Обложка Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений
Id: 282619
557 руб.

Введение в теорию дифференциальных уравнений. Изд. 5

URSS. 2022. 248 с. ISBN 978-5-9519-2865-8.
Типографская бумага

Аннотация

Книга содержит весь учебный материал в соответствии с программой курса дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов. Имеется также небольшое количество дополнительного материала, связанного с техническими приложениями. Это позволяет выбирать материал для лекций в зависимости от профиля вуза. Объем книги существенно уменьшен по сравнению с имеющимися учебниками... (Подробнее)


Содержание
Предисловие5
Глава 1. Дифференциальные уравнения и их решения7
1.1. Понятие о дифференциальном уравнении7
1.2. Простейшие методы отыскания решений14
1.3. Методы понижения порядка уравнений23
Глава 2. Существование и общие свойства решений27
2.1. Нормальный вид системы дифференциальных уравнений и ее векторная запись27
2.2. Существование и единственность решения34
2.3. Продолжение решений47
2.4. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения52
2.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной57
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и системы67
3.1. Свойства линейных систем67
3.2. Линейные уравнения любого порядка81
3.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами92
3.4. Линейные уравнения второго порядка109
3.5. Краевые задачи115
3.6. Линейные системы с постоянными коэффициентами124
3.7. Показательная функция матрицы138
3.8. Линейные системы с периодическими коэффициентами146
Глава 4. Автономные системы и устойчивость151
4.1. Автономные системы151
4.2. Понятие устойчивости159
4.3. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова167
4.4. Устойчивость по первому приближению175
4.5. Особые точки181
4.6. Предельные циклы190
Глава 5. Дифференцируемость решения по параметру и ее применения196
5.1. Дифференцируемость решения по параметру196
5.2. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений203
5.3. Первые интегралы213
5.4. Уравнения с частными производными первого порядка222
Литература235
Предметный указатель238

Предисловие

Книга содержит подробное изложение всех вопросов программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений для механико-математических и физико-математических специальностей университетов, а также некоторые другие вопросы, актуальные для современной теории дифференциальных уравнений и приложений: краевые задачи, линейные уравнения с периодическими коэффициентами, асимптотические методы решения дифференциальных уравнений; расширен материал по теории устойчивости.

Новый материал и некоторые вопросы, традиционно включающиеся в курс (например, теоремы о колеблющихся решениях), но не обязательные для первого знакомства с теорией дифференциальных уравнений, даны мелким шрифтом, начало и конец которого отделены горизонтальными стрелками. В зависимости от профиля вуза и направлений подготовки студентов на кафедре остается выбор, что из этих вопросов включать в курс лекций и программу экзамена.

Объем книги существенно меньше объема известных учебников по данному курсу за счет сокращения дополнительного (не входящего в обязательную программу) материала и за счет выбора более простых доказательств из имеющихся в учебной литературе.

Материал излагается подробно и доступно для студентов со средним уровнем подготовки. Используются лишь классические понятия математического анализа и основные сведения из линейной алгебры, включая жорданову форму матрицы. Вводится минимальное число новых определений. После изложения теоретического материала приводятся с подробными пояснениями примеры его применения. Указываются номера задач для упражнений из "Сборника задач по дифференциальным уравнениям" А.Ф.Филиппова.

В конце почти каждого параграфа перечисляются несколько направлений, в которых развивались исследования по данному вопросу, -- направлений, которые можно назвать, пользуясь уже известными понятиями, и по которым имеется литература на русском языке.

В каждой главе книги принята своя нумерация теорем, примеров, формул. Ссылки на материал других глав редки и даются с указанием номера главы или параграфа.


Об авторе
Филиппов А.Ф.
Советский и российский математик, доктор физико-математических наук (1976), профессор (1980). Участник Великой Отечественной войны. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова (1950). С 1953 г. и до конца жизни работал на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (с 1978 г. — профессор). Награжден медалями «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», «Ветеран труда», «За доблестный труд» и др. Лауреат премии имени М. В. Ломоносовa за педагогическую деятельность (1993). В 1996 г. удостоен звания «Заслуженный профессор МГУ».

А. Ф. Филиппов опубликовал более 70 научных работ и несколько монографий, читал ряд курсов по дифференциальным уравнениям на мехмате МГУ. Одной из первых опубликованных работ А. Ф. Филиппова стало элементарное доказательство теоремы Жордана. Среди его научных интересов дифференциальные уравнения, теория дифракции, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, дифференциальные включения. Широко известные учебник и задачник А. Ф. Филиппова по дифференциальным уравнениям используются для проведения занятий как в российских университетах, так и в зарубежных учебных заведениях.