|
Оглавление
Предисловие к первому изданию
При изучении теории Морса основную трудность для начинающих составляет «синтетический» характер этой теории, т. е. тот факт, что она находится на стыке по меньшей мере трех областей математики (топологии, анализа и геометрии). Цель данной книги и состоит в том, чтобы помочь начинающему преодолеть эту трудность. Собственно теории Морса посвящена лишь меньшая часть книги: большая ее часть занята изложением необходимых сведений из топологии и геометрии. Первые три главы посвящены топологии. Поскольку общая топология изложена во многих русских учебниках, первая глава (общетопологические вопросы) написана довольно сжато и с особым упором на факты, обычно в учебниках не затрагиваемые. Некоторые из рассмотренных в этой главе вопросов могут быть интересны и специалисту. Вторая глава целиком посвящена гомотопическим эквивалентностям топологических пространств. Насколько автору известно, этот материал (хорошо знакомый специалистам) воедино еще никем собран не был. В третьей главе рассматриваются клеточные разбиения. Представляется удивительным, что, несмотря на ту основную роль, которую клеточные разбиения играют в современной топологии, связного изложения их теории до сих пор нигде опубликовано не было. Следующие две главы посвящены теории гладких многообразий. Хотя на русском языке имеется ряд изложений этой теории, ни одно из них не подходит для наших целей. Мы строим теорию гладких многообразий, следуя Шевалле, в бескоординатной форме; локальные координаты используются лишь тогда, когда это представляется уместным. С большим сожалением автор вынужден был ограничиться лишь конечномерными многообразиями — охват и бесконечномерных многообразий нарушил бы элементарный характер изложения. Это тем более достойно сожаления, что (как стало ясно в последнее время) именно бесконечномерные многообразия представляют естественную область построения теории Морса. К теории гладких многообразий относится, по существу, и шестая глава, посвященная теории критических точек гладких функций. Новшеством здесь является систематическое рассмотрение не только невырожденных критических точек, но и невырожденных критических многообразий. В Дополнении к этой главе доказываются известные неравенства Морса, связывающие числа критических точек данного индекса с числами Бетти многообразия. Это — единственное место книги (если не считать непосредственно связанной с ним первой половины п. 6 гл. 9), где мы выходим за рамки изложенного в первых трех главах топологического материала. Впрочем, все необходимые свойства чисел Бетти в этом Дополнении четко сформулированы. Седьмая глава посвящена геометрии пространств аффинной связности и римановой геометрии. Изложение здесь ведется в основном в «классическом» духе, но с соблюдением всех современных требований строгости и с глобальной точки зрения. Мы касаемся здесь лишь самых основ римановой геометрии, так что многое, обычно приводимое в курсах геометрии, остается за рамками нашего изложения. С другой стороны, мы вынуждены были включить сюда некоторые существенные факты римановой геометрии (теорему Уайтхеда о существовании окрестностей, нормальных относительно любой своей точки, и теорему Хопфа — Ринова о полных римановых пространствах), которые в стандартных курсах римановой геометрии обычно не рассматриваются. Хотя все изложение римановой геометрии мы ведем в духе идей Картана, все же в связи с ограниченностью поставленных задач нам удалось обойтись без внешнего дифференцирования (правда, в одном месте, — а именно при выводе основных уравнений Картана, — понятие внешнего дифференциала, хотя и в неявном виде, все же, по существу, появляется). В восьмой главе излагается теория так называемой «индексной формы». Изложение здесь мы ведем, придерживаясь в основном первоначальной конструкции Морса, и лишь в последнем пункте переходим к более современной трактовке, связанной с заменой функционала длины функционалом действия. Это, конечно, несколько удлиняет и усложняет построения, но зато при этом удается сохранить как историческую перспективу, так и геометрическую наглядность. В Дополнении к этой главе аналогичным образом рассматривается задача «с подвижным концом». Здесь первоначальные рассуждения Морса удалось значительно упростить. В девятой, заключительной, главе доказывается основная теорема теории Морса, описывающая строение пространства кривых, соединяющих две данные точки полного риманова пространства. По существу, эта теорема представляет собой довольно простую переделку основных результатов предыдущей главы, имеющую своей целью придать этим результатам более инвариантный вид. В заключение этой главы мы даем простейшие приложения теории Морса к топологии и геометрии римановых пространств. Более подробное представление о содержании книги можно получить из оглавления и кратких резюме, предпосланных каждой главе. Формально от читателя не требуется никаких знаний, выходящих за пределы программы первых курсов математических отделений университетов и педвузов, хотя, конечно, предполагается определенный уровень математической культуры и умения работать с книгой. При работе над рукописью данной книги автор позволил себе широко использовать свою предыдущую книгу (см. в списке литературы Постников [3]). В частности, главы седьмая и восьмая почти дословно воспроизводят соответствующие главы этой книги. Список литературы в конце книги снабжен «Историческим и литературным комментарием», имеющим целью помочь читателю с большей легкостью ориентироваться в литературе. Ни на какую полноту список литературы не претендует. Добавление при корректуре. Рукопись этой книги была закончена в 1965 г., но ее печатание задержалось. В настоящее время автор изложил бы многое совсем по-иному, с более современных позиций. Но это отложило бы опубликование книги на неопределенное время, и потому было решено оставить ее в первоначальном виде. Автор, 1971 г.
Об авторе
 Постников Михаил Михайлович Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||