| Предисловие | 15
|
| Список основных условных обозначений | 18
|
| Введение. Математическая модель и математическое моделирование | 25
|
| Библиографические указания к введению | 29
|
| Часть I. Построение математических моделей. Постановки математических задач | 30
|
| Глава 1. Виды математических моделей, формы их представления и предъявляемые к ним требования | 30
|
| § 1. Структура и виды математических моделей | 30
|
| § 2. Особенности функциональных моделей | 32
|
| § 3. Формы представления математических моделей | 33
|
| § 4. Прямые и обратные задачи | 34
|
| § 5. Корректность постановок прямых задач | 35
|
| Библиографические указания к главе 1 | 37
|
| Глава 2. Математические модели для систем с сосредоточенными параметрами | 38
|
| § 1. Функциональные математические модели процессов, в которых определяющую роль играет динамика энергии или импульса | 38
|
| 1. Применение закона сохранения (изменения) энергии | 38
|
| 2. Применение закона сохранения (изменения) импульса. Модель движения ракеты | 39
|
| 3. Применение второго закона Ньютона. Модель движения точечного тела вблизи колец Сатурна | 40
|
| 4. Применение второго закона Ньютона. Модель колебания жидкости в сосуде | 42
|
| § 2. Функциональные математические модели процессов, в которых определяющую роль играет динамика количества вещества или заряда | 43
|
| 1. Задача о радиоактивном распаде | 43
|
| 2. Задачи химической кинетики | 44
|
| 3. Задачи динамики изменения заряда на сосредоточенных элементах электрических схем | 47
|
| § 3. Математические модели демографических и социологических процессов | 48
|
| 1. Простейшая демографическая модель | 48
|
| 2. Пример демографической модели с нелинейным законом рождаемости | 49
|
| 3. Взаимодействие двух биологических популяций типа «хищник — жертва» | 51
|
| 4. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости | 53
|
| 5. Взаимовлияние уровня занятости и ставки заработной платы | 54
|
| § 4. Вариационные принципы и математические модели | 56
|
| § 5. Пример семейства моделей | 59
|
| 1. Различные варианты заданной внешней силы | 59
|
| 2. Различные варианты движения точки крепления пружины | 60
|
| 3. Учет наличия сил трения | 60
|
| 4. Два типа нелинейных моделей в системе «шарик — пружина» | 62
|
| Библиографические указания к главе 2 | 64
|
| Глава 3. Математические модели для систем с распределенными параметрами | 65
|
| § 1. Математические модели переноса вещества | 65
|
| 1. Модель потока невзаимодействующих частиц в трубе | 65
|
| 2. Модель диффузии вещества | 69
|
| 3. Гравитационный режим течения грунтовых вод | 71
|
| 4. Постановка задачи сорбции | 74
|
| § 2. Математическая модель малых продольных колебаний | 76
|
| § 3. Математические модели распространения тепла в сплошной среде | 82
|
| 1. Некоторые молекулярно-кинетические представления о теплопроводности | 82
|
| 2. Вывод уравнения теплопроводности | 84
|
| 3. Задача о фазовом переходе | 88
|
| § 4. Математические модели установившихся процессов | 90
|
| § 5. Математические модели механики сплошной среды: модели гидродинамики и газовой динамики | 92
|
| 1. Математические модели жидких вязких сред | 92
|
| 2. Математические модели газовой динамики | 98
|
| § 6. Математическая модель переноса излучения | 100
|
| § 7. Математические модели на основе кинетического уравнения Больцмана | 105
|
| 1. Описание совокупности частиц с помощью функции распределения | 105
|
| 2. Уравнение Больцмана для функции распределения | 106
|
| 3. Интеграл столкновений в форме Больцмана | 108
|
| § 8. Система уравнений Максвелла. Математические модели электродинамики | 109
|
| 1. Уравнения для электромагнитных волн | 112
|
| 2. Установившиеся колебания | 114
|
| § 9. Потенциалы электромагнитного поля | 115
|
| 1. Векторный и скалярный потенциалы | 116
|
| 2. Вектор Герца | 117
|
| § 10. Задачи электромагнитной дифракции | 118
|
| 1. Условия на границах раздела сред | 119
|
| 2. Условия на бесконечности | 120
|
| 3. Принцип предельной амплитуды | 124
|
| 4. Принцип предельного поглощения | 125
|
| 5. Другие условия | 126
|
| § 11. Математические модели некоторых электромагнитных явлений | 127
|
| 1. Телеграфные уравнения | 127
|
| 2. Модель распространения токов Фуко в металле | 131
|
| 3. Задача о распространении луча в нелинейной оптике. Параболическое приближение | 132
|
| § 12. Задачи обработки данных, приводящие к интегральным уравнениям первого рода | 134
|
| 1. Задача обработки данных гравиразведки при поиске полезных ископаемых | 136
|
| 2. Задача восстановления размытых изображений | 137
|
| Библиографические указания к главе 3 | 138
|
| Глава 4. Форма математических моделей. Обсуждение характеристик моделей | 139
|
| § 1. Представление математической модели в безразмерной форме и метод подобия | 139
|
| § 2. Универсальность моделей | 142
|
| § 3. Иерархия моделей. Выбор модели в многофакторных задачах | 143
|
| § 4. Обсуждение характеристик моделей | 145
|
| Библиографические указания к главе 4 | 146
|
| Часть II. Методы исследования математических моделей | 147
|
| Глава 5. Классификация уравнений в частных производных второго порядка | 147
|
| § 1. Линейные относительно старших производных уравнения с двумя независимыми переменными | 147
|
| § 2. Уравнения с несколькими независимыми переменными | 149
|
| Библиографические указания к главе 5 | 150
|
| Глава 6. Метод Фурье (метод разделения переменных) решения начально-краевых задач | 151
|
| § 1. Задачи колебаний и теплопроводности при однородных граничных условиях 1-го рода | 151
|
| § 2. Задачи колебаний и теплопроводности при однородных граничных условиях 2-го или 3-го рода | 163
|
| § 3. Задачи колебаний и теплопроводности при неоднородных граничных условиях | 166
|
| § 4. Задачи с уравнением эллиптического типа | 177
|
| 1. Алгоритмы решения краевых задач с неоднородными граничными условиями | 179
|
| Библиографические указания к главе 6 | 183
|
| Глава 7. Метод функции точечного источника | 184
|
| § 1. Алгоритм решения задач с помощью функции точечного источника | 184
|
| § 2. Задача теплопроводности | 186
|
| 1. Задача теплопроводности на бесконечной прямой | 186
|
| 2. Задача теплопроводности на полубесконечной прямой при граничных условиях первого рода | 188
|
| 3. Задача теплопроводности на полубесконечной прямой при граничных условиях второго рода | 189
|
| 4. Задача теплопроводности в неограниченном трехмерном пространстве | 190
|
| 5. Задача теплопроводности в ограниченной области | 190
|
| § 3. Задача колебаний | 191
|
| 1. Задача колебаний в ограниченной области | 192
|
| 2. Задача колебаний на бесконечной прямой | 193
|
| 3. Задача колебаний на полубесконечной прямой | 195
|
| 4. Задача колебаний в неограниченной трехмерной области | 197
|
| § 4. Задачи с уравнениями Лапласа и Пуассона | 199
|
| 1. Задача с граничным условием первого рода | 200
|
| 2. Задача с граничным условием второго рода | 201
|
| 3. Задача в двумерном случае | 203
|
| 4. Задача в неограниченной области | 203
|
| Библиографические указания к главе 7 | 208
|
| Глава 8. Методы решения уравнений первого порядка в частных производных | 209
|
| § 1. Линейные уравнения первого порядка в частных производных | 209
|
| § 2. Квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных | 211
|
| § 3. Метод характеристик для решения квазилинейных уравнений первого порядка в частных производных | 213
|
| Библиографические указания к главе 8 | 214
|
| Глава 9. Применение теории функции комплексного переменного | 215
|
| § 1. Общие положения. Введение | 215
|
| § 2. Применение конформного преобразования области, в которой ставится задача Дирихле, в область, более удобную для решения | 216
|
| § 3. Применение конформного преобразования области, позволяющего получить решение задачи в форме формулы среднего значения гармонической функции | 218
|
| Библиографические указания к главе 9 | 223
|
| Глава 10. Методы интегральных преобразований | 224
|
| § 1. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа | 224
|
| 1. Преобразование Фурье | 225
|
| 2. Преобразование Лапласа | 225
|
| § 2. Применение интегральных преобразований в задачах теории колебаний | 226
|
| 1. Колебания в электрической цепи | 226
|
| 2. Поперечные колебания струны | 228
|
| § 3. Применение интегральных преобразований в задачах теплопроводности | 233
|
| 1. Теплопроводность в полубесконечном теле. Граничное условие первого рода | 233
|
| 2. Теплопроводность в полубесконечном теле. Граничное условие второго рода | 235
|
| § 4. Применение интегральных преобразований в задачах гидродинамики | 236
|
| 1. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости | 236
|
| 2. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости в области с источниками (стоками) | 237
|
| § 5. Другие интегральные преобразования | 240
|
| Библиографические указания к главе 10 | 242
|
| Глава 11. Методы теории потенциала | 243
|
| § 1. Элементы теории потенциала | 243
|
| § 2. Использование потенциалов для решения уравнений Пуассона и Лапласа | 246
|
| 1. Свойства объемного потенциала | 246
|
| 2. Свойства потенциала простого слоя | 247
|
| 3. Свойства потенциала двойного слоя | 251
|
| § 3. Краевые задачи для уравнения типа Гельмгольца | 255
|
| 1. Уравнение Гельмгольца | 255
|
| 2. Уравнение Δu – λ2u = 0 | 257
|
| § 4. Решение задач для уравнения теплопроводности с применением тепловых потенциалов | 258
|
| § 5. Потенциалы для волнового уравнения | 263
|
| Библиографические указания к главе 11 | 265
|
| Глава 12. Асимптотические методы | 266
|
| § 1. Метод малого параметра. Регулярный и сингулярный случаи | 266
|
| 1. Регулярный случай | 267
|
| 2. Случай сингулярного возмущения | 268
|
| 3. Построение равномерной асимптотики решения сингулярно возмущенной задачи | 270
|
| § 2. Метод осреднения построения асимптотики | 274
|
| Библиографические указания к главе 12 | 281
|
| Глава 13. Некорректные задачи. Метод регуляризации | 282
|
| § 1. Понятие корректно поставленной задачи | 282
|
| § 2. Сглаживающий функционал | 284
|
| § 3. Алгоритм построения приближенного решения | 285
|
| Библиографические указания к главе 13 | 289
|
| Глава 14. Введение в теорию размерностей | 290
|
| § 1. Размерности параметров моделей. ?-теорема | 290
|
| § 2. Применение π-теоремы для анализа экспериментальных данных и построения феноменологических моделей | 296
|
| § 3. Применение π-теоремы для построения аналитических решений | 299
|
| Библиографические указания к главе 14 | 304
|
| Глава 15. Вариационные и проекционные методы решения краевых задач | 305
|
| § 1. Сведение дифференциальной задачи к вариационной | 305
|
| § 2. Проекционные методы | 306
|
| 1. Метод Ритца | 306
|
| 2. Метод Галеркина | 308
|
| 3. Метод наименьших квадратов | 309
|
| § 3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами, основанные на вариационных принципах. Метод конечных элементов | 310
|
| Библиографические указания к главе 15 | 313
|
| Глава 16. Разностные методы решения задач математического моделирования | 314
|
| § 1. Постановка задачи и основные понятия | 314
|
| 1. Постановка задачи | 314
|
| 2. Сетка и сеточные функции | 316
|
| § 2. Обозначения и разностные производные | 322
|
| § 3. Методы и приемы конструирования разностных схем | 325
|
| 1. Метод разностной аппроксимации | 325
|
| 2. Интегро-интерполяционный метод | 325
|
| 3. Метод неопределенных коэффициентов | 328
|
| 4. О других способах получения алгебраических уравнений | 329
|
| 5. Аппроксимации в нерегулярных точках | 330
|
| § 4. Основные качественно-количественные характеристики разностных схем и их виды | 332
|
| 1. Аппроксимация | 332
|
| 2. Устойчивость | 334
|
| 3. Сходимость | 336
|
| 4. Качественно-количественные виды схем | 337
|
| 4.1. Консервативные (дивергентные) схемы | 337
|
| 4.2. Одно¬родные схемы | 342
|
| 4.3. Монотонные схемы | 342
|
| 4.4. Другие виды | 342
|
| § 5. Разделение переменных в дискретном случае | 343
|
| § 6. Принцип максимума для разностных схем | 346
|
| § 7. Признаки устойчивости разностных схем | 348
|
| 1. Применение принципа максимума к исследованию устойчивости по граничным условиям первого рода и начальным данным | 348
|
| 2. Признаки равномерной устойчивости | 350
|
| 3. Необходимый спектральный признак устойчивости схемы по начальным данным | 351
|
| § 8. Расчет численного решения задач теплопроводности | 352
|
| 1. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений | 353
|
| 2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида | 355
|
| 3. Итерационные методы решения нелинейных уравнений | 358
|
| § 9. Экономичные разностные схемы | 360
|
| 1. Схема переменных направлений | 360
|
| 2. Локально-одномерная схема | 363
|
| § 10. Разностные схемы для решения уравнения переноса и волнового уравнения | 364
|
| 1. Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счета | 367
|
| 2. Разностная схема для волнового уравнения | 369
|
| § 11. Разностная схема для расчета решения уравнения Лапласа в криволинейных координатах | 371
|
| 1. Цилиндрические координаты | 372
|
| 2. Сферические координаты | 374
|
| § 12. Расчет решения разностной задачи | 376
|
| Библиографические указания к главе 16 | 378
|
| Часть III. Исследование и применение математических моделей | 379
|
| Глава 17. Некоторые классические задачи математической физики | 379
|
| § 1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса) | 379
|
| § 2. Общая задача Коши для гиперболического уравнения | 383
|
| 1. Постановка общей задачи Коши | 383
|
| 2. Смысл функции Римана | 387
|
| 3. Уравнение с постоянными коэффициентами | 389
|
| 4. Задача Коши для уравнения колебаний | 389
|
| 5. Примеры решения задач для волнового уравнения | 394
|
| § 3. Перенос вещества в двухфазной среде. Динамика сорбции | 400
|
| 1. Постановка задачи | 400
|
| 2. Линейный случай | 402
|
| 3. Нелинейный случай | 404
|
| Библиографические указания к главе 17 | 406
|
| Глава 18. Нелинейные уравнения | 407
|
| § 1. Квазилинейное уравнение переноса. Законы сохранения. Градиентная катастрофа | 407
|
| 1. Простейшее квазилинейное уравнение | 407
|
| 2. Обобщение рассмотренного случая | 411
|
| 3. Обобщенное решение. Условие на разрыве | 417
|
| 4. Примеры решения задач для квазилинейного уравнения первого порядка | 421
|
| § 2. Уравнение Бюргерса и его решение | 427
|
| 1. Эволюция ступеньки в соответствии с уравнением Бюргерса | 433
|
| § 3. Уравнение Кортевега — де Фриза. Метод обратной задачи теории рассеяния | 437
|
| 1. Качественные свойства уравнения Кортевега — де Фриза | 437
|
| 2. Схема метода обратной задачи теории рассеяния | 443
|
| 3. Схема метода решения уравнения КдФ | 445
|
| 4. Пример солитонного решения | 446
|
| § 4. Некоторые обобщения уравнения Кортевега — де Фриза | 448
|
| § 5. Другие нелинейные уравнения | 450
|
| 1. Кубическое уравнение Шредингера | 451
|
| 2. Уравнение sin-Гордона | 453
|
| § 6. Анализ размерности и подобие. Автомодельность | 456
|
| Библиографические указания к главе 18 | 463
|
| Глава 19. Математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями | 464
|
| § 1. Качественное исследование решений линейных однородных систем | 464
|
| 1. Классы подобия для действительных 2 ? 2 матриц | 465
|
| 2. Фазовые портреты для канонических систем на плоскости | 468
|
| § 2. Примеры исследования линейных систем | 472
|
| 1. Механический осциллятор | 472
|
| 2. Электрическая RLC цепочка | 475
|
| 3. Связанные осцилляторы | 476
|
| § 3. Нелинейные системы на плоскости | 478
|
| 1. Локальное и глобальное поведение | 478
|
| 2. Линеаризация в окрестности неподвижной точки | 479
|
| 3. Устойчивость неподвижных точек | 482
|
| 4. Обыкновенные точки и глобальное поведение | 483
|
| 5. Бифуркации в системах | 484
|
| § 4. Примеры исследования нелинейных систем | 485
|
| 1. Модель двух конкурирующих видов | 485
|
| 2. RLC цепочка и нелинейный осциллятор | 489
|
| 3. Исследование модели «хищник — жертва» | 492
|
| Библиографические указания к главе 19 | 494
|
| Глава 20. Исследование некоторых математических моделей диффузионных и тепловых процессов | 495
|
| § 1. Некоторые свойства уравнения теплопроводности | 495
|
| § 2. Квазилинейное уравнение теплопроводности | 498
|
| 1. Задача о наводнении. Уравнение Буссинеска | 498
|
| 2. Нелинейная модель горения | 501
|
| 3. Модель Большого взрыва | 506
|
| § 3. Степенные автомодельные решения для квазилинейного уравнения теплопроводности | 508
|
| § 4. Режимы распространения возмущений в нелинейных средах | 510
|
| § 5. Решение задачи Стефана (задачи о фазовом переходе) | 515
|
| Библиографические указания к главе 20 | 518
|
| Глава 21. Математические задачи теории дифракции. Уравнения Максвелла | 519
|
| § 1. Уравнения Максвелла | 519
|
| 1. Установившиеся колебания | 519
|
| 2. Теорема Пойнтинга | 520
|
| § 2. Лемма Лоренца. Формулы Стрэттона—Чу | 521
|
| 1. Следствия из леммы Лоренца | 523
|
| Библиографические указания к главе 21 | 523
|
| Глава 22. Кинетическое уравнение Больцмана и производные от него | 524
|
| § 1. Распределение Максвелла и H-теорема | 524
|
| § 2. Уравнения для моментов функции распределения | 527
|
| § 3. Цепочка гидродинамических моделей газа | 533
|
| Библиографические указания к главе 22 | 536
|
| Глава 23. Уравнения газовой динамики и гидродинамики | 537
|
| § 1. Модели | 537
|
| § 2. Идеальная жидкость | 538
|
| 1. Основные законы газодинамических течений | 538
|
| 2. Пример нестационарного течения вязкой однородной жидкости в трубе с круговым сечением | 544
|
| § 3. Задача об обтекании шара | 546
|
| § 4. Вихревое течение жидкости | 549
|
| § 5. Разрывные решения в газовой динамике | 551
|
| 1. Контактный разрыв | 553
|
| 2. Ударные волны. Адиабата Гюгонио | 554
|
| § 6. Применение методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике и электростатике | 554
|
| 1. Плоское установившиеся движение жидкости | 554
|
| 2. Плоское электростатическое поле | 562
|
| Библиографические указания к главе 23 | 565
|
| Глава 24. Некоторые новые объекты и методы математического моделирования | 566
|
| § 1. Вейвлет-анализ | 566
|
| § 2. Фракталы | 572
|
| 1. Множество Кантора | 572
|
| 2. Функция Вейерштрасса | 573
|
| 3. Кривая Коха | 573
|
| 4. Прокладка (салфетка) Серпинского | 573
|
| § 3. Детерминированный хаос | 575
|
| § 4. Синергетика | 579
|
| 1. Предыстория | 580
|
| 2. Исследование коллективных явлений в нелинейных сплошных средах | 581
|
| 3. Изучение законов распределения в сложных системах | 583
|
| 4. Исследования сетевых систем | 584
|
| Библиографические указания к главе 24 | 585
|
| Предметный указатель | 587
|
| Литература | 591
|
Математическое моделирование является одним из основных методов научного познания окружающего мира. Исследование природных и социальных явлений и технических систем в XXI веке уже невозможно представить без применения их математических моделей.
В настоящей книге математическое моделирование рассматривается как самостоятельный раздел математики, который обладает своими собственными объектами, методами и целями исследования. Раскрытию этих составляющих и посвящен предлагаемый текст.
Материал книги основан на курсах лекций по «Основам математического моделирования», читаемого авторами на старших курсах физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова и факультета «Фундаментальные науки» МГТУ имени Н. Э. Баумана студентам — физикам и инженерам-математикам соответственно.
Авторы исходят из того, что читатель знаком с общематематическими дисциплинами. А именно, с курсами математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного. Предполагается также знание общей физики.
Данная книга в основном посвящена изложению классических методов построения математических моделей и формирования соответствующих постановок математических задач, а также методам решения поставленных задач и примерам исследования и применения математических моделей.
Изложение материала каждой главы завершается библиографическими комментариями, дающими краткий обзор классических и современных работ по теме главы.
Значительная часть материала, использованная авторами, приведена в учебниках и монографиях, находящихся в списке литературы в конце книги. Библиография включает в себя основные издания по затрагиваемым вопросам и соответствующим разделам прикладных наук, существующим в настоящее время. Она также дает представление об объеме материала, не вошедшего в книгу. Наряду с учебной литературой сюда включены ссылки на работы, посвященные более узким темам, чем те, что рассматриваются в тексте. При написании книги использован также научный опыт самих авторов.
С методической точки зрения материал подобран так, чтобы читатель мог освоить содержание без обращения к каким-то иным учебникам и пособиям.
Структура текста — часть, глава, параграф. Материал книги разбит на три части, содержащих двадцать четыре главы. Части нумеруются сплошным образом, равно как и главы. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие одинарную нумерацию, которая начинается с первого номера в каждой главе. Пункты внутри параграфов могут быть, они нумеруются, названия выделяются полужирным шрифтом. При нумерации пунктов они, как и параграфы, нумеруются самостоятельно (начиная с первого) внутри каждого параграфа. При необходимости отсылки к параграфу указывается его номер , если ссылка идет на параграф данной главы, либо номер , где — номер главы, в случае отсылки к параграфу другой главы. Перед номером ставится знак §. При необходимости отсылки к пункту указывается его номер , если ссылка идет на пункт данного параграфа, либо номер , если ссылка идет на пункт другого параграфа данной главы, либо номер в случае отсылки к пункту другой главы. Перед номером ставится знак п. Нумерация формул и рисунков выполнена аналогично нумерации пунктов. Нумерация начинается с единицы в каждом параграфе. Аналогичным образом нумеруются теоремы, леммы, замечания, следствия, определения и примеры. В квадратные скобки заключены номера источников из помещенного в конце книги списка литературы. Глава начинается краткой аннотацией. Конец главы — параграф без номера с библиографическими указаниями.
Каждый термин, выделенный в тексте курсивом, представлен в предметном указателе (в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже) с указанием раздела, в котором он определен или описан. Читатель может уточнить это значение, найдя с помощью предметного указателя необходимый пункт.
После предисловия помещен список основных обозначений, где наряду с краткой расшифровкой указано место первого появления данного обозначения, в котором можно найти его более подробное объяснение. При этом в каждом разделе книги используемые обозначения поясняются. Принятая структура справочного аппарата позволяет читателю знакомиться с интересующим его материалом отдельно взятого параграфа.
Основная целевая аудитория данной книги — студенты старших курсов физико-математических и инженерно-математических специальностей университетов. Авторы надеются, что текст будет полезен и специалистам в качестве справочного материала, а также, возможно, и информации о неких относительно новых (с субъективной точки зрения) элементах математического моделирования. И третья целевая категория — новички математического моделирования. Авторы надеются, что содержание и стремление к простоте изложения основного материала позволит использовать книгу исследователям, работающим в естественно-научных направлениях и желающих самостоятельно приступить к моделированию в своих задачах. Для них текст разделен по степени сложности, при этом более сложный материал набран более мелким шрифтом.
Авторы выражают глубокую благодарность своим коллегам и ученикам по физическому факультету МГУ имени М. В. Ломоносова, ИПМ имени М. В. Келдыша РАН и МГТУ имени Н. Э. Баумана за совместный труд, одним из результатов которого является данная книга. Список коллег и учеников, к счастью, очень велик, так что у нас нет возможности перечислить их всех. Особенно мы благодарны своим Учителям.
Галанин Михаил Павлович 
Тихонов Николай Андреевич 
Токмачев Михаил Геннадьевич