Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Оптимальное управление Изд. 2, испр. и доп.

2022. 408 с.

Серия: Классический учебник МГУ

Типографская бумага

Аннотация

Книга является переизданием работы авторского коллектива кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова. В ней представлены основные разделы современной теории экстремальных задач: необходимые и достаточные условия экстремума, теоремы существования экстремума, численные алгоритмы, а также имеется большое количество задач, снабженных решениями или ответами. Книга отражает многолетний научный и преподавательский... (Подробнее)

Содержание

Предисловие				9
Список обозначений				21
Глава 1. Элементарные подходы к задачам вариационного исчисления и оптимального управления				30
1. Как возникло вариационное исчисление				30
2. Простейшая задача вариационного исчисления				31
2.1. Постановка задачи				31
2.2. Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления				33
2.3. Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дюбуа-Реймона				36
2.4. Простейшая задача в n-мерном случае				39
2.5. Интегралы уравнения Эйлера				39
2.6. Примеры				40
3. Задача Больца				41
3.1. Постановка задачи				41
3.2. Необходимое условие экстремума				42
3.3. Многомерный случай				44
3.4. Пример				46
4. Необходимые условия сильного экстремума				47
4.1. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса				48
4.2. Условие (γ)				52
5. Задача оптимального управления				56
5.1. Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом				57
5.2. Пример				63
Глава 2. Предварительные сведения				66
1. Теорема Банаха об открытом отображении и теоремы об отделимости выпуклых множеств. Следствия из них				66
2. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах. Теоремы о суперпозиции, обратном отображении и касательном пространстве				75
3. Сопряженные функции. Теорема Фенхеля—Моро				82
Глава 3. Необходимые условия экстремума (принцип Лагранжа)				89
1. Принцип Лагранжадля гладких задач с равенствами и неравенствами				90
2. Принцип Лагранжа для выпуклых задач				94
3. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа				97
4. Принцип максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления				104
4.1. Формулировка принципа максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления				104
4.2. Доказательство принципа максимума для вспомогательной задачи Милютина				107
4.3. Доказательство принципа максимума для общей задачи				117
4.4. Задачи				120
Глава 4. Необходимые условия и достаточные условия второго порядка в гладких задачах с ограничениями				123
1. Необходимые условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами				124
1.1. Условие непересечения конечного числа выпуклых множеств: теорема Дубовицкого—Милютина				124
1.2. Необходимые условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами				126
1.3. Пример				130
1.4. Пример				131
2. Достаточные условия второго порядка в гладких задачах с равенствами и неравенствами				132
2.1. Оценка расстояния до множества решений системы линейных однородных неравенств и равенств				132
2.2. Достаточные условия второго порядка				134
2.3. Пример				136
2.4. Пример, когда максимум квадратичных форм положителен, в то время как ни одна из них таковой не является (А. А. Милютин)				137
Глава 5. Необходимые и достаточные условия минимума в вариационном исчислении				141
1. Необходимые условия Эйлера, Лежандра, Якоби и Вейерштрасса для простейшей задачи классического вариационного исчисления				141
2. Канонические уравнения. Интегральный инвариант				147
2.1. Канонические переменные				147
2.2. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана				149
2.3. Теория поля в простейшей задаче				152
3. Достаточные условия минимума в простейшей задаче вариационного исчисления				154
3.1. Поле экстремалей. Уравнение Гамильтона—Якоби				154
3.2. Погружение экстремали в поле и достаточное условие минимума				157
3.3. Теорема Морса				160
3.4. Геодезические на римановом многообразии				167
Глава 6. Существование решений экстремальных задач				173
1. Принцип компактности				173
1.1. Предварительные сведения				173
1.2. Принцип компактности				176
1.3. Теорема Мазура и ее следствия				179
2. Постановка задачи о существовании решения. Контрпримеры				181
2.1. Одномерная вариационная задача				182
2.2. Примеры несуществования решения				183
3. Существование решений вариационной задачи				188
3.1. Пространства Соболева				188
3.2. Вариационная задача: коэрцитивность и условия роста				193
3.3. Квазирегулярность и полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости				197
3.4. Необходимость условий квазирегулярности				200
3.5. Теорема Тонелли				201
4. Уравнение Эйлера				202
4.1. Необходимое условие минимума				202
4.2. Эллиптические уравнения				205
5. Вариационные неравенства				209
5.1. Абстрактное неравенство				209
5.2. Задача с препятствием				210
6. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами				213
6.1. Абстрактная нелинейная задача управления				213
6.2. Пространства H^-1(Ω)				216
6.3. Пример задачи оптимального управления				218
6.4. Система оптимальности				221
Глава 7. Методы выпуклой оптимизации				224
1. Постановка задачи				224
2. Задачи одномерной оптимизации				226
3. Метод Левина—Ньюмена центрированных сечений				231
4. Метод эллипсоидов				233
5. Метод симплексов				238
6. Оценки наименьшего значения выпуклой функции				242
Глава 8. Решение задач				244
1. Обобщенная задача Архимеда				244
2. Задача Аполлония				246
3. Аэродинамическая задача Ньютона				248
4. Задача о брахистохроне				252
5. Простейшая задача о быстродействии				256
Приложение 1. Необходимые условия экстремума				259
1. Задачи без ограничений				259
1.1. Предварительные сведения				261
1.2. Формулировка теоремы и ее доказательство				263
2. Простейшая задача вариационного исчисления				263
2.1. Предварительные сведения				265
2.2. Формулировка теоремы и ее доказательство				265
3. Задачи с ограничениями типа равенств				267
3.1. Предварительные сведения				268
3.2. Формулировка теоремы и ее доказательство				269
4. Задача Лагранжа. Уравнения Эйлера—Лагранжа				271
4.1. Предварительные сведения				272
4.2. Формулировка теоремы и ее доказательство				274
5. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств				277
5.1. Предварительные сведения				278
6. Задача оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина				279
6.1. Предварительные сведения				280
6.2. Формулировка теоремы и ее доказательство				281
Приложение 2. Теорема Милютина о накрывании и принцип Лагранжа				287
1. Теорема Милютина о накрывании				287
2. Вариационный принцип Экланда и теорема о накрывании				292
3. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств				295
4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств				298
Приложение 3. Об истории теории экстремальных задач				302
1. Предыстория				302
2. XVII век: рождение теории экстремума				303
3. XVIII век: начала вариационного исчисления				304
4. XIX век: дальнейшее развитие вариационного исчисления				306
5. О развитии теории экстремума в XX веке				308
Задачник				316
1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений				302
2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами				303
3. Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами				304
4. Выпуклые задачи				306
5. Элементы функционального анализа				308
6. Простейшая задача вариационного исчисления				332
7. Задачи Больца				341
8. Задачи с подвижными концами				343
9. Изопериметрические задачи				348
10. Задачи со старшими производными				353
11. Задачи Лагранжа				358
12. Задачи оптимального управления				369
13. Исследование простейшей задачи вариационного исчисления				380
14. Многомерные вариационные задачи				387
15. Накрывания				392
16. Алгоритмы выпуклой минимизации				395
Литература				400
Предметный указатель				402
Об авторах				405

Об авторах

Галеев Эльфат Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 200 работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач, теории аппроксимации и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ и подготовке к ЕГЭ.

Зеликин Михаил Ильич

Член-корреспондент РАН. Доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, оптимальное управление, теория игр.

Конягин Сергей Владимирович

Академик РАН. Доктор физико-математических наук, заведующий отделом теории чисел Математического института имени В. А. Стеклова. Научные интересы: гармонический анализ, теория функций и приближений, теория чисел.

Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, ведущий научный сотрудник ИППИ имени А. А. Харкевича РАН. Научные интересы: теория приближений, теория экстремальных задач, выпуклый анализ.

Осмоловский Николай Павлович

Доктор физико-математических наук, профессор Института системных исследований Польской академии наук в Варшаве. Область научных интересов: оптимальное управление, функциональный анализ.

Протасов Владимир Юрьевич

Доктор физико-математических наук, профессор РАН, член-корреспондент РАН. Основные труды по функциональному анализу, оптимизации, теории матриц, численным методам и алгоритмам, геометрии.

Тихомиров Владимир Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор МГУ. Область научных интересов: теория приближений, теория экстремальных задач, функциональный анализ.

Фурсиков Андрей Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общих проблем управления механико- математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный профессор МГУ, лауреат премии Александра фон Гумбольдта. Область научных интересов: дифференциальные уравнения в частных производных, математические задачи управления и гидромеханики.