Оглавление | 5
|
Предисловие | 6
|
Глава I. Линейные пространства | 8
|
§ 1. Структура линейных пространств: внешний закон композиции, определение линейного пространства, простейшие свойства, произведение линейных пространств | 8
|
§ 2. Линейные подпространства: определение линейного подпространства, простейшие свойства, линейная оболочка | 11
|
§ 3. Линейная зависимость: линейная зависимость системы векторов, базис, размерность, линейное пространство цветов, линейные пространства атомных и молекулярных составляющих, эквивалентные системы векторов | 14
|
§ 4. Изоморфизм линейных пространств | 25
|
§ 5. Сумма линейных подпространств: размерность суммы и пересечения, прямая сумма линейных подпространств, дополнительное подпространство, фактор-пространство | 27
|
§ 6. Линейные аффинные многообразия: параллельные линейные аффинные многообразия, аффинная оболочка, аффинная зависимость | 32
|
§ 7. Замена базиса: формулы перехода, ориентация вещественного пространства | 36
|
Глава II. Евклидовы и унитарные пространства | 39
|
§ 1. Евклидовы пространства: определение и простейшие свойства, длина и угол, ортогональные векторы, матрица Грама, изометрия евклидовых пространств, ортогональное дополнение, расстояние между множествами | 39
|
§ 2. Унитарные пространства | 50
|
Глава III. Линейные отображения | 54
|
§ 1. Основные понятия: определение линейного отображения, образ линейного отображения, ядро линейного отображения, теорема о ранге и дефекте линейного отображения | 54
|
§ 2. Операции над линейными отображениями: линейное пространство линейных отображений, кольцо линейных операторов, ранг произведения линейных отображений | 57
|
§ 3. Линейные отображения и матрицы: матрица линейного отображения, размерность пространства линейных отображений, преобразование матрицы линейного отображения при переходе к новым базисам, эквивалентные матрицы, каноническая пара базисов, матрица линейного оператора | 62
|
§ 4. Инвариантные подпространства: определение и примеры, собственные векторы и собственные значения, характеристический многочлен, способ построения собственного вектора, собственное подпространство, инвариантные подпространства минимальной размерности в комплексном и вещественном пространствах | 71
|
§ 5. Канонический вид матрицы линейного оператора: многочлен от линейного оператора, теорема Гамильтона - Кэли, расщепление линейного оператора, треугольный вид матрицы линейного оператора в комплексном пространстве, нильпотентный оператор, жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора | 79
|
Глава IV. Билинейные и квадратичные формы | 92
|
§ 1. Билинейные формы | 92
|
§ 2. Квадратичные формы | 95
|
§ 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов: метод Лагранжа, метод Якоби | 96
|
§ 4. Квадратичные формы в вещественном пространстве: знакоопределенные квадратичные формы, закон инерции | 100
|
§ 5. Полуторалинейные и эрмитовы формы: полуторалинейные формы, эрмитовы формы | 106
|
Глава V. Линейные отображения унитарных пространств | 111
|
§ 1. Операция сопряжения: сопряженное отображение, свойства операции сопряжения, матрицы взаимно сопряженных отображений, ядра и образы взаимно сопряженных отображений, нормальный оператор, унитарный оператор, эрмитов оператор, положительный оператор, корень из оператора, сингулярная пара базисов | 111
|
§ 2. Разложения линейного оператора: эрмитово разложение полярное разложение | 125
|
§ 3. Линейные отображения в евклидовом пространстве: операция сопряжения в евклидовом пространстве, симметричный оператор, ортогональное преобразование, простейший вид матрицы ортогонального преобразования, разложения линейного оператора в евклидовом пространстве | 127
|
§ 4. Квадратичные формы в евклидовом пространстве: билинейная форма в евклидовом пространстве, приведение квадратичной формы к главным осям | 135
|
§ 5. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом точечном пространстве: точечные пространства, приведенные уравнения гиперповерхностей второго порядка, классификация гиперповерхностей второго порядка в точечном евклидовом пространстве | 137
|
Глава VI. Нормированные пространства | 144
|
§ 1. Норма вектора: определение и примеры, шар и сфера в конечномерном нормированном пространстве, эквивалентные нормы | 144
|
§ 2. Норма линейного отображения: согласованные и подчиненные нормы, спектральная норма, евклидова норма матрицы, экстремальные свойства собственных значений самосопряженного оператора | 148
|
§ 3. Линейные операторные уравнения в унитарном пространстве: условия разрешимости линейных уравнений, нормальное решение, псевдорешение, нормальное псевдорешение, квазирешение | 154
|
§ 4. Метод регуляризации отыскания нормального решения: понятие корректно и некорректно поставленных задач, сглаживающий функционал, теорема Тихонова | 160
|
Глава VII. Выпуклые множества | 166
|
§ 1. Определение и простейшие свойства | 166
|
§ 2. Операции над выпуклыми множествами | 168
|
§ 3. Выпуклая оболочка множества | 171
|
§ 4. Три теоремы о выпуклых множествах: теорема Радона, теорема Каратеодори, теорема Хелли | 174
|
§ 5. Выпуклые многогранники | 180
|
§ 6. Выпуклые конусы: определение и примеры, коническая оболочка множества, многогранный конус | 184
|
§ 7. Выпуклые множества в точечных пространствах | 190
|
§ 8. Симметризация | 192
|
Глава VIII. Элементы тензорной алгебры | 197
|
§ 1. Понятие тензора: примеры, определение тензора, алгебраические операции над тензорами, примеры тензоров (физические и механические) | 197
|
§ 2. Метрический тензор: метрическая структура пространства, операции опускания и поднятия индексов, псевдоевклидова метрика, преобразования Лоренца | 208
|
Приложение. Опорный материал: матрицы, определители, линейные системы, принцип индукции, эквивалентность, отображения, группы, кольца, поля, многочлены, основная теорема алгебры | 213
|
Добавление. Выпуклые множества: топологическая структура, дифференциальные свойства, неравенства | 242
|
Введение | 242
|
A. Элементы топологии: топология точечного евклидова пространства, топологическое пространство, подпространство, непрерывное отображение, топологическое произведение, связность, линейная связность, компактность | 243
|
Б. Выпуклые множества: простейшие выпуклые множества, замыкание и внутренность выпуклого множества, звездность выпуклого множества, звездность и теорема Хелли, выпуклая оболочка компактного множества, выпуклое тело, размерность выпуклого множества, опорные плоскости, выпуклый конус и сферическая выпуклость, два способа задания выпуклых тел | 260
|
B. Топологическая структура: формулировка задачи I, предельный конус, классификация замкнутых и открытых выпуклых множеств (гомеоморфизм границы, ограниченные выпуклые множества, неограниченные выпуклые множества), ответ к задаче I | 276
|
Г. Дифференциальные свойства: формулировка задачи II, выпуклая гиперповерхность, локальное задание, свойства выпуклой гиперповерхности, выпуклые кривые, множество меры нуль, гладкость, ответ к задаче II | 283
|
Д. Некоторые классические неравенства: радиус Юнга, объем выпуклого тела, неравенство Брунна-Минковского, неравенство Бибербаха, экстремальные эллипсоиды | 293
|
Литература | 307
|
Предметный указатель | 308
|
Именной указатель | 310
|