Голованов Н.Н., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
Основы дифференциальной геометрии и топологии. Основные понятия компьютерной геометрии. Геометрическое моделирование. Изд. 2, испр.

2024. 504 с.

Серия: ФУНДАМЕНТ БУДУЩЕГО: Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М.В. Ломоносова

Серия: Классический учебник МГУ

Типографская бумага

Внимание: АКЦИЯ! Только по 29.01.25!

Аннотация

Настоящая книга является учебником повышенного уровня сложности по компьютерной геометрии — молодой и бурно развивающейся области прикладной математики. Книга написана коллективом авторов из МГУ имени М.В.Ломоносова и из математического отдела российской фирмы АСКОН, разрабатывающей компьютерную систему автоматизированного проектирования КОМПАС-3D. Книга разделена на три части. В первой части излагаются необходимые сведения из дифференциальной... (Подробнее)

Содержание

Предисловие				12
Основные обозначения, принятые в книге				14
Часть 1. Основы дифференциальной геометрии				15
Глава 1.1. Введение в дифференциальную геометрию				16
1.1.1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры				16
1.1.1.1. Мотивировка				16
1.1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты				17
1.1.1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат				22
1.1.2. Длина кривой				24
1.1.2.1. Длина кривой в евклидовых координатах				24
1.1.2.2. Длина кривой в криволинейных координатах				26
1.1.2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства				30
1.1.2.4. Индефинитные (знаконеопределенные) метрики				32
1.1.3. Геометрия на плоскости и на сфере				34
1.1.4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского				40
Глава 1.2. Кривые и поверхности				54
1.2.1. Теория кривых. Формулы Френе				54
1.2.1.1. Теория кривых на плоскости. Кривизна				54
1.2.1.2. Теория пространственных кривых. Кривизна и кручение				59
1.2.2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы				64
1.2.2.1. Определение поверхностей				64
1.2.2.2. Первая квадратичная форма				66
1.2.2.3. Вторая квадратичная форма				69
1.2.2.4. Локальная теория гладких кривых на поверхности. Теорема Менье. Формула Эйлера				73
1.2.2.5. Гауссова и средняя кривизны в точке на поверхности				78
Глава 1.3. Общая топология				88
1.3.1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств				88
1.3.1.1. Метрические пространства				88
1.3.1.2. Топологические пространства				90
1.3.1.3. Непрерывные отображения				91
1.3.1.4. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность				94
1.3.1.5. Фактортопологии				95
1.3.2. Связность. Аксиомы отделимости				97
1.3.3. Компактные топологические пространства				101
1.3.4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы				104
1.3.4.1. Функциональная отделимость				104
1.3.4.2. Разбиение единицы				107
Глава 1.4. Гладкие многообразия (обобщение поверхностей)				109
1.4.1. Понятие многообразия				111
1.4.1.1. Основные определения				111
1.4.1.2. Функции склейки. Определение гладкого многообразия				114
1.4.1.3. Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизмы				118
1.4.2. Задание многообразий уравнениями в Rn				120
1.4.3. Касательные векторы и касательное пространство				125
1.4.3.1. Простейшие примеры				126
1.4.3.2. Общее определение касательного вектора				128
1.4.3.3. Касательное пространство TP0(M)				129
1.4.3.4. Производная функции по направлению				130
1.4.4. Подмногообразия				134
1.4.4.1. Дифференциал гладкого отображения				134
1.4.4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал				137
1.4.4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство				139
1.4.4.4. Римановы метрики на многообразии				140
1.4.5. Классификация двумерных поверхностей				143
1.4.5.1. Многообразия с краем				143
1.4.5.2. Ориентируемые многообразия				145
1.4.5.3. Классификация двумерных гладких компактных связных многообразий без края				147
1.4.6. Изометрии				159
1.4.7. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций				161
Часть 2. Компьютерная геометрия				171
Глава 2.1. Гладкие кривые с вычислительной точки зрения				172
2.1.1. Приблизительная локальная форма кривой, определяемая кривизной и кручением				172
2.1.2. Формулы для кривизны и кручения кривой относительно произвольного параметра в координатах, задаваемых репером Френе				174
2.1.3. Восстановление пространственной кривой по ее проекциям на координатные плоскости				175
2.1.4. Приведение параметрического уравнения кривой к неявному виду				177
Глава 2.2. Сплайны и кривые Безье				180
2.2.1. Сплайны				180
2.2.1.1. Примеры сплайнов				180
2.2.1.2. Построение сплайнов Эрмита				181
2.2.1.3. Псевдоупругие сплайны Эрмита				183
2.2.1.4. Случай, когда на концах кривой заданы направления касательных векторов				186
2.2.1.5. Кубические сплайны. Построение кубического сплайна				187
2.2.1.6. Сплайн Лагранжа				189
2.2.1.7. Сплайн Ньютона				190
2.2.2. Кривые Безье				191
2.2.2.1. Алгоритм де Кастелье				196
2.2.2.2. Операторная форма кривой Безье				196
2.2.2.3. Годографы кривых Безье				198
2.2.2.4. Деление кривой Безье на две кривые Безье того же порядка в отношении t:(1-t)				201
2.2.2.5. Условия сохранения гладкости сопряжения при делении кривой Безье				203
2.2.2.6. Увеличение числа опорных точек без изменения формы кривой Безье				203
Глава 2.3. Поверхности Безье				205
2.3.1. Геометрический смысл поверхности Безье				205
2.3.2. Формулы вычисления координат точек на поверхности Безье				206
2.3.3. Деление поверхности Безье				207
2.3.4. Геометрические свойства поверхности Безье в угловой точке				207
2.3.5. Измельчение сетки при сохранении поверхности Безье				208
Глава 2.4. Проективные (рациональные) кривые Безье				210
2.4.1. Операция рационального деления отрезка				210
2.4.2. Свойства рациональных кривых Безье				213
2.4.3. Деление рациональной кривой Безье				213
2.4.4. Увеличение числа опорных точек рациональной кривой Безье				216
2.4.5. Производные на концах рациональной кривой Безье				217
2.4.6. Рациональные поверхности Безье				219
2.4.7. Представление кривых второго порядка рациональными кривыми Безье порядка 2				219
Глава 2.5. B-сплайны (бета-сплайны), B-кривые (бета-кривые) и B-поверхности (бета-поверхности)				223
2.5.1. Постановка задачи				223
2.5.2. Разделенные разности				224
2.5.3. Свойства разделенных разностей				229
2.5.4. Усеченная степенная функция				230
2.5.5. Рекуррентные соотношения для B-сплайнов				234
2.5.6. Алгоритм вычисления радиус-вектора B-кривой				237
2.5.7. Алгоритм вычисления производных B-кривой при условии, что t1=…=tm, tn+1=…=tn+m				242
2.5.8. Алгоритм Де Бура вычисления радиус-вектора B-кривой				245
2.5.9. Интерполяция с помощью B-кривых				249
2.5.10. Представление кубического сплайна в виде B-кривой				249
2.5.11. B-поверхности				252
Глава 2.6. Другие способы представления поверхностей в компьютерной геометрии				254
2.6.1. Линейчатые поверхности				254
2.6.2. Секториальные поверхности				254
2.6.3. Поверхности Кунса				255
2.6.3.1. Линейные поверхности Кунса				255
2.6.3.2. Матричный вид уравнения поверхности Кунса				256
2.6.3.3. Обобщенные поверхности Кунса				257
2.6.4. Поверхности, построенные по остову из кривых				258
2.6.4.1. Поверхности Эрмита				259
2.6.4.2. Применение поверхностей Эрмита: поверхность перехода				260
2.6.4.3. Поверхности Лагранжа				261
2.6.4.4. Поверхности Гордона				262
2.6.4.5. Поверхности, затягивающие сетку кривых заплатами Кунса				263
2.6.4.6. Поверхности тензорного произведения				264
2.6.5. Поверхности с треугольной параметрической областью				266
2.6.5.1. Барицентрические координаты				266
2.6.5.2. Билинейная треугольная поверхность				267
2.6.5.3. Треугольная поверхность на трех кривых				267
Глава 2.7. Компьютерная геометрия проективно преобразованных изображений (Г. В. Носовский, Е. С. Скрипка, А. А. Толченников)				269
2.7.1. Введение				269
2.7.2. Основные понятия проективной геометрии				270
2.7.3. Метод распознавания сопряженных точек по разнесениям связанных признаков (Г. В. Носовский)				272
2.7.4. Устойчивость проективного преобразования к возмущениям конфигурации сопряженных точек (Г. В. Носовский, Е. С. Скрипка)				279
2.7.5. Вычисление матрицы проективного преобразования и оценка ее устойчивости (Е. С. Скрипка)				283
2.7.5.1. Прямой алгоритм вычисления проективного преобразования				283
2.7.5.2. Оценка погрешности матрицы проективного преобразования при возмущенных начальных данных				285
2.7.6. Математическая модель камеры и пары камер				288
2.7.6.1. Определение финитной камеры				288
2.7.6.2. Восстановление характеристик финитной камеры по ее матрице				291
2.7.6.3. Геометрия двух камер. Фундаментальная матрица				292
2.7.6.4. Свойства фундаментальной матрицы				295
2.7.6.5. Восстановление пары камер по фундаментальной матрице				295
2.7.6.6. Канонические пары камер, порожденные фундаментальной матрицей				298
2.7.7. ПЛА и НЛА алгоритмы приближенного вычисления проективного преобразования. Оценка их устойчивости (Г. В. Носовский, А. А. Толченников)				300
2.7.7.1. Вычисление проективного преобразования по точно заданным сопряженным точкам				300
2.7.7.2. Простой линейный алгоритм (ПЛА) вычисления проективного преобразования по приближенно заданным сопряженным точкам				302
2.7.7.3. Вычисление вектора, соответствующего минимальному собственному значению матрицы				304
2.7.7.4. Неинвариантность ПЛА относительно движений плоскости				305
2.7.7.5. Нормализованный линейный алгоритм (НЛА)				309
2.7.7.6. Оценка ошибки для алгоритмов ПЛА и НЛА				311
Часть 3. Геометрическое моделирование				319
Глава 3.1. Геометрические модели				320
3.1.1. Оболочки и тела				320
3.1.1.1. Оболочка				320
3.1.1.2. Оболочки для геометрического моделирования				322
3.1.1.3. Тело				324
3.1.2. Простейшие тела				324
3.1.2.1. Прямоугольная призма				325
3.1.2.2. Цилиндрическое тело				326
3.1.2.3. Коническое тело				327
3.1.2.4. Сферическое тело				328
3.1.2.5. Тело в форме тора				329
3.1.3. Тела движения				330
3.1.3.1. Тело выдавливания				330
3.1.3.2. Тело вращения				331
3.1.3.3. Тело сдвига				332
3.1.3.4. Кинематическое тело				333
3.1.3.5. Матричная функция кинематического тела				333
3.1.3.6. Циклы граней тел движения				335
3.1.4. Тело, построенное по сечениям				336
3.1.5. Тело, построенное по поверхности				338
3.1.6. Операции над телами				340
3.1.7. Булевы операции над телами				341
3.1.7.1. Объединение тел				342
3.1.7.2. Пересечение тел				347
3.1.7.3. Вычитание тел				348
3.1.7.4. Пересекающиеся ребра				348
3.1.7.5. Совпадающие ребра				349
3.1.7.6. Правила для ребер пересечения				349
3.1.7.7. Принадлежность точки пространству внутри тела				351
3.1.7.8. Перекрывающиеся грани				351
3.1.7.9. Тела с несколькими оболочками				352
3.1.8. Разрезанное тело				353
3.1.9. Симметричное тело				354
3.1.10. Тело с достраиваемыми элементами				357
3.1.11. Эквидистантное тело				359
3.1.12. Тонкостенное тело				363
3.1.13. Обработка ребер тела				366
3.1.13.1. Скругление ребер				366
3.1.13.2. Скругление сопряженных ребер				368
3.1.13.3. Скругление вершин				369
3.1.13.4. Скругление звезд				369
3.1.13.5. Скругление с сохранением кромки				370
3.1.13.6. Гладкое сопряжение				371
3.1.13.7. Переменный радиус скругления				371
3.1.13.8. Фаски ребер				372
3.1.14. Геометрические ограничения				372
3.1.14.1. Цель введения геометрических ограничений				372
3.1.14.2. Формулировка задачи геометрических ограничений				374
3.1.14.3. Консервативный метод				375
3.1.14.4. Метод дополнительных ограничений				376
3.1.14.5. Метод кластерной декомпозиции				377
3.1.15. Геометрическая модель				378
Глава 3.2. Построения на кривых и поверхностях				381
3.2.1. Построения в геометрических моделях				381
3.2.1.1. Движение по кривой				382
3.2.1.2. Движение по поверхности				383
3.2.2. Проекция точки на кривую				384
3.2.2.1. Проекция точки на прямую линию				384
3.2.2.2. Частные случаи				385
3.2.2.3. Общий случай				385
3.2.2.4. Принадлежность точки двумерной области				386
3.2.3. Проекция точки на поверхность				387
3.2.3.1. Проекция точки на плоскость				387
3.2.3.2. Частные случаи				388
3.2.3.3. Общий случай				388
3.2.3.4. Положение точки относительно оболочки				389
3.2.4. Точки пересечения кривой и поверхности				390
3.2.4.1. Пересечение прямой и плоскости				390
3.2.4.2. Общий случай				391
3.2.5. Точки пересечения кривых				392
3.2.5.1. Пересечение прямых линий				393
3.2.5.2. Пересечение отрезков				394
3.2.5.3. Частные случаи				394
3.2.5.4. Общий случай пересечения кривых в двумерном пространстве				394
3.2.5.5. Пересечение пространственных кривых				395
3.2.6. Точки пересечения трех поверхностей				396
3.2.6.1. Пересечение трех плоскостей				396
3.2.6.2. Пересечение трех поверхностей				397
3.2.7. Линии пересечения поверхностей				397
3.2.7.1. Пересечение плоскостей				397
3.2.7.2. Частные случаи пересечения поверхностей				399
3.2.7.3. Общий случай пересечения поверхностей				400
3.2.7.4. Алгоритм построения линий пересечения				402
3.2.7.5. Радиус-вектор линии пересечения поверхностей				405
3.2.8. Поверхности сопряжения				407
3.2.8.1. Поверхности скругления				407
3.2.8.2. Переменный радиус скругления				409
3.2.8.3. Поверхность скругления с сохранением кромки				411
3.2.8.4. Поверхность скругления с заданной хордой				412
3.2.8.5. Гладкое сопряжение				413
3.2.8.6. Поверхность фаски				414
3.2.8.7. Фаска с переменными катетами				415
3.2.9. Погрешность геометрических построений				415
Глава 3.3. Геометрические вычисления				417
3.3.1. Моменты инерции плоского сечения				417
3.3.1.1. Площадь и центр масс плоского сечения				417
3.3.1.2. Моменты инерции плоского сечения				418
3.3.1.3. Вычисление моментов инерции плоского сечения				419
3.3.2. Площадь поверхности, объем и центр масс тела				422
3.3.2.1. Площадь поверхности тела				422
3.3.2.2. Объем тела				422
3.3.2.3. Статические моменты тела				423
3.3.2.4. Центр масс тела				424
3.3.3. Моменты инерции тела				425
3.3.3.1. Тензор инерции				426
3.3.3.2. Собственные значения матрицы инерции				427
3.3.3.3. Главные оси инерции				428
3.3.3.4. Эллипсоид инерции				431
3.3.3.5. Тензорное поле				432
3.3.3.6. Вычисление моментов инерции тела				433
3.3.4. Численное интегрирование по поверхности				436
3.3.4.1. Разбиение поверхности				436
3.3.4.2. Построение четырехугольных областей				436
3.3.4.3. Построение треугольных областей				437
3.3.4.4. Кубатурная формула для четырехугольной области				439
3.3.4.5. Кубатурная формула для треугольной области				441
Глава 3.4. Методы компьютерной графики				445
3.4.1. Полигоны кривых и поверхностей				445
3.4.1.1. Полигоны				445
3.4.1.2. Сетки полигонов				448
3.4.2. Силуэтные линии				449
3.4.3. Определение видимой части моделей				452
3.4.4. Триангуляция				455
3.4.4.1. Триангуляция плоскости				455
3.4.4.2. Триангуляция Делоне				456
3.4.4.3. Итеративная триангуляция Делоне				459
3.4.4.4. Триангуляция Делоне ограниченной области				460
3.4.4.5. Триангуляция поверхностей				462
3.4.4.6. Триангуляция оболочек				467
3.4.5. Моделирование оптических свойств				468
3.4.5.1. Свет				468
3.4.5.2. Модель оптических свойств				468
3.4.5.3. Диффузное отражение				469
3.4.5.4. Зеркальное отражение				469
3.4.5.5. Рассеяние света				470
3.4.5.6. Прозрачность				470
3.4.5.7. Наблюдение света				471
3.4.5.8. Описание цвета				473
3.4.6. Построение реалистических изображений				474
3.4.6.1. Переход в систему координат проекционной плоскости				475
3.4.6.2. Определение яркости и цвета точки изображения				476
3.4.6.3. Методы закраски				476
3.4.6.4. Детализация поверхностей				478
3.4.6.5. Тени				479
3.4.6.6. Прозрачность				479
Литература				481
Предметный указатель				484

Предисловие

Настоящая книга является учебником повышенного уровня по компьютерной геометрии для студентов высших учебных заведений. Книга написана коллективом авторов из Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (кафедра дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета) и из математического отдела российской фирмы АСКОН, разрабатывающей компьютерную систему автоматизированного проектирования КОМПАС-3D.

Компьютерная геометрия — молодая и бурно развивающая область прикладной математики. Ее возникновение было вызвано, в первую очередь, изобретением и широким внедрением в нашу жизнь персональных компьютеров, неотъемлемым элементом которых является плоский экран, через который и осуществляется обратная связь с пользователем.

С изобретением персональных компьютеров впервые возникла доступная возможность работать с плоским электронным изображением, управляя им «напрямую» (в режиме реального времени) с помощью достаточно мощного вычислительного устройства. Это, в свою очередь, вызвало революцию (или, по крайней мере, существенные изменения) в тех областях человеческих знаний, которые были так или иначе связаны с геометрией и с наглядным (обычно — плоским) представлением пространственных объектов. Например — в черчении, проектировании, конструировании, различного рода моделировании (как техническом, так и художественном), медицинской диагностике, оформительском деле и т. п. В наше время применение персональных компьютеров во всех этих областях никого не удивит — хотя еще 40 лет назад во многих из них работали вообще без каких-либо вычислительных устройств. При этом, конечный пользователь далеко не всегда отдает себе отчет в том, что в основе тех программ, которые позволяют ему работать с экранным изображением, лежит достаточно сложная и современная математика. В первую очередь это — дифференциальная геометрия. Подчеркнем, что именно дифференциальная геометрия является главной основой и источником многих важных идей для современной компьютерной геометрии.

Книга разделена на три части. В первой части излагаются необходимые сведения из дифференциальной геометрии и топологии. Представлены только те разделы дифференциальной геометрии, которые действительно важны или полезны для специалистов, работающих в прикладной компьютерной геометрии (как с точки зрения результатов, так и с точки зрения идей и понятий). Изложение здесь является полным, замкнутым и математически строгим. Все используемые понятия вводятся в тексте, леммы и теоремы снабжаются полными доказательствами. В то же время, подача материала максимально упрощена и доступна для читателей-нематематиков, имеющих техническое образование. Более легкому восприятию материала способствует большое количество рисунков, дополняющих и поясняющих основной текст. Данная часть написана А. Т. Фоменко. В ее редактировании принимали участии Г. В. Носовский и Д. П. Ильютко.

Вторая часть посвящена основным понятиям и определениям собственно компьютерной геометрии. Это — различные виды сплайнов, используемых в компьютерной графике, кривые и поверхности Безье, рациональные кривые и поверхности Безье, B-сплайны, B-кривые (NURBS curves в англоязычной терминологии) и B-поверхности, поверхности Кунса, поверхности Гордона и т. п. Эта часть книги также написана на математически строгом языке с полными доказательствами почти всех сформулированных утверждений. В последней главе второй части излагаются новые результаты, недавно полученные авторами и их учениками Е. С. Скрипкой и А. А. Толченниковым, и относящиеся к важной проблеме современной компьютерной геометрии — автоматической склейке проективно преобразованных изображений (multiple view geometry). Эта часть написана Г. В. Носовским и Д. П. Ильютко. Последняя глава второй части написана Г. В. Носовским, Е. С. Скрипкой и А. А. Толченниковым.

Третья часть посвящена геометрическому моделированию, в частности, математическому описанию конкретных алгоритмов, применяемых при разработке САПР. В ней описан состав, методы построения и применение математических моделей к геометрии реальных и воображаемых объектов, приведены методы компьютерной графики. Фундаментом геометрического моделирования являются дифференциальная геометрия и топология, рабочим материалом — различные кривые и поверхности.

В то же время геометрическое моделирование разрабатывает собственные методы. В основу изложения положен опыт разработки геометрического ядра системы КОМПАС-3D. Материал третьей части преподносится в максимально доступном виде и снабжен большим количеством рисунков. Третья часть написана Н. Н. Головановым. Более подробно с содержанием книги можно ознакомиться по оглавлению.

А. Т. Фоменко, Г. В. Носовский,

Н. Н. Голованов, Д. П. Ильютко.

Москва, июнь 2021 года

Об авторах

Голованов Николай Николаевич

Кандидат технических наук (1990). Окончил Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана. Известный специалист в области геометрического моделирования. Работал в Конструкторском бюро машиностроения в городе Коломна и в компании АСКОН, разрабатывающей CAD систему Компас-3D. В настоящее время работает в компании C3D Labs (дочернее подразделение АСКОН), является руководителем разработки геометрического ядра C3D, используемого многими российскими и иностранными компаниями.

Ильютко Денис Петрович

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ. Известный в нашей стране и за рубежом специалист в области дифференциальной геометрии, компьютерной геометрии, дискретной математики, вариационного исчисления, теории оптимального управления и маломерной топологии. Автор более 50 научных публикаций, в том числе 4 монографий по теории виртуальных узлов и 5 учебных пособий (три по маломерной топологии и теории графов и два по компьютерной геометрии). Читает на механико-математическом факультете МГУ спецкурсы «Компьютерная геометрия» и «Геометрия множественных проекций». Удостоен премии имени И. И. Шувалова I степени. Участник многих отечественных и международных научных проектов, поддержанных РФФИ, РНФ и другими фондами. Один из создателей Практикума по компьютерной геометрии на механико-математическом факультете МГУ.

Носовский Глеб Владимирович

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений. Известный специалист в специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов. Автор более 30 научных статей по математике и университетского учебника по компьютерной геометрии. Награжден премией Тан Чин Туан в области прикладной математики (Сингапур, 2005). Работал в университете Айзу (Япония) в области компьютерной геометрии. Читает спецкурс «Компьютерная геометрия» на механико-математическом факультете МГУ. Участник многих отечественных и международных научных проектов, поддержанных РФФИ, РНФ и другими фондами. Один из создателей Практикума по компьютерной геометрии на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Фоменко Анатолий Тимофеевич

Академик Российской академии наук, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.