Алексеев Ю.К., Сухоруков А.П. Введение в теорию катастроф № 47. Изд. стереотип.

Оглавление

Синергетика, теория катастроф, курсы лекций (Г. Г. Малинецкий)

В настоящее время самым активным образом развиваются междисциплинарные научные подходы. Дело в том, что амбициозные задачи, которые ставит перед собой человечество, -- решение энергетической проблемы, нанотехнологический проект, создание новой медицины и развитие нового подхода к природопользованию, переход к новым алгоритмам развития человечества -- не признают узкой цеховой раздробленности научного сообщества. Они требуют целостного видения, комплексного системного подхода. Поэтому неудивительно, что междисциплинарные подходы в науке находятся в центре внимания исследователей и руководителей, предпринимателей и политиков. На них надеются. От них многого ждут.

Одним из наиболее успешных и перспективных междисциплинарных подходов является теория самоорганизации, или синергетика. Вводя этот термин, немецкий физик-теоретик Герман Хакен вложил в него два смысла. С одной стороны, это теория, рассматривающая возникновение новых качеств, свойств, стратегий у сложных систем, элементы которых таковыми не обладают. Иными словами, она сосредотачивает внимание на проблеме, поставленной еще греческими философами, -- "целое" то "больше", то "меньше" своих частей и отчего так получается. Второй смысл -- это научный подход, развитие которого требует творческого взаимодействия естественников, гуманитариев, математиков.

Синергетика сейчас выступает как теория неустойчивости. Неустойчивость в представлении современных ученых оказывается столь же общей и фундаментальной сущностью, как движение, сознание или информация. Известный методолог науки В. Г. Буданов рассматривает синергетику как область науки, лежащую на пересечении областей предметного знания, математического моделирования и философской рефлексии. При этом каждый компонент этой триады важен и значим.

При столь общих формулировках естественным желанием оказывается выделить язык этого подхода и, говоря словами выдающегося философа науки И. Лакатоса, "твердое ядро" этого подхода. Взглянуть на все эти идеи с математической точки зрения.

Математическим языком для синергетики оказывается асимптотический анализ. Именно он во многих случаях помогает разобраться, что велико, а что мало в этой задаче, что существенно, а что нет. Математик, механик, философ Р. Г. Баранцев считает, что суть асимптотических методов выражает системная триада: простота -- точность -- область применимости. При этом каждая из этих трех категорий выступает своеобразным "арбитром" в споре двух других.

И в этом контексте теория катастроф занимает в синергетике очень важное, совершенно особое место. Причин у этого несколько.

• Теория катастроф -- метод асимптотического анализа множества нелинейных систем, которые можно моделировать уравнением вида, x = d U(x,lambda)/d lambda, где lambda = lambda₁,...lambda_m-- вектор параметров.
• Эта теория междисциплинарна по своему духу. Она находит одни и те же математические структуры, одни и те же катастрофы и бифуркации в оптике и механике, в экономике и психологии, в гидродинамике и теории управления. Она показывает, что за многообразием задач, уравнений, проектов есть внутреннее единство, есть возможность нового, более глубокого понимания реальности. Она и есть то конкретное воплощение междисциплинарности, которое лежит в основе синергетики.
• Теория катастроф выросла из конкретной прикладной задачи. Альберт Эйнштейн полагал, что для физической теории необходимо "внешнее оправдание", те конкретные экспериментальные факты, которые надо объяснить и "внутреннее совершенство" -- следование логике самой науки. Евклид создавал геометрию, надеясь разобраться с проблемой анализа правильных многогранников. "Внутреннее совершенство" явно преобладало тут над "внешним оправданием". Три классические задачи древности -- квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба -- тоже явно идут по разряду "внутреннего совершенства" и фундаментальных наук.
• Здесь же теория исходили из конкретной прикладной задачи. Р. Том решил построить новую теорию морфогенеза, или клеточной дифференцировки. Это фундаментальная проблема современной биологии. В самом деле, каждая клетка несет идентичную информацию. Как же в процессе развития клетки "узнают", какой из них предстоит стать клеткой желудка, а какими мозга? И для решения этой задачи Р. Том построил одну из самых изящных математических теорий ХХ века -- теорию катастроф. Видимо, "внешнее оправдание", то, что связывают с "прикладной математикой", будет играть всё более важную роль в нашем познании реальности.
• Эта теория продолжает сразу несколько математических традиций, одни из которых были заложены еще Ньютоном (анализ рядов, вычисления, какие члены надо отбросить, а какие сохранять), другие -- Пуанкаре (сама идея асимптотического анализа, в котором сходимость рядов играет не главную роль, во всяком случае "хвост не всегда виляет собакой"), третьи родились в геометрии и топологии. Разумеется, эта связь между прошлым, настоящим и будущим науки ("внутреннее совершенство") тоже очень важна с точки зрения междисциплинарности, попыток выделить и увидеть инварианты в научном познании.
• Эта теория обладает ясностью и наглядностью. Она развилась до столь высокой степени, что в ней удалось увидеть и очертить собственные границы. Действительно, когда размерность вектора параметра lambda единица m = 1, то типична лишь одна "катастрофа" -- складка, если m = 2, то появляется еще и сборка, если m =< 5, то существует составленный Р. Томом список 7 знаменитых катастроф (о которых и идет речь в этой книге). А дальше предел -- появляются непрерывные инварианты-модули. По сути, это означает невозможность провести классификацию. Такие результаты всегда вдохновляли математику, бросали ей вызов и стимулировали возникновение новых задач. В самом деле -- то, что не всё можно проинтегрировать в элементарных функциях, что не удается найти общую формулу решения алгебраического уравнения степени больше 5, что нет общего приема интегрирования дифференциальных уравнений в квадратурах -- это осознанные ограничения, толкающие на поиск нового. Прежде всего поиск тех явлений в нашей реальности, которые и порождают эту невозможность ("внешние оправдания") и приводят к новым постановкам задач ("внутреннее совершенство").

Теория катастроф -- идеальный образ такого подхода. Наверно, ее трудно изучать и осмысливать, не любуясь, не радуясь, не удивляясь увиденному единству и гармонии.

Для чего нужна еще одна книга, если уже существует несколько превосходных работ в этой области. Зачем повторять и излагать понятое вновь и вновь?

Действительно, и в нашей серии "Синергетика: от прошлого к будущему" вышла книга одного из основоположников современной теории катастроф академика В. И. Арнольда. Удивительная книга, которая вдохновляет, из которой много важного и интересного может извлечь поразительно широкий круг читателей -- от школьников до профессоров. Теория катастроф излагается сейчас в курсах синергетики. Излагать студентам Московского физического института основы этой теории -- большое удовольствие. Теория катастроф блестяще, начиная с азов и кончая перспективами, прекрасно изложена в книге И. Постона и Т. Стюарта. Прекрасно написана и удивительно красиво издана эта книга. Теплое отношение к теории катастроф у многих отечественных издателей связано именно с ней.

Есть в жизни ученого прекрасный период, когда он не так давно освоил азы теории, с успехом их применил и готов рассказать другим о понятом и увиденном. Такие люди обычно "понимают, что непонятно остальным", отличный пример такой книги -- двухтомник Р. Гимора по теории катастроф.

Однако есть учебный план и те рамки, в которых должен, по мысли деканата, укладываться даже самый смелый полет фантазии. Поэтому появляются "реальные курсы лекций, которые можно прочесть студентам", например такие, как книга. Наконец, есть строгое и полное изложение теории катастроф, данное В. И. Арнольдом и его коллегами, ориентированное на математиков.

Обратим внимание, что традиция излагать классику вновь и вновь прекрасно видна на примере курсов математического анализа, которые создали Р. Курант и Л. Шварц, Н. Н. Лузин и В. И. Смирнов, Г. М. Фихтенгольц и Г. Е. Шилов, В. А. Садовничий и В. А. Ильин, С. М. Никольский и Л. С. Кудрявцев, недавно вошедшие в моду В. А. Зорич и В. Босс, а также многие-многие другие.

В чем же дело? Написание курса -- огромная работа. Для чего же за нее берутся известные, активно работающие исследователи? Причин здесь несколько.

Меняется -- и очень быстро меняется -- сама наука. Одни идеи теряют привлекательность, другие выходят на авансцену. И это неизбежно приводит к переоценке классики. Время редактирует и аранжирует даже классические произведения. Эта потребность взглянуть на предмет по-новому, начиная с основ, живет в каждом настоящем исследователе. И у некоторых находятся силы, время и вдохновение сделать это. "Когда вам будет 93--95, не пожалейте времени -- взгляните на математику свежим взглядом. Многое предстанет совершенно по-другому!" -- советовал мне на одном из юбилеев мехмата МГУ академик Сергей Михайлович Никольский, много лет читавший математический анализ в Московском физико-техническом институте.

Другая причина -- студенты. Меняется и уровень подготовки, и желания, и стремления. В конце концов лекторов слушают и читают студенты. И с этим ничего не поделаешь. Поэтому учебники приходится писать вновь и вновь. Это нормальный процесс воспроизводства знаний.

Курс лекций Ю. К. Алексеева и А. П. Сухорукова написан на основе лекций, прочитанных на физическом факультете МГУ. Это замечательный факультет прекрасного вуза. Его студенты порой справляются с задачами "сходи туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что" гораздо лучше прочих.

Курс написан ясно. В него вошла "классика" теории катастроф. Очень хороши примеры от знаменитой задачи про радугу и про динамику качалки до проблем экологии и теории виртуального катода. Отлично подобраны задачи для самостоятельного решения. Потому учиться по такой книге очень многим будет и приятно, и полезно, и интересно.

Если сравнить нынешнюю синергетику с збмком, то теория катастроф -- высокая, прекрасная башня, взойдя на которую можно увидеть открывающиеся дали, а может быть, и отыскать свой путь. Надеюсь, что многие читатели в этом убедятся.

Об авторах

Алексеев Юрий Константинович

Доцент кафедры радиофизики (ныне кафедра фотоники и физики микроволн) физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Работал на физическом факультете МГУ в 1975–2004 гг. Занимался физикой приборов сверхвысоких частот (СВЧ), таких как клистрон и др. Ю. К. Алексеев был первым, кто ввел теорию катастроф в практическое использование на физическом факультете МГУ. Будучи вдохновленным примером В. И. Арнольда, он читал по ней курс для студентов, тем самым существенно повлияв на уровень преподавания прикладной математики на факультете. Также читал ряд спецкурсов по физике. Опубликовал более 100 научных работ, сделал ряд изобретений в области СВЧ-приборов.

Сухоруков Анатолий Петрович

Доктор физико-математических наук, профессор. Заслуженный деятель науки РФ. С 1988 по 2014 гг. заведовал кафедрой фотоники и физики микроволн физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (до 2008 г. — кафедра радиофизики). Лауреат Ленинской премии (1988) и Государственной премии СССР (1984). Являлся одним из ведущих лекторов физического факультета МГУ. Внес основополагающий вклад в развитие теории волн и нелинейных взаимодействий в оптике, радиофизике и акустике. Автор более 400 научных статей и ряда книг, в числе которых две монографии.