Обложка Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Оптимальное управление
Id: 282009
999 руб.

Оптимальное управление. Изд. 2, испр. и доп.

URSS. 2022. 408 с. ISBN 978-5-9710-9751-8.
Типографская бумага

Аннотация

Книга является переизданием работы авторского коллектива кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова. В ней представлены основные разделы современной теории экстремальных задач: необходимые и достаточные условия экстремума, теоремы существования экстремума, численные алгоритмы, а также имеется большое количество задач, снабженных решениями или ответами. Книга отражает многолетний научный и преподавательский... (Подробнее)


Содержание
Предисловие9
Список обозначений21
Глава 1. Элементарные подходы к задачам вариационного исчисления и оптимального управления30
1. Как возникло вариационное исчисление30
2. Простейшая задача вариационного исчисления31
2.1. Постановка задачи31
2.2. Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления33
2.3. Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дюбуа-Реймона36
2.4. Простейшая задача в n-мерном случае39
2.5. Интегралы уравнения Эйлера39
2.6. Примеры40
3. Задача Больца41
3.1. Постановка задачи41
3.2. Необходимое условие экстремума42
3.3. Многомерный случай44
3.4. Пример46
4. Необходимые условия сильного экстремума47
4.1. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса48
4.2. Условие (γ)52
5. Задача оптимального управления56
5.1. Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом57
5.2. Пример63
Глава 2. Предварительные сведения66
1. Теорема Банаха об открытом отображении и теоремы об отделимости выпуклых множеств. Следствия из них66
2. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах. Теоремы о суперпозиции, обратном отображении и касательном пространстве75
3. Сопряженные функции. Теорема Фенхеля—Моро82
Глава 3. Необходимые условия экстремума (принцип Лагранжа)89
1. Принцип Лагранжадля гладких задач с равенствами и неравенствами90
2. Принцип Лагранжа для выпуклых задач94
3. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа97
4. Принцип максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления104
4.1. Формулировка принципа максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления104
4.2. Доказательство принципа максимума для вспомогательной задачи Милютина107
4.3. Доказательство принципа максимума для общей задачи117
4.4. Задачи120
Глава 4. Необходимые условия и достаточные условия второго порядка в гладких задачах с ограничениями123
1. Необходимые условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами124
1.1. Условие непересечения конечного числа выпуклых множеств: теорема Дубовицкого—Милютина124
1.2. Необходимые условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами126
1.3. Пример130
1.4. Пример131
2. Достаточные условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами132
2.1. Оценка расстояния до множества решений системы линейных однородных неравенств и равенств132
2.2. Достаточные условия второго порядка134
2.3. Пример136
2.4. Пример, когда максимум квадратичных форм положителен, в то время как ни одна из них таковой не является (А. А. Милютин)137
Глава 5. Необходимые и достаточные условия минимума в вариационном исчислении141
1. Необходимые условия Эйлера, Лежандра, Якоби и Вейерштрасса для простейшей задачи классического вариационного исчисления141
2. Канонические уравнения. Интегральный инвариант147
2.1. Канонические переменные147
2.2. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана149
2.3. Теория поля в простейшей задаче152
3. Достаточные условия минимума в простейшей задаче вариационного исчисления154
3.1. Поле экстремалей. Уравнение Гамильтона—Якоби154
3.2. Погружение экстремали в поле и достаточное условие минимума157
3.3. Теорема Морса160
3.4. Геодезические на римановом многообразии167
Глава 6. Существование решений экстремальных задач173
1. Принцип компактности173
1.1. Предварительные сведения173
1.2. Принцип компактности176
1.3. Теорема Мазура и ее следствия179
2. Постановка задачи о существовании решения. Контрпримеры181
2.1. Одномерная вариационная задача182
2.2. Примеры несуществования решения183
3. Существование решений вариационной задачи188
3.1. Пространства Соболева188
3.2. Вариационная задача: коэрцитивность и условия роста193
3.3. Квазирегулярность и полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости197
3.4. Необходимость условий квазирегулярности200
3.5. Теорема Тонелли201
4. Уравнение Эйлера202
4.1. Необходимое условие минимума202
4.2. Эллиптические уравнения205
5. Вариационные неравенства209
5.1. Абстрактное неравенство209
5.2. Задача с препятствием210
6. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами213
6.1. Абстрактная нелинейная задача управления213
6.2. Пространства H-1(Ω)216
6.3. Пример задачи оптимального управления218
6.4. Система оптимальности221
Глава 7. Методы выпуклой оптимизации224
1. Постановка задачи224
2. Задачи одномерной оптимизации226
3. Метод Левина—Ньюмена центрированных сечений231
4. Метод эллипсоидов233
5. Метод симплексов238
6. Оценки наименьшего значения выпуклой функции242
Глава 8. Решение задач244
1. Обобщенная задача Архимеда244
2. Задача Аполлония246
3. Аэродинамическая задача Ньютона248
4. Задача о брахистохроне252
5. Простейшая задача о быстродействии256
Приложение 1. Необходимые условия экстремума259
1. Задачи без ограничений259
1.1. Предварительные сведения261
1.2. Формулировка теоремы и ее доказательство263
2. Простейшая задача вариационного исчисления263
2.1. Предварительные сведения265
2.2. Формулировка теоремы и ее доказательство265
3. Задачи с ограничениями типа равенств267
3.1. Предварительные сведения268
3.2. Формулировка теоремы и ее доказательство269
4. Задача Лагранжа. Уравнения Эйлера—Лагранжа271
4.1. Предварительные сведения272
4.2. Формулировка теоремы и ее доказательство274
5. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств277
5.1. Предварительные сведения278
6. Задача оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина279
6.1. Предварительные сведения280
6.2. Формулировка теоремы и ее доказательство281
Приложение 2. Теорема Милютина о накрывании и принцип Лагранжа287
1. Теорема Милютина о накрывании287
2. Вариационный принцип Экланда и теорема о накрывании292
3. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств295
4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств298
Приложение 3. Об истории теории экстремальных задач302
1. Предыстория302
2. XVII век: рождение теории экстремума303
3. XVIII век: начала вариационного исчисления304
4. XIX век: дальнейшее развитие вариационного исчисления306
5. О развитии теории экстремума в XX веке308
Задачник316
1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений302
2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами303
3. Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами304
4. Выпуклые задачи306
5. Элементы функционального анализа308
6. Простейшая задача вариационного исчисления332
7. Задачи Больца341
8. Задачи с подвижными концами343
9. Изопериметрические задачи348
10. Задачи со старшими производными353
11. Задачи Лагранжа358
12. Задачи оптимального управления369
13. Исследование простейшей задачи вариационного исчисления380
14. Многомерные вариационные задачи387
15. Накрывания392
16. Алгоритмы выпуклой минимизации395
Литература400
Предметный указатель402
Об авторах405

Об авторах
Галеев Эльфат Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 200 работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач, теории аппроксимации и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ и подготовке к ЕГЭ.

Зеликин Михаил Ильич
Член-корреспондент РАН. Доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, оптимальное управление, теория игр.
Конягин Сергей Владимирович
Академик РАН. Доктор физико-математических наук, заведующий отделом теории чисел Математического института имени В. А. Стеклова. Научные интересы: гармонический анализ, теория функций и приближений, теория чисел.
Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, ведущий научный сотрудник ИППИ имени А. А. Харкевича РАН. Научные интересы: теория приближений, теория экстремальных задач, выпуклый анализ.
Осмоловский Николай Павлович
Доктор физико-математических наук, профессор Института системных исследований Польской академии наук в Варшаве. Область научных интересов: оптимальное управление, функциональный анализ.
Протасов Владимир Юрьевич
Доктор физико-математических наук, профессор РАН, член-корреспондент РАН. Основные труды по функциональному анализу, оптимизации, теории матриц, численным методам и алгоритмам, геометрии.
Тихомиров Владимир Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор МГУ. Область научных интересов: теория приближений, теория экстремальных задач, функциональный анализ.
Фурсиков Андрей Владимирович
Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общих проблем управления механико- математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор МГУ, лауреат премии Александра фон Гумбольдта. Область научных интересов: дифференциальные уравнения в частных производных, математические задачи управления и гидромеханики.