URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Голованов Н.Н., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Основы дифференциальной геометрии и топологии. Основные понятия компьютерной геометрии. Геометрическое моделирование Обложка Голованов Н.Н., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Основы дифференциальной геометрии и топологии. Основные понятия компьютерной геометрии. Геометрическое моделирование
Id: 282839
1399 р.

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
Основы дифференциальной геометрии и топологии. Основные понятия компьютерной геометрии. Геометрическое моделирование. Изд. 2, испр.

URSS. 2024. 504 с. ISBN 978-5-9710-9511-8.
Типографская бумага

Аннотация

Настоящая книга является учебником повышенного уровня сложности по компьютерной геометрии — молодой и бурно развивающейся области прикладной математики. Книга написана коллективом авторов из МГУ имени М.В.Ломоносова и из математического отдела российской фирмы АСКОН, разрабатывающей компьютерную систему автоматизированного проектирования КОМПАС-3D. Книга разделена на три части. В первой части излагаются необходимые сведения из дифференциальной... (Подробнее)


Содержание
top
Предисловие12
Основные обозначения, принятые в книге14
Часть 1. Основы дифференциальной геометрии15
Глава 1.1. Введение в дифференциальную геометрию16
1.1.1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры16
1.1.1.1. Мотивировка16
1.1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты17
1.1.1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат22
1.1.2. Длина кривой24
1.1.2.1. Длина кривой в евклидовых координатах24
1.1.2.2. Длина кривой в криволинейных координатах26
1.1.2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства30
1.1.2.4. Индефинитные (знаконеопределенные) метрики32
1.1.3. Геометрия на плоскости и на сфере34
1.1.4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского40
Глава 1.2. Кривые и поверхности54
1.2.1. Теория кривых. Формулы Френе54
1.2.1.1. Теория кривых на плоскости. Кривизна54
1.2.1.2. Теория пространственных кривых. Кривизна и кручение59
1.2.2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы64
1.2.2.1. Определение поверхностей64
1.2.2.2. Первая квадратичная форма66
1.2.2.3. Вторая квадратичная форма69
1.2.2.4. Локальная теория гладких кривых на поверхности. Теорема Менье. Формула Эйлера73
1.2.2.5. Гауссова и средняя кривизны в точке на поверхности78
Глава 1.3. Общая топология88
1.3.1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств88
1.3.1.1. Метрические пространства88
1.3.1.2. Топологические пространства90
1.3.1.3. Непрерывные отображения91
1.3.1.4. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность94
1.3.1.5. Фактортопологии95
1.3.2. Связность. Аксиомы отделимости97
1.3.3. Компактные топологические пространства101
1.3.4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы104
1.3.4.1. Функциональная отделимость104
1.3.4.2. Разбиение единицы107
Глава 1.4. Гладкие многообразия (обобщение поверхностей)109
1.4.1. Понятие многообразия111
1.4.1.1. Основные определения111
1.4.1.2. Функции склейки. Определение гладкого многообразия114
1.4.1.3. Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизмы118
1.4.2. Задание многообразий уравнениями в Rn120
1.4.3. Касательные векторы и касательное пространство125
1.4.3.1. Простейшие примеры126
1.4.3.2. Общее определение касательного вектора128
1.4.3.3. Касательное пространство TP0(M)129
1.4.3.4. Производная функции по направлению130
1.4.4. Подмногообразия134
1.4.4.1. Дифференциал гладкого отображения134
1.4.4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал137
1.4.4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство139
1.4.4.4. Римановы метрики на многообразии140
1.4.5. Классификация двумерных поверхностей143
1.4.5.1. Многообразия с краем143
1.4.5.2. Ориентируемые многообразия145
1.4.5.3. Классификация двумерных гладких компактных связных многообразий без края147
1.4.6. Изометрии159
1.4.7. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций161
Часть 2. Компьютерная геометрия171
Глава 2.1. Гладкие кривые с вычислительной точки зрения172
2.1.1. Приблизительная локальная форма кривой, определяемая кривизной и кручением172
2.1.2. Формулы для кривизны и кручения кривой относительно произвольного параметра в координатах, задаваемых репером Френе174
2.1.3. Восстановление пространственной кривой по ее проекциям на координатные плоскости175
2.1.4. Приведение параметрического уравнения кривой к неявному виду177
Глава 2.2. Сплайны и кривые Безье180
2.2.1. Сплайны180
2.2.1.1. Примеры сплайнов180
2.2.1.2. Построение сплайнов Эрмита181
2.2.1.3. Псевдоупругие сплайны Эрмита183
2.2.1.4. Случай, когда на концах кривой заданы направления касательных векторов186
2.2.1.5. Кубические сплайны. Построение кубического сплайна187
2.2.1.6. Сплайн Лагранжа189
2.2.1.7. Сплайн Ньютона190
2.2.2. Кривые Безье191
2.2.2.1. Алгоритм де Кастелье196
2.2.2.2. Операторная форма кривой Безье196
2.2.2.3. Годографы кривых Безье198
2.2.2.4. Деление кривой Безье на две кривые Безье того же порядка в отношении t*:(1-t*)201
2.2.2.5. Условия сохранения гладкости сопряжения при делении кривой Безье203
2.2.2.6. Увеличение числа опорных точек без изменения формы кривой Безье203
Глава 2.3. Поверхности Безье205
2.3.1. Геометрический смысл поверхности Безье205
2.3.2. Формулы вычисления координат точек на поверхности Безье206
2.3.3. Деление поверхности Безье207
2.3.4. Геометрические свойства поверхности Безье в угловой точке207
2.3.5. Измельчение сетки при сохранении поверхности Безье208
Глава 2.4. Проективные (рациональные) кривые Безье210
2.4.1. Операция рационального деления отрезка210
2.4.2. Свойства рациональных кривых Безье213
2.4.3. Деление рациональной кривой Безье213
2.4.4. Увеличение числа опорных точек рациональной кривой Безье216
2.4.5. Производные на концах рациональной кривой Безье217
2.4.6. Рациональные поверхности Безье219
2.4.7. Представление кривых второго порядка рациональными кривыми Безье порядка 2219
Глава 2.5. B-сплайны (бета-сплайны), B-кривые (бета-кривые) и B-поверхности (бета-поверхности)223
2.5.1. Постановка задачи223
2.5.2. Разделенные разности224
2.5.3. Свойства разделенных разностей229
2.5.4. Усеченная степенная функция230
2.5.5. Рекуррентные соотношения для B-сплайнов234
2.5.6. Алгоритм вычисления радиус-вектора B-кривой237
2.5.7. Алгоритм вычисления производных B-кривой при условии, что t1=…=tm, tn+1=…=tn+m242
2.5.8. Алгоритм Де Бура вычисления радиус-вектора B-кривой245
2.5.9. Интерполяция с помощью B-кривых249
2.5.10. Представление кубического сплайна в виде B-кривой249
2.5.11. B-поверхности252
Глава 2.6. Другие способы представления поверхностей в компьютерной геометрии254
2.6.1. Линейчатые поверхности254
2.6.2. Секториальные поверхности254
2.6.3. Поверхности Кунса255
2.6.3.1. Линейные поверхности Кунса255
2.6.3.2. Матричный вид уравнения поверхности Кунса256
2.6.3.3. Обобщенные поверхности Кунса257
2.6.4. Поверхности, построенные по остову из кривых258
2.6.4.1. Поверхности Эрмита259
2.6.4.2. Применение поверхностей Эрмита: поверхность перехода260
2.6.4.3. Поверхности Лагранжа261
2.6.4.4. Поверхности Гордона262
2.6.4.5. Поверхности, затягивающие сетку кривых заплатами Кунса263
2.6.4.6. Поверхности тензорного произведения264
2.6.5. Поверхности с треугольной параметрической областью266
2.6.5.1. Барицентрические координаты266
2.6.5.2. Билинейная треугольная поверхность267
2.6.5.3. Треугольная поверхность на трех кривых267
Глава 2.7. Компьютерная геометрия проективно преобразованных изображений (Г. В. Носовский, Е. С. Скрипка, А. А. Толченников)269
2.7.1. Введение269
2.7.2. Основные понятия проективной геометрии270
2.7.3. Метод распознавания сопряженных точек по разнесениям связанных признаков (Г. В. Носовский)272
2.7.4. Устойчивость проективного преобразования к возмущениям конфигурации сопряженных точек (Г. В. Носовский, Е. С. Скрипка)279
2.7.5. Вычисление матрицы проективного преобразования и оценка ее устойчивости (Е. С. Скрипка)283
2.7.5.1. Прямой алгоритм вычисления проективного преобразования283
2.7.5.2. Оценка погрешности матрицы проективного преобразования при возмущенных начальных данных285
2.7.6. Математическая модель камеры и пары камер288
2.7.6.1. Определение финитной камеры288
2.7.6.2. Восстановление характеристик финитной камеры по ее матрице291
2.7.6.3. Геометрия двух камер. Фундаментальная матрица292
2.7.6.4. Свойства фундаментальной матрицы295
2.7.6.5. Восстановление пары камер по фундаментальной матрице295
2.7.6.6. Канонические пары камер, порожденные фундаментальной матрицей298
2.7.7. ПЛА и НЛА алгоритмы приближенного вычисления проективного преобразования. Оценка их устойчивости (Г. В. Носовский, А. А. Толченников)300
2.7.7.1. Вычисление проективного преобразования по точно заданным сопряженным точкам300
2.7.7.2. Простой линейный алгоритм (ПЛА) вычисления проективного преобразования по приближенно заданным сопряженным точкам302
2.7.7.3. Вычисление вектора, соответствующего минимальному собственному значению матрицы304
2.7.7.4. Неинвариантность ПЛА относительно движений плоскости305
2.7.7.5. Нормализованный линейный алгоритм (НЛА)309
2.7.7.6. Оценка ошибки для алгоритмов ПЛА и НЛА311
Часть 3. Геометрическое моделирование319
Глава 3.1. Геометрические модели320
3.1.1. Оболочки и тела320
3.1.1.1. Оболочка320
3.1.1.2. Оболочки для геометрического моделирования322
3.1.1.3. Тело324
3.1.2. Простейшие тела324
3.1.2.1. Прямоугольная призма325
3.1.2.2. Цилиндрическое тело326
3.1.2.3. Коническое тело327
3.1.2.4. Сферическое тело328
3.1.2.5. Тело в форме тора329
3.1.3. Тела движения330
3.1.3.1. Тело выдавливания330
3.1.3.2. Тело вращения331
3.1.3.3. Тело сдвига332
3.1.3.4. Кинематическое тело333
3.1.3.5. Матричная функция кинематического тела333
3.1.3.6. Циклы граней тел движения335
3.1.4. Тело, построенное по сечениям336
3.1.5. Тело, построенное по поверхности338
3.1.6. Операции над телами340
3.1.7. Булевы операции над телами341
3.1.7.1. Объединение тел342
3.1.7.2. Пересечение тел347
3.1.7.3. Вычитание тел348
3.1.7.4. Пересекающиеся ребра348
3.1.7.5. Совпадающие ребра349
3.1.7.6. Правила для ребер пересечения349
3.1.7.7. Принадлежность точки пространству внутри тела351
3.1.7.8. Перекрывающиеся грани351
3.1.7.9. Тела с несколькими оболочками352
3.1.8. Разрезанное тело353
3.1.9. Симметричное тело354
3.1.10. Тело с достраиваемыми элементами357
3.1.11. Эквидистантное тело359
3.1.12. Тонкостенное тело363
3.1.13. Обработка ребер тела366
3.1.13.1. Скругление ребер366
3.1.13.2. Скругление сопряженных ребер368
3.1.13.3. Скругление вершин369
3.1.13.4. Скругление звезд369
3.1.13.5. Скругление с сохранением кромки370
3.1.13.6. Гладкое сопряжение371
3.1.13.7. Переменный радиус скругления371
3.1.13.8. Фаски ребер372
3.1.14. Геометрические ограничения372
3.1.14.1. Цель введения геометрических ограничений372
3.1.14.2. Формулировка задачи геометрических ограничений374
3.1.14.3. Консервативный метод375
3.1.14.4. Метод дополнительных ограничений376
3.1.14.5. Метод кластерной декомпозиции377
3.1.15. Геометрическая модель378
Глава 3.2. Построения на кривых и поверхностях381
3.2.1. Построения в геометрических моделях381
3.2.1.1. Движение по кривой382
3.2.1.2. Движение по поверхности383
3.2.2. Проекция точки на кривую384
3.2.2.1. Проекция точки на прямую линию384
3.2.2.2. Частные случаи385
3.2.2.3. Общий случай385
3.2.2.4. Принадлежность точки двумерной области386
3.2.3. Проекция точки на поверхность387
3.2.3.1. Проекция точки на плоскость387
3.2.3.2. Частные случаи388
3.2.3.3. Общий случай388
3.2.3.4. Положение точки относительно оболочки389
3.2.4. Точки пересечения кривой и поверхности390
3.2.4.1. Пересечение прямой и плоскости390
3.2.4.2. Общий случай391
3.2.5. Точки пересечения кривых392
3.2.5.1. Пересечение прямых линий393
3.2.5.2. Пересечение отрезков394
3.2.5.3. Частные случаи394
3.2.5.4. Общий случай пересечения кривых в двумерном пространстве394
3.2.5.5. Пересечение пространственных кривых395
3.2.6. Точки пересечения трех поверхностей396
3.2.6.1. Пересечение трех плоскостей396
3.2.6.2. Пересечение трех поверхностей397
3.2.7. Линии пересечения поверхностей397
3.2.7.1. Пересечение плоскостей397
3.2.7.2. Частные случаи пересечения поверхностей399
3.2.7.3. Общий случай пересечения поверхностей400
3.2.7.4. Алгоритм построения линий пересечения402
3.2.7.5. Радиус-вектор линии пересечения поверхностей405
3.2.8. Поверхности сопряжения407
3.2.8.1. Поверхности скругления407
3.2.8.2. Переменный радиус скругления409
3.2.8.3. Поверхность скругления с сохранением кромки411
3.2.8.4. Поверхность скругления с заданной хордой412
3.2.8.5. Гладкое сопряжение413
3.2.8.6. Поверхность фаски414
3.2.8.7. Фаска с переменными катетами415
3.2.9. Погрешность геометрических построений415
Глава 3.3. Геометрические вычисления417
3.3.1. Моменты инерции плоского сечения417
3.3.1.1. Площадь и центр масс плоского сечения417
3.3.1.2. Моменты инерции плоского сечения418
3.3.1.3. Вычисление моментов инерции плоского сечения419
3.3.2. Площадь поверхности, объем и центр масс тела422
3.3.2.1. Площадь поверхности тела422
3.3.2.2. Объем тела422
3.3.2.3. Статические моменты тела423
3.3.2.4. Центр масс тела424
3.3.3. Моменты инерции тела425
3.3.3.1. Тензор инерции426
3.3.3.2. Собственные значения матрицы инерции427
3.3.3.3. Главные оси инерции428
3.3.3.4. Эллипсоид инерции431
3.3.3.5. Тензорное поле432
3.3.3.6. Вычисление моментов инерции тела433
3.3.4. Численное интегрирование по поверхности436
3.3.4.1. Разбиение поверхности436
3.3.4.2. Построение четырехугольных областей436
3.3.4.3. Построение треугольных областей437
3.3.4.4. Кубатурная формула для четырехугольной области439
3.3.4.5. Кубатурная формула для треугольной области441
Глава 3.4. Методы компьютерной графики445
3.4.1. Полигоны кривых и поверхностей445
3.4.1.1. Полигоны445
3.4.1.2. Сетки полигонов448
3.4.2. Силуэтные линии449
3.4.3. Определение видимой части моделей452
3.4.4. Триангуляция455
3.4.4.1. Триангуляция плоскости455
3.4.4.2. Триангуляция Делоне456
3.4.4.3. Итеративная триангуляция Делоне459
3.4.4.4. Триангуляция Делоне ограниченной области460
3.4.4.5. Триангуляция поверхностей462
3.4.4.6. Триангуляция оболочек467
3.4.5. Моделирование оптических свойств468
3.4.5.1. Свет468
3.4.5.2. Модель оптических свойств468
3.4.5.3. Диффузное отражение469
3.4.5.4. Зеркальное отражение469
3.4.5.5. Рассеяние света470
3.4.5.6. Прозрачность470
3.4.5.7. Наблюдение света471
3.4.5.8. Описание цвета473
3.4.6. Построение реалистических изображений474
3.4.6.1. Переход в систему координат проекционной плоскости475
3.4.6.2. Определение яркости и цвета точки изображения476
3.4.6.3. Методы закраски476
3.4.6.4. Детализация поверхностей478
3.4.6.5. Тени479
3.4.6.6. Прозрачность479
Литература481
Предметный указатель484

Предисловие
top
Настоящая книга является учебником повышенного уровня по компьютерной геометрии для студентов высших учебных заведений. Книга написана коллективом авторов из Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (кафедра дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета) и из математического отдела российской фирмы АСКОН, разрабатывающей компьютерную систему автоматизированного проектирования КОМПАС-3D.

Компьютерная геометрия — молодая и бурно развивающая область прикладной математики. Ее возникновение было вызвано, в первую очередь, изобретением и широким внедрением в нашу жизнь персональных компьютеров, неотъемлемым элементом которых является плоский экран, через который и осуществляется обратная связь с пользователем.

С изобретением персональных компьютеров впервые возникла доступная возможность работать с плоским электронным изображением, управляя им «напрямую» (в режиме реального времени) с помощью достаточно мощного вычислительного устройства. Это, в свою очередь, вызвало революцию (или, по крайней мере, существенные изменения) в тех областях человеческих знаний, которые были так или иначе связаны с геометрией и с наглядным (обычно — плоским) представлением пространственных объектов. Например — в черчении, проектировании, конструировании, различного рода моделировании (как техническом, так и художественном), медицинской диагностике, оформительском деле и т. п. В наше время применение персональных компьютеров во всех этих областях никого не удивит — хотя еще 40 лет назад во многих из них работали вообще без каких-либо вычислительных устройств. При этом, конечный пользователь далеко не всегда отдает себе отчет в том, что в основе тех программ, которые позволяют ему работать с экранным изображением, лежит достаточно сложная и современная математика. В первую очередь это — дифференциальная геометрия. Подчеркнем, что именно дифференциальная геометрия является главной основой и источником многих важных идей для современной компьютерной геометрии.

Книга разделена на три части. В первой части излагаются необходимые сведения из дифференциальной геометрии и топологии. Представлены только те разделы дифференциальной геометрии, которые действительно важны или полезны для специалистов, работающих в прикладной компьютерной геометрии (как с точки зрения результатов, так и с точки зрения идей и понятий). Изложение здесь является полным, замкнутым и математически строгим. Все используемые понятия вводятся в тексте, леммы и теоремы снабжаются полными доказательствами. В то же время, подача материала максимально упрощена и доступна для читателей-нематематиков, имеющих техническое образование. Более легкому восприятию материала способствует большое количество рисунков, дополняющих и поясняющих основной текст. Данная часть написана А. Т. Фоменко. В ее редактировании принимали участии Г. В. Носовский и Д. П. Ильютко.

Вторая часть посвящена основным понятиям и определениям собственно компьютерной геометрии. Это — различные виды сплайнов, используемых в компьютерной графике, кривые и поверхности Безье, рациональные кривые и поверхности Безье, B-сплайны, B-кривые (NURBS curves в англоязычной терминологии) и B-поверхности, поверхности Кунса, поверхности Гордона и т. п. Эта часть книги также написана на математически строгом языке с полными доказательствами почти всех сформулированных утверждений. В последней главе второй части излагаются новые результаты, недавно полученные авторами и их учениками Е. С. Скрипкой и А. А. Толченниковым, и относящиеся к важной проблеме современной компьютерной геометрии — автоматической склейке проективно преобразованных изображений (multiple view geometry). Эта часть написана Г. В. Носовским и Д. П. Ильютко. Последняя глава второй части написана Г. В. Носовским, Е. С. Скрипкой и А. А. Толченниковым.

Третья часть посвящена геометрическому моделированию, в частности, математическому описанию конкретных алгоритмов, применяемых при разработке САПР. В ней описан состав, методы построения и применение математических моделей к геометрии реальных и воображаемых объектов, приведены методы компьютерной графики. Фундаментом геометрического моделирования являются дифференциальная геометрия и топология, рабочим материалом — различные кривые и поверхности.

В то же время геометрическое моделирование разрабатывает собственные методы. В основу изложения положен опыт разработки геометрического ядра системы КОМПАС-3D. Материал третьей части преподносится в максимально доступном виде и снабжен большим количеством рисунков. Третья часть написана Н. Н. Головановым. Более подробно с содержанием книги можно ознакомиться по оглавлению.

А. Т. Фоменко, Г. В. Носовский,

Н. Н. Голованов, Д. П. Ильютко.

Москва, июнь 2021 года


Об авторах
top
photoГолованов Николай Николаевич
Кандидат технических наук (1990). Окончил Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана. Известный специалист в области геометрического моделирования. Работал в Конструкторском бюро машиностроения в городе Коломна и в компании АСКОН, разрабатывающей CAD систему Компас-3D. В настоящее время работает в компании C3D Labs (дочернее подразделение АСКОН), является руководителем разработки геометрического ядра C3D, используемого многими российскими и иностранными компаниями.
photoИльютко Денис Петрович
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ. Известный в нашей стране и за рубежом специалист в области дифференциальной геометрии, компьютерной геометрии, дискретной математики, вариационного исчисления, теории оптимального управления и маломерной топологии. Автор более 50 научных публикаций, в том числе 4 монографий по теории виртуальных узлов и 5 учебных пособий (три по маломерной топологии и теории графов и два по компьютерной геометрии). Читает на механико-математическом факультете МГУ спецкурсы «Компьютерная геометрия» и «Геометрия множественных проекций». Удостоен премии имени И. И. Шувалова I степени. Участник многих отечественных и международных научных проектов, поддержанных РФФИ, РНФ и другими фондами. Один из создателей Практикума по компьютерной геометрии на механико-математическом факультете МГУ.
photoНосовский Глеб Владимирович
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений. Известный специалист в специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов. Автор более 30 научных статей по математике и университетского учебника по компьютерной геометрии. Награжден премией Тан Чин Туан в области прикладной математики (Сингапур, 2005). Работал в университете Айзу (Япония) в области компьютерной геометрии. Читает спецкурс «Компьютерная геометрия» на механико-математическом факультете МГУ. Участник многих отечественных и международных научных проектов, поддержанных РФФИ, РНФ и другими фондами. Один из создателей Практикума по компьютерной геометрии на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.
photoФоменко Анатолий Тимофеевич
Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.