URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Постников М.М. Введение в теорию Морса: Замкнутое изложение с необходимыми главами из топологии и геометрии
Id: 283053
1399 р.

Введение в теорию Морса:
Замкнутое изложение с необходимыми главами из топологии и геометрии. Изд. 2

URSS. 2022. 568 с. ISBN 978-5-9710-9570-5.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В настоящей книге содержится подробное изложение основ вариационного исчисления в направлении, заложенном работами Морса. Первые три главы посвящены топологии: излагаются необходимые сведения (в частности, именно в этой книге впервые в учебной литературе были изложены определение и основные свойства клеточных разбиений). Следующие главы посвящены гладким многообразиям, тензорному исчислению, римановой геометрии и т.д. В девятой,... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к первому изданию6
Глава 1. Необходимые сведения из общей топологии9
1. Топологические пространства9
2. Компактные и некоторые другие аналогичные им пространства19
3. Непрерывные функции37
4. Метрические пространства46
5. Непрерывные отображения54
6. Топологии отождествления, склеенные пространства, относительные гомеоморфизмы69
Глава 2. Гомотопические эквивалентности77
1. Гомотопии и распространения непрерывных отображений77
2. Гомотопические эквивалентности и деформационные ретракты88
3. Гомотопический тип склеенных пространств96
4. Гомотопические группы и слабые гомотопические эквивалентности102
5. Гомотопические пределы119
Глава 3. Клеточные разбиения136
1. Клеточные предразбиения136
2. Клеточные разбиения146
3. Теорема о паракомпактности152
4. Непрерывные отображения клеточных разбиений162
5. Доказательство теоремы о клеточных отображениях173
6. Теорема Уайтхеда. Квазиполиэдры184
Глава 4. Гладкие многообразия. I187
1. Гладкие продмногообразия188
2. Теорема об обратных функциях192
3. Гладкие многообразия198
4. E-многообразия203
5. Векторные поля212
6. Векторы220
7. Линейные дифференциальные формы231
8. Тензоры и тензорные поля237
9. Операции над тензорами и тензорными полями245
10. Римановы пространства249
Глава 5. Гладкие многообразия. II254
1. Кривые и поверхности254
2. Продолжение тензорных полей262
3. Однопараметрические группы диффеоморфизмов и интегральные кривые265
4. Подмногообразия274
5. Подмногообразия евклидовых пространств286
6. Вложение компактных многообразий в евклидово пространство. Теорема Сарда295
7. Вложение сепарабельных многообразий в евклидово пространство302
Глава 6. Критические точки гладких функций312
1. Критические точки и невырожденные критические многообразия312
2. Функции, все критические точки которых невырождены324
3. Теорема Морса330
4. Гладкие многообразия и клеточные разбиения340
5. Теорема Ботта347
Дополнение. Неравенства Морса353
Глава 7. Элементы римановой геометрии358
1. Аффинные связности358
2. Ковариантное дифференцирование векторных полей363
3. Параллельный перенос вдоль кривой369
4. Ковариантное дифференцирование тензорных полей373
5. Геодезические. Нормальные окрестности378
6. Дифференциальные формы связности388
7. Римановы связности393
8. Риманов тензор кривизны и формы связности397
9. Длины кривых и внутренняя метрика402
10. Нормальные выпуклые окрестности409
11. Полные римановы пространства413
12. Условия полноты римановых пространств417
Глава 8. Вариационная теория геодезических421
1. Геодезические как линии стационарной длины421
2.Вторая вариация длины дуги геодезической427
3. Якобиевы вариации и поля Якоби430
4. Сопряженные точки435
5. Кусочно гладкие и разрывные векторные поля443
6. Минимальные векторные поля447
7. Существование минимальных полей450
8. Ломаные поля Якоби454
9. Теорема об изоморфизме459
10. Квадратичная форма Морса462
11. Вычисление индекса точки с помощью формы Морса466
12. Вычисление индекса интервала с помощью формы Морса469
13. Квадратичная форма Ботта. Окончательная формулировка теорем об индексах476
Дополнение. Фокальные точки485
1. Вторая квадратичная форма подмногообразия485
2. Фокальные точки489
3. Вычисление индекса γN495
4. Доказательство неравенства (4)502
Глава 9. Исследование пространств путей. Приложения507
1. Пространства путей507
2. Пространства кусочно гладких кривых517
3. Теорема редукции528
4. Гомотопический тип пространств Ω(p, q)539
5. Приложения к топологии. Теорема Фрейденталя543
6. Приложения к геометрии римановых пространств. Теоремы Морса и Картана549
Исторический и литературный комментарий552
Литература559
Предметный указатель562

Предисловие к первому изданию
top

При изучении теории Морса основную трудность для начинающих составляет «синтетический» характер этой теории, т. е. тот факт, что она находится на стыке по меньшей мере трех областей математики (топологии, анализа и геометрии). Цель данной книги и состоит в том, чтобы помочь начинающему преодолеть эту трудность. Собственно теории Морса посвящена лишь меньшая часть книги: большая ее часть занята изложением необходимых сведений из топологии и геометрии.

Первые три главы посвящены топологии.

Поскольку общая топология изложена во многих русских учебниках, первая глава (общетопологические вопросы) написана довольно сжато и с особым упором на факты, обычно в учебниках не затрагиваемые. Некоторые из рассмотренных в этой главе вопросов могут быть интересны и специалисту.

Вторая глава целиком посвящена гомотопическим эквивалентностям топологических пространств. Насколько автору известно, этот материал (хорошо знакомый специалистам) воедино еще никем собран не был.

В третьей главе рассматриваются клеточные разбиения. Представляется удивительным, что, несмотря на ту основную роль, которую клеточные разбиения играют в современной топологии, связного изложения их теории до сих пор нигде опубликовано не было.

Следующие две главы посвящены теории гладких многообразий. Хотя на русском языке имеется ряд изложений этой теории, ни одно из них не подходит для наших целей. Мы строим теорию гладких многообразий, следуя Шевалле, в бескоординатной форме; локальные координаты используются лишь тогда, когда это представляется уместным. С большим сожалением автор вынужден был ограничиться лишь конечномерными многообразиями — охват и бесконечномерных многообразий нарушил бы элементарный характер изложения. Это тем более достойно сожаления, что (как стало ясно в последнее время) именно бесконечномерные многообразия представляют естественную область построения теории Морса.

К теории гладких многообразий относится, по существу, и шестая глава, посвященная теории критических точек гладких функций. Новшеством здесь является систематическое рассмотрение не только невырожденных критических точек, но и невырожденных критических многообразий. В Дополнении к этой главе доказываются известные неравенства Морса, связывающие числа критических точек данного индекса с числами Бетти многообразия. Это — единственное место книги (если не считать непосредственно связанной с ним первой половины п. 6 гл. 9), где мы выходим за рамки изложенного в первых трех главах топологического материала. Впрочем, все необходимые свойства чисел Бетти в этом Дополнении четко сформулированы.

Седьмая глава посвящена геометрии пространств аффинной связности и римановой геометрии. Изложение здесь ведется в основном в «классическом» духе, но с соблюдением всех современных требований строгости и с глобальной точки зрения. Мы касаемся здесь лишь самых основ римановой геометрии, так что многое, обычно приводимое в курсах геометрии, остается за рамками нашего изложения. С другой стороны, мы вынуждены были включить сюда некоторые существенные факты римановой геометрии (теорему Уайтхеда о существовании окрестностей, нормальных относительно любой своей точки, и теорему Хопфа — Ринова о полных римановых пространствах), которые в стандартных курсах римановой геометрии обычно не рассматриваются. Хотя все изложение римановой геометрии мы ведем в духе идей Картана, все же в связи с ограниченностью поставленных задач нам удалось обойтись без внешнего дифференцирования (правда, в одном месте, — а именно при выводе основных уравнений Картана, — понятие внешнего дифференциала, хотя и в неявном виде, все же, по существу, появляется).

В восьмой главе излагается теория так называемой «индексной формы». Изложение здесь мы ведем, придерживаясь в основном первоначальной конструкции Морса, и лишь в последнем пункте переходим к более современной трактовке, связанной с заменой функционала длины функционалом действия. Это, конечно, несколько удлиняет и усложняет построения, но зато при этом удается сохранить как историческую перспективу, так и геометрическую наглядность. В Дополнении к этой главе аналогичным образом рассматривается задача «с подвижным концом». Здесь первоначальные рассуждения Морса удалось значительно упростить.

В девятой, заключительной, главе доказывается основная теорема теории Морса, описывающая строение пространства кривых, соединяющих две данные точки полного риманова пространства. По существу, эта теорема представляет собой довольно простую переделку основных результатов предыдущей главы, имеющую своей целью придать этим результатам более инвариантный вид. В заключение этой главы мы даем простейшие приложения теории Морса к топологии и геометрии римановых пространств.

Более подробное представление о содержании книги можно получить из оглавления и кратких резюме, предпосланных каждой главе.

Формально от читателя не требуется никаких знаний, выходящих за пределы программы первых курсов математических отделений университетов и педвузов, хотя, конечно, предполагается определенный уровень математической культуры и умения работать с книгой.

При работе над рукописью данной книги автор позволил себе широко использовать свою предыдущую книгу (см. в списке литературы Постников [3]). В частности, главы седьмая и восьмая почти дословно воспроизводят соответствующие главы этой книги.

Список литературы в конце книги снабжен «Историческим и литературным комментарием», имеющим целью помочь читателю с большей легкостью ориентироваться в литературе. Ни на какую полноту список литературы не претендует.

Добавление при корректуре. Рукопись этой книги была закончена в 1965 г., но ее печатание задержалось. В настоящее время автор изложил бы многое совсем по-иному, с более современных позиций. Но это отложило бы опубликование книги на неопределенное время, и потому было решено оставить ее в первоначальном виде.

Автор, 1971 г.


Об авторе
top
photoПостников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.