Предисловие | 9
|
Список обозначений | 21
|
Глава 1. Элементарные подходы к задачам вариационного исчисления и оптимального управления | 30
|
1. Как возникло вариационное исчисление | 30
|
2. Простейшая задача вариационного исчисления | 31
|
2.1. Постановка задачи | 31
|
2.2. Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления | 33
|
2.3. Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дюбуа-Реймона | 36
|
2.4. Простейшая задача в n-мерном случае | 39
|
2.5. Интегралы уравнения Эйлера | 39
|
2.6. Примеры | 40
|
3. Задача Больца | 41
|
3.1. Постановка задачи | 41
|
3.2. Необходимое условие экстремума | 42
|
3.3. Многомерный случай | 44
|
3.4. Пример | 46
|
4. Необходимые условия сильного экстремума | 47
|
4.1. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса | 48
|
4.2. Условие (γ) | 52
|
5. Задача оптимального управления | 56
|
5.1. Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом | 57
|
5.2. Пример | 63
|
Глава 2. Предварительные сведения | 66
|
1. Теорема Банаха об открытом отображении и теоремы об отделимости выпуклых множеств. Следствия из них | 66
|
2. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах. Теоремы о суперпозиции, обратном отображении и касательном пространстве | 75
|
3. Сопряженные функции. Теорема Фенхеля—Моро | 82
|
Глава 3. Необходимые условия экстремума (принцип Лагранжа) | 89
|
1. Принцип Лагранжадля гладких задач с равенствами и неравенствами | 90
|
2. Принцип Лагранжа для выпуклых задач | 94
|
3. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа | 97
|
4. Принцип максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления | 104
|
4.1. Формулировка принципа максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления | 104
|
4.2. Доказательство принципа максимума для вспомогательной задачи Милютина | 107
|
4.3. Доказательство принципа максимума для общей задачи | 117
|
4.4. Задачи | 120
|
Глава 4. Необходимые условия и достаточные условия второго порядка в гладких задачах с ограничениями | 123
|
1. Необходимые условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами | 124
|
1.1. Условие непересечения конечного числа выпуклых множеств: теорема Дубовицкого—Милютина | 124
|
1.2. Необходимые условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами | 126
|
1.3. Пример | 130
|
1.4. Пример | 131
|
2. Достаточные условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами | 132
|
2.1. Оценка расстояния до множества решений системы линейных однородных неравенств и равенств | 132
|
2.2. Достаточные условия второго порядка | 134
|
2.3. Пример | 136
|
2.4. Пример, когда максимум квадратичных форм положителен, в то время как ни одна из них таковой не является (А. А. Милютин) | 137
|
Глава 5. Необходимые и достаточные условия минимума в вариационном исчислении | 141
|
1. Необходимые условия Эйлера, Лежандра, Якоби и Вейерштрасса для простейшей задачи классического вариационного исчисления | 141
|
2. Канонические уравнения. Интегральный инвариант | 147
|
2.1. Канонические переменные | 147
|
2.2. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана | 149
|
2.3. Теория поля в простейшей задаче | 152
|
3. Достаточные условия минимума в простейшей задаче вариационного исчисления | 154
|
3.1. Поле экстремалей. Уравнение Гамильтона—Якоби | 154
|
3.2. Погружение экстремали в поле и достаточное условие минимума | 157
|
3.3. Теорема Морса | 160
|
3.4. Геодезические на римановом многообразии | 167
|
Глава 6. Существование решений экстремальных задач | 173
|
1. Принцип компактности | 173
|
1.1. Предварительные сведения | 173
|
1.2. Принцип компактности | 176
|
1.3. Теорема Мазура и ее следствия | 179
|
2. Постановка задачи о существовании решения. Контрпримеры | 181
|
2.1. Одномерная вариационная задача | 182
|
2.2. Примеры несуществования решения | 183
|
3. Существование решений вариационной задачи | 188
|
3.1. Пространства Соболева | 188
|
3.2. Вариационная задача: коэрцитивность и условия роста | 193
|
3.3. Квазирегулярность и полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости | 197
|
3.4. Необходимость условий квазирегулярности | 200
|
3.5. Теорема Тонелли | 201
|
4. Уравнение Эйлера | 202
|
4.1. Необходимое условие минимума | 202
|
4.2. Эллиптические уравнения | 205
|
5. Вариационные неравенства | 209
|
5.1. Абстрактное неравенство | 209
|
5.2. Задача с препятствием | 210
|
6. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами | 213
|
6.1. Абстрактная нелинейная задача управления | 213
|
6.2. Пространства H-1(Ω) | 216
|
6.3. Пример задачи оптимального управления | 218
|
6.4. Система оптимальности | 221
|
Глава 7. Методы выпуклой оптимизации | 224
|
1. Постановка задачи | 224
|
2. Задачи одномерной оптимизации | 226
|
3. Метод Левина—Ньюмена центрированных сечений | 231
|
4. Метод эллипсоидов | 233
|
5. Метод симплексов | 238
|
6. Оценки наименьшего значения выпуклой функции | 242
|
Глава 8. Решение задач | 244
|
1. Обобщенная задача Архимеда | 244
|
2. Задача Аполлония | 246
|
3. Аэродинамическая задача Ньютона | 248
|
4. Задача о брахистохроне | 252
|
5. Простейшая задача о быстродействии | 256
|
Приложение 1. Необходимые условия экстремума | 259
|
1. Задачи без ограничений | 259
|
1.1. Предварительные сведения | 261
|
1.2. Формулировка теоремы и ее доказательство | 263
|
2. Простейшая задача вариационного исчисления | 263
|
2.1. Предварительные сведения | 265
|
2.2. Формулировка теоремы и ее доказательство | 265
|
3. Задачи с ограничениями типа равенств | 267
|
3.1. Предварительные сведения | 268
|
3.2. Формулировка теоремы и ее доказательство | 269
|
4. Задача Лагранжа. Уравнения Эйлера—Лагранжа | 271
|
4.1. Предварительные сведения | 272 |
4.2. Формулировка теоремы и ее доказательство | 274
|
5. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств | 277
|
5.1. Предварительные сведения | 278
|
6. Задача оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина | 279
|
6.1. Предварительные сведения | 280
|
6.2. Формулировка теоремы и ее доказательство | 281
|
Приложение 2. Теорема Милютина о накрывании и принцип Лагранжа | 287
|
1. Теорема Милютина о накрывании | 287
|
2. Вариационный принцип Экланда и теорема о накрывании | 292
|
3. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств | 295
|
4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств | 298
|
Приложение 3. Об истории теории экстремальных задач | 302
|
1. Предыстория | 302
|
2. XVII век: рождение теории экстремума | 303
|
3. XVIII век: начала вариационного исчисления | 304
|
4. XIX век: дальнейшее развитие вариационного исчисления | 306
|
5. О развитии теории экстремума в XX веке | 308
|
Задачник | 316
|
1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений | 302
|
2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами | 303
|
3. Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами | 304
|
4. Выпуклые задачи | 306
|
5. Элементы функционального анализа | 308
|
6. Простейшая задача вариационного исчисления | 332
|
7. Задачи Больца | 341
|
8. Задачи с подвижными концами | 343
|
9. Изопериметрические задачи | 348
|
10. Задачи со старшими производными | 353
|
11. Задачи Лагранжа | 358
|
12. Задачи оптимального управления | 369
|
13. Исследование простейшей задачи вариационного исчисления | 380
|
14. Многомерные вариационные задачи | 387
|
15. Накрывания | 392
|
16. Алгоритмы выпуклой минимизации | 395
|
Литература | 400
|
Предметный указатель | 402
|
Об авторах | 405
|