества, опорные плоскости, выпуклый конус и сферическая выпуклость, два способа задания выпуклых тел260
B. Топологическая структура: формулировка задачи I, предельный конус, классификация замкнутых и открытых выпуклых множеств (гомеоморфизм границы, ограниченные выпуклые множества, неограниченные выпуклые множества), ответ к задаче I276
Г. Дифференциальные свойства: формулировка задачи II, выпуклая гиперповерхность, локальное задание, свойства выпуклой гиперповерхности, выпуклые кривые, множество меры нуль, гладкость, ответ к задаче II283
Д. Некоторые классические неравенства: радиус Юнга, объем выпуклого тела, неравенство Брунна-Минковского, неравенство Бибербаха, экстремальные эллипсоиды293
Литература307
Предметный указатель308
Именной указатель310

Об авторе
top
photoШикин Евгений Викторович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (1982–2001), заведующий кафедрой математических методов в управлении факультета государственного управления МГУ (2002–2016). Заслуженный профессор МГУ. Лауреат премии Президента Российской федерации, лауреат многих научных премий. Был удостоен государственных наград. Член Американского математического общества и других иностранных академий наук. Область научных интересов: геометрия, геометрическое моделирование, игры поиска, компьютерная графика. Подготовил 12 кандидатов наук; в числе его учеников — три доктора наук. Автор более 210 опубликованных работ, в числе которых монографии и учебники.