Обложка Галанин М.П., Тихонов Н.А., Токмачев М.Г. Математическое моделирование: Теория и применение
Id: 282844
1899 руб.

Математическое моделирование:
Теория и применение

URSS. 2022. 600 с. ISBN 978-5-9519-3326-3.
Белая офсетная бумага
  • Твердый переплет

Аннотация

В книге приведены методы построения (формулировки) моделей для исследования разнообразных объектов и явлений: как природных, так и технических. Обращено внимание на изучение алгоритмов и методов решения соответствующих математических задач, а также на применение математических моделей для исследования широкого круга явлений. Книга посвящена изложению как классических моделей, методов и решений, так и ряду задач, исследованных в последние десятилетия.

Книга... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие15
Список основных условных обозначений18
Введение. Математическая модель и математическое моделирование25
Библиографические указания к введению29
Часть I. Построение математических моделей. Постановки математических задач30
Глава 1. Виды математических моделей, формы их представления и предъявляемые к ним требования30
§ 1. Структура и виды математических моделей30
§ 2. Особенности функциональных моделей32
§ 3. Формы представления математических моделей33
§ 4. Прямые и обратные задачи34
§ 5. Корректность постановок прямых задач35
Библиографические указания к главе 137
Глава 2. Математические модели для систем с сосредоточенными параметрами38
§ 1. Функциональные математические модели процессов, в которых определяющую роль играет динамика энергии или импульса38
1. Применение закона сохранения (изменения) энергии38
2. Применение закона сохранения (изменения) импульса. Модель движения ракеты39
3. Применение второго закона Ньютона. Модель движения точечного тела вблизи колец Сатурна40
4. Применение второго закона Ньютона. Модель колебания жидкости в сосуде42
§ 2. Функциональные математические модели процессов, в которых определяющую роль играет динамика количества вещества или заряда43
1. Задача о радиоактивном распаде43
2. Задачи химической кинетики44
3. Задачи динамики изменения заряда на сосредоточенных элементах электрических схем47
§ 3. Математические модели демографических и социологических процессов48
1. Простейшая демографическая модель48
2. Пример демографической модели с нелинейным законом рождаемости49
3. Взаимодействие двух биологических популяций типа «хищник — жертва»51
4. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости53
5. Взаимовлияние уровня занятости и ставки заработной платы54
§ 4. Вариационные принципы и математические модели56
§ 5. Пример семейства моделей59
1. Различные варианты заданной внешней силы59
2. Различные варианты движения точки крепления пружины60
3. Учет наличия сил трения60
4. Два типа нелинейных моделей в системе «шарик — пружина»62
Библиографические указания к главе 264
Глава 3. Математические модели для систем с распределенными параметрами65
§ 1. Математические модели переноса вещества65
1. Модель потока невзаимодействующих частиц в трубе65
2. Модель диффузии вещества69
3. Гравитационный режим течения грунтовых вод71
4. Постановка задачи сорбции74
§ 2. Математическая модель малых продольных колебаний76
§ 3. Математические модели распространения тепла в сплошной среде82
1. Некоторые молекулярно-кинетические представления о теплопроводности82
2. Вывод уравнения теплопроводности84
3. Задача о фазовом переходе88
§ 4. Математические модели установившихся процессов90
§ 5. Математические модели механики сплошной среды: модели гидродинамики и газовой динамики92
1. Математические модели жидких вязких сред92
2. Математические модели газовой динамики98
§ 6. Математическая модель переноса излучения100
§ 7. Математические модели на основе кинетического уравнения Больцмана105
1. Описание совокупности частиц с помощью функции распределения105
2. Уравнение Больцмана для функции распределения106
3. Интеграл столкновений в форме Больцмана108
§ 8. Система уравнений Максвелла. Математические модели электродинамики109
1. Уравнения для электромагнитных волн112
2. Установившиеся колебания114
§ 9. Потенциалы электромагнитного поля115
1. Векторный и скалярный потенциалы116
2. Вектор Герца117
§ 10. Задачи электромагнитной дифракции118
1. Условия на границах раздела сред119
2. Условия на бесконечности120
3. Принцип предельной амплитуды124
4. Принцип предельного поглощения125
5. Другие условия126
§ 11. Математические модели некоторых электромагнитных явлений127
1. Телеграфные уравнения127
2. Модель распространения токов Фуко в металле131
3. Задача о распространении луча в нелинейной оптике. Параболическое приближение132
§ 12. Задачи обработки данных, приводящие к интегральным уравнениям первого рода134
1. Задача обработки данных гравиразведки при поиске полезных ископаемых136
2. Задача восстановления размытых изображений137
Библиографические указания к главе 3138
Глава 4. Форма математических моделей. Обсуждение характеристик моделей139
§ 1. Представление математической модели в безразмерной форме и метод подобия139
§ 2. Универсальность моделей142
§ 3. Иерархия моделей. Выбор модели в многофакторных задачах143
§ 4. Обсуждение характеристик моделей145
Библиографические указания к главе 4146
Часть II. Методы исследования математических моделей147
Глава 5. Классификация уравнений в частных производных второго порядка147
§ 1. Линейные относительно старших производных уравнения с двумя независимыми переменными147
§ 2. Уравнения с несколькими независимыми переменными149
Библиографические указания к главе 5150
Глава 6. Метод Фурье (метод разделения переменных) решения начально-краевых задач151
§ 1. Задачи колебаний и теплопроводности при однородных граничных условиях 1-го рода151
§ 2. Задачи колебаний и теплопроводности при однородных граничных условиях 2-го или 3-го рода163
§ 3. Задачи колебаний и теплопроводности при неоднородных граничных условиях166
§ 4. Задачи с уравнением эллиптического типа177
1. Алгоритмы решения краевых задач с неоднородными граничными условиями179
Библиографические указания к главе 6183
Глава 7. Метод функции точечного источника184
§ 1. Алгоритм решения задач с помощью функции точечного источника184
§ 2. Задача теплопроводности186
1. Задача теплопроводности на бесконечной прямой186
2. Задача теплопроводности на полубесконечной прямой при граничных условиях первого рода188
3. Задача теплопроводности на полубесконечной прямой при граничных условиях второго рода189
4. Задача теплопроводности в неограниченном трехмерном пространстве190
5. Задача теплопроводности в ограниченной области190
§ 3. Задача колебаний191
1. Задача колебаний в ограниченной области192
2. Задача колебаний на бесконечной прямой193
3. Задача колебаний на полубесконечной прямой195
4. Задача колебаний в неограниченной трехмерной области197
§ 4. Задачи с уравнениями Лапласа и Пуассона199
1. Задача с граничным условием первого рода200
2. Задача с граничным условием второго рода201
3. Задача в двумерном случае203
4. Задача в неограниченной области203
Библиографические указания к главе 7208
Глава 8. Методы решения уравнений первого порядка в частных производных209
§ 1. Линейные уравнения первого порядка в частных производных209
§ 2. Квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных211
§ 3. Метод характеристик для решения квазилинейных уравнений первого порядка в частных производных213
Библиографические указания к главе 8214
Глава 9. Применение теории функции комплексного переменного215
§ 1. Общие положения. Введение215
§ 2. Применение конформного преобразования области, в которой ставится задача Дирихле, в область, более удобную для решения216
§ 3. Применение конформного преобразования области, позволяющего получить решение задачи в форме формулы среднего значения гармонической функции218
Библиографические указания к главе 9223
Глава 10. Методы интегральных преобразований224
§ 1. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа224
1. Преобразование Фурье225
2. Преобразование Лапласа225
§ 2. Применение интегральных преобразований в задачах теории колебаний226
1. Колебания в электрической цепи226
2. Поперечные колебания струны228
§ 3. Применение интегральных преобразований в задачах теплопроводности233
1. Теплопроводность в полубесконечном теле. Граничное условие первого рода233
2. Теплопроводность в полубесконечном теле. Граничное условие второго рода235
§ 4. Применение интегральных преобразований в задачах гидродинамики236
1. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости236
2. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости в области с источниками (стоками)237
§ 5. Другие интегральные преобразования240
Библиографические указания к главе 10242
Глава 11. Методы теории потенциала243
§ 1. Элементы теории потенциала243
§ 2. Использование потенциалов для решения уравнений Пуассона и Лапласа246
1. Свойства объемного потенциала246
2. Свойства потенциала простого слоя247
3. Свойства потенциала двойного слоя251
§ 3. Краевые задачи для уравнения типа Гельмгольца255
1. Уравнение Гельмгольца255
2. Уравнение Δu – λ2u = 0257
§ 4. Решение задач для уравнения теплопроводности с применением тепловых потенциалов258
§ 5. Потенциалы для волнового уравнения263
Библиографические указания к главе 11265
Глава 12. Асимптотические методы266
§ 1. Метод малого параметра. Регулярный и сингулярный случаи266
1. Регулярный случай267
2. Случай сингулярного возмущения268
3. Построение равномерной асимптотики решения сингулярно возмущенной задачи270
§ 2. Метод осреднения построения асимптотики274
Библиографические указания к главе 12281
Глава 13. Некорректные задачи. Метод регуляризации282
§ 1. Понятие корректно поставленной задачи282
§ 2. Сглаживающий функционал284
§ 3. Алгоритм построения приближенного решения285
Библиографические указания к главе 13289
Глава 14. Введение в теорию размерностей290
§ 1. Размерности параметров моделей. ?-теорема290
§ 2. Применение π-теоремы для анализа экспериментальных данных и построения феноменологических моделей296
§ 3. Применение π-теоремы для построения аналитических решений299
Библиографические указания к главе 14304
Глава 15. Вариационные и проекционные методы решения краевых задач305
§ 1. Сведение дифференциальной задачи к вариационной305
§ 2. Проекционные методы306
1. Метод Ритца306
2. Метод Галеркина308
3. Метод наименьших квадратов309
§ 3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами, основанные на вариационных принципах. Метод конечных элементов310
Библиографические указания к главе 15313
Глава 16. Разностные методы решения задач математического моделирования314
§ 1. Постановка задачи и основные понятия314
1. Постановка задачи314
2. Сетка и сеточные функции316
§ 2. Обозначения и разностные производные322
§ 3. Методы и приемы конструирования разностных схем325
1. Метод разностной аппроксимации325
2. Интегро-интерполяционный метод325
3. Метод неопределенных коэффициентов328
4. О других способах получения алгебраических уравнений329
5. Аппроксимации в нерегулярных точках330
§ 4. Основные качественно-количественные характеристики разностных схем и их виды332
1. Аппроксимация332
2. Устойчивость334
3. Сходимость336
4. Качественно-количественные виды схем337
4.1. Консервативные (дивергентные) схемы337
4.2. Одно¬родные схемы342
4.3. Монотонные схемы342
4.4. Другие виды342
§ 5. Разделение переменных в дискретном случае343
§ 6. Принцип максимума для разностных схем346
§ 7. Признаки устойчивости разностных схем348
1. Применение принципа максимума к исследованию устойчивости по граничным условиям первого рода и начальным данным348
2. Признаки равномерной устойчивости350
3. Необходимый спектральный признак устойчивости схемы по начальным данным351
§ 8. Расчет численного решения задач теплопроводности352
1. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений353
2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида355
3. Итерационные методы решения нелинейных уравнений358
§ 9. Экономичные разностные схемы360
1. Схема переменных направлений360
2. Локально-одномерная схема363
§ 10. Разностные схемы для решения уравнения переноса и волнового уравнения364
1. Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счета367
2. Разностная схема для волнового уравнения369
§ 11. Разностная схема для расчета решения уравнения Лапласа в криволинейных координатах371
1. Цилиндрические координаты372
2. Сферические координаты374
§ 12. Расчет решения разностной задачи376
Библиографические указания к главе 16378
Часть III. Исследование и применение математических моделей379
Глава 17. Некоторые классические задачи математической физики379
§ 1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса)379
§ 2. Общая задача Коши для гиперболического уравнения383
1. Постановка общей задачи Коши383
2. Смысл функции Римана387
3. Уравнение с постоянными коэффициентами389
4. Задача Коши для уравнения колебаний389
5. Примеры решения задач для волнового уравнения394
§ 3. Перенос вещества в двухфазной среде. Динамика сорбции400
1. Постановка задачи400
2. Линейный случай402
3. Нелинейный случай404
Библиографические указания к главе 17406
Глава 18. Нелинейные уравнения407
§ 1. Квазилинейное уравнение переноса. Законы сохранения. Градиентная катастрофа407
1. Простейшее квазилинейное уравнение407
2. Обобщение рассмотренного случая411
3. Обобщенное решение. Условие на разрыве417
4. Примеры решения задач для квазилинейного уравнения первого порядка421
§ 2. Уравнение Бюргерса и его решение427
1. Эволюция ступеньки в соответствии с уравнением Бюргерса433
§ 3. Уравнение Кортевега — де Фриза. Метод обратной задачи теории рассеяния437
1. Качественные свойства уравнения Кортевега — де Фриза437
2. Схема метода обратной задачи теории рассеяния443
3. Схема метода решения уравнения КдФ445
4. Пример солитонного решения446
§ 4. Некоторые обобщения уравнения Кортевега — де Фриза448
§ 5. Другие нелинейные уравнения450
1. Кубическое уравнение Шредингера451
2. Уравнение sin-Гордона453
§ 6. Анализ размерности и подобие. Автомодельность456
Библиографические указания к главе 18463
Глава 19. Математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями464
§ 1. Качественное исследование решений линейных однородных систем464
1. Классы подобия для действительных 2 ? 2 матриц465
2. Фазовые портреты для канонических систем на плоскости468
§ 2. Примеры исследования линейных систем472
1. Механический осциллятор472
2. Электрическая RLC цепочка475
3. Связанные осцилляторы476
§ 3. Нелинейные системы на плоскости478
1. Локальное и глобальное поведение478
2. Линеаризация в окрестности неподвижной точки479
3. Устойчивость неподвижных точек482
4. Обыкновенные точки и глобальное поведение483
5. Бифуркации в системах484
§ 4. Примеры исследования нелинейных систем485
1. Модель двух конкурирующих видов485
2. RLC цепочка и нелинейный осциллятор489
3. Исследование модели «хищник — жертва»492
Библиографические указания к главе 19494
Глава 20. Исследование некоторых математических моделей диффузионных и тепловых процессов495
§ 1. Некоторые свойства уравнения теплопроводности495
§ 2. Квазилинейное уравнение теплопроводности498
1. Задача о наводнении. Уравнение Буссинеска498
2. Нелинейная модель горения501
3. Модель Большого взрыва506
§ 3. Степенные автомодельные решения для квазилинейного уравнения теплопроводности508
§ 4. Режимы распространения возмущений в нелинейных средах510
§ 5. Решение задачи Стефана (задачи о фазовом переходе)515
Библиографические указания к главе 20518
Глава 21. Математические задачи теории дифракции. Уравнения Максвелла519
§ 1. Уравнения Максвелла519
1. Установившиеся колебания519
2. Теорема Пойнтинга520
§ 2. Лемма Лоренца. Формулы Стрэттона—Чу521
1. Следствия из леммы Лоренца523
Библиографические указания к главе 21523
Глава 22. Кинетическое уравнение Больцмана и производные от него524
§ 1. Распределение Максвелла и H-теорема524
§ 2. Уравнения для моментов функции распределения527
§ 3. Цепочка гидродинамических моделей газа533
Библиографические указания к главе 22536
Глава 23. Уравнения газовой динамики и гидродинамики537
§ 1. Модели537
§ 2. Идеальная жидкость538
1. Основные законы газодинамических течений538
2. Пример нестационарного течения вязкой однородной жидкости в трубе с круговым сечением544
§ 3. Задача об обтекании шара546
§ 4. Вихревое течение жидкости549
§ 5. Разрывные решения в газовой динамике551
1. Контактный разрыв553
2. Ударные волны. Адиабата Гюгонио554
§ 6. Применение методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике и электростатике554
1. Плоское установившиеся движение жидкости554
2. Плоское электростатическое поле562
Библиографические указания к главе 23565
Глава 24. Некоторые новые объекты и методы математического моделирования566
§ 1. Вейвлет-анализ566
§ 2. Фракталы572
1. Множество Кантора572
2. Функция Вейерштрасса573
3. Кривая Коха573
4. Прокладка (салфетка) Серпинского573
§ 3. Детерминированный хаос575
§ 4. Синергетика579
1. Предыстория580
2. Исследование коллективных явлений в нелинейных сплошных средах581
3. Изучение законов распределения в сложных системах583
4. Исследования сетевых систем584
Библиографические указания к главе 24585
Предметный указатель587
Литература591

Предисловие

Математическое моделирование является одним из основных методов научного познания окружающего мира. Исследование природных и социальных явлений и технических систем в XXI веке уже невозможно представить без применения их математических моделей.

В настоящей книге математическое моделирование рассматривается как самостоятельный раздел математики, который обладает своими собственными объектами, методами и целями исследования. Раскрытию этих составляющих и посвящен предлагаемый текст.

Материал книги основан на курсах лекций по «Основам математического моделирования», читаемого авторами на старших курсах физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова и факультета «Фундаментальные науки» МГТУ имени Н. Э. Баумана студентам — физикам и инженерам-математикам соответственно.

Авторы исходят из того, что читатель знаком с общематематическими дисциплинами. А именно, с курсами математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного. Предполагается также знание общей физики.

Данная книга в основном посвящена изложению классических методов построения математических моделей и формирования соответствующих постановок математических задач, а также методам решения поставленных задач и примерам исследования и применения математических моделей.

Изложение материала каждой главы завершается библиографическими комментариями, дающими краткий обзор классических и современных работ по теме главы.

Значительная часть материала, использованная авторами, приведена в учебниках и монографиях, находящихся в списке литературы в конце книги. Библиография включает в себя основные издания по затрагиваемым вопросам и соответствующим разделам прикладных наук, существующим в настоящее время. Она также дает представление об объеме материала, не вошедшего в книгу. Наряду с учебной литературой сюда включены ссылки на работы, посвященные более узким темам, чем те, что рассматриваются в тексте. При написании книги использован также научный опыт самих авторов.

С методической точки зрения материал подобран так, чтобы читатель мог освоить содержание без обращения к каким-то иным учебникам и пособиям.

Структура текста — часть, глава, параграф. Материал книги разбит на три части, содержащих двадцать четыре главы. Части нумеруются сплошным образом, равно как и главы. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие одинарную нумерацию, которая начинается с первого номера в каждой главе. Пункты внутри параграфов могут быть, они нумеруются, названия выделяются полужирным шрифтом. При нумерации пунктов они, как и параграфы, нумеруются самостоятельно (начиная с первого) внутри каждого параграфа. При необходимости отсылки к параграфу указывается его номер , если ссылка идет на параграф данной главы, либо номер , где — номер главы, в случае отсылки к параграфу другой главы. Перед номером ставится знак §. При необходимости отсылки к пункту указывается его номер , если ссылка идет на пункт данного параграфа, либо номер , если ссылка идет на пункт другого параграфа данной главы, либо номер в случае отсылки к пункту другой главы. Перед номером ставится знак п. Нумерация формул и рисунков выполнена аналогично нумерации пунктов. Нумерация начинается с единицы в каждом параграфе. Аналогичным образом нумеруются теоремы, леммы, замечания, следствия, определения и примеры. В квадратные скобки заключены номера источников из помещенного в конце книги списка литературы. Глава начинается краткой аннотацией. Конец главы — параграф без номера с библиографическими указаниями.

Каждый термин, выделенный в тексте курсивом, представлен в предметном указателе (в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже) с указанием раздела, в котором он определен или описан. Читатель может уточнить это значение, найдя с помощью предметного указателя необходимый пункт.

После предисловия помещен список основных обозначений, где наряду с краткой расшифровкой указано место первого появления данного обозначения, в котором можно найти его более подробное объяснение. При этом в каждом разделе книги используемые обозначения поясняются. Принятая структура справочного аппарата позволяет читателю знакомиться с интересующим его материалом отдельно взятого параграфа.

Основная целевая аудитория данной книги — студенты старших курсов физико-математических и инженерно-математических специальностей университетов. Авторы надеются, что текст будет полезен и специалистам в качестве справочного материала, а также, возможно, и информации о неких относительно новых (с субъективной точки зрения) элементах математического моделирования. И третья целевая категория — новички математического моделирования. Авторы надеются, что содержание и стремление к простоте изложения основного материала позволит использовать книгу исследователям, работающим в естественно-научных направлениях и желающих самостоятельно приступить к моделированию в своих задачах. Для них текст разделен по степени сложности, при этом более сложный материал набран более мелким шрифтом.

Авторы выражают глубокую благодарность своим коллегам и ученикам по физическому факультету МГУ имени М. В. Ломоносова, ИПМ имени М. В. Келдыша РАН и МГТУ имени Н. Э. Баумана за совместный труд, одним из результатов которого является данная книга. Список коллег и учеников, к счастью, очень велик, так что у нас нет возможности перечислить их всех. Особенно мы благодарны своим Учителям.


Об авторах
Галанин Михаил Павлович
Доктор физико-математических наук (1996), профессор (2005). Главный научный сотрудник, исполняющий обязанности заведующего отделом «Вычислительные методы и математическое моделирование» ИПМ имени М. В. Келдыша РАН. Профессор кафедры прикладной математики МГТУ имени Н. Э. Баумана. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, методы конечных разностей и конечных элементов, комплексы программ, многомерные нестационарные задачи электродинамики, упругости, тепло- и массопереноса в сплошных средах. Автор около 280 печатных работ, 2 монографий. Подготовил 10 кандидатов наук.
Тихонов Николай Андреевич
Доктор физико-математических наук (1986), профессор (1992). Профессор кафедры математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (с 1991 г.). Заслуженный профессор Московского университета (2014). Научные интересы: математическое моделирование в задачах физической химии, математическая физика. Автор около 180 печатных работ, учебника «Интегральные уравнения» (соавт., 2004) и двух учебных пособий: «Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах» (соавт., 2005) и «Основы математического моделирования. Курс лекций. В 2-х частях» (соавт., 2013). Имеет патенты и авторские свидетельства. Подготовил 6 кандидатов наук.
Токмачев Михаил Геннадьевич
Кандидат физико-математических наук (2008), доцент. Научные интересы связаны с задачами математического моделирования процессов физической химии. Несколько раз получал награды за результаты, способствующие развитию МГУ имени М. В. Ломоносова, становился лауреатом конкурса фонда «Базис» на лучшего преподавателя физического факультета Московского университета. Автор около 50 научных статей, 1 монографии, 3 учебных пособий, имеет два патента.