| ОГЛАВЛЕНИЕ | 3
|
| Предисловие к первому изданию | 11
|
| ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ | 19
|
| Глава I. Начала векторной алгебры | 19
|
| § 1. Вектор | 19
|
| 1. Направленный отрезок (вектор) | 19
|
| 2. Равенство векторов | 20
|
| 3. Обозначения | 21
|
| § 2. Афинные операции над векторами | 23
|
| 4. Сложение двух векторов | 23
|
| 5. Сложение нескольких векторов | 26
|
| 6. Вектор «нуль» | 29
|
| 7. Формально-алгебраические свойства сложения векторов | 30
|
| 8. Приложения | 31
|
| 9. Вычитание векторов | 33
|
| 10. Умножение вектора на число | 35
|
| 11. Коллинеарность векторов. Деление коллинеарных векторов | 37
|
| 12. Приложения | 38
|
| Задачи к главе I | 41
|
| Глава II. Элементарные вопросы аналитической геометрии | 42
|
| § 1. Векторно-алгебраический метод решения геометрических задач | 42
|
| 13. Предварительные замечания | 42
|
| 14. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора | 43
|
| 15. Деление отрезка в данном отношении | 47
|
| 16. Приложения формулы деления отрезка в данном отношении | 49
|
| 17. Теорема Менелая | 50
|
| 18. Проективное построение четвёртой гармонической точки | 53
|
| 19. Теорема Дезарга | 54
|
| 20. Параметрическое задание прямой линии | 56
|
| § 2. Координаты вектора и точки | 59
|
| 21. Координаты вектора, принадлежащего системе коллинеарных векторов | 59
|
| 22. Координаты вектора, принадлежащего системе компланарных векторов | 59
|
| 23. Декартова и прямоугольная координатная система | 62
|
| 24. Теорема о координатах линейной комбинации | 63
|
| 25.-Координаты точки на плоскости | 65
|
| § 3. Координатный метод решения геометрических задач на плоскости | 67
|
| 26. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами. Угловой коэффициент вектора | 67
|
| 27. Координаты вектора, заданного координатами своих концов | 69
|
| 28. Условие коллинеарности трёх точек, заданных своими координатами | 69
|
| 29. Координатная форма параметрического задания прямой | 70
|
| 30. Координатное доказательство теоремы Менелая | 70
|
| 31. Решение простейших задач аналитической геометрии в прямоугольной декартовой координатной системе | 72
|
| Задачи к главе 11 | 75
|
| Глава III. Основные формулы аналитической геометрии на плоскости | 77
|
| § 1. Измерение площадей в ориентированной плоскости. Внешнее (косое) произведение векторов | 77
|
| 32, Площадь ориентированного параллелограмма | 77
|
| 33. Свойства символа a º b. Внешнее (косое) произведение двух векторов | 79
|
| 34. Площадь ориентированного треугольника | 81
|
| 35. Площадь прямолинейной фигуры, заданной последовательностью своих вершин | 83
|
| 36. Пример | 84
|
| 37. Координатные формулы для вычисления площади | 85
|
| § 2. Вычисление углов в прямоугольной декартовой (правой) координатной системе | 87
|
| 38. Угол между двумя векторами, заданными в ориентированной плоскости | 87
|
| 39. Формула для вычисления синуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе | 88
|
| 40. Формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе | 89
|
| 41. Формула для вычисления tg (а, b) | 90
|
| 42. Ещё один вывод формулы для вычисления cos (a1, a2) | 91
|
| § 3. Полярные координаты вектора и точки | 92
|
| 43. Полярные координаты вектора | 92
|
| 44. Формулы, связывающие полярные координаты вектора и его прямоугольные декартовы (правые) координаты | 92
|
| 45. Обобщённые полярные координаты вектора | 94
|
| 46. Полярные координаты точки | 95
|
| § 4. Скалярное произведение | 96
|
| 47. Определение | 96
|
| 48. Формально-алгебраические свойства скалярного произведения | 96
|
| 49. Свойства скалярного произведения, отличные от свойств произведения чисел | 97
|
| 50. Приложение скалярного произведения к задачам элементарной геометрии и тригонометрии | 98
|
| 51. Приложение скалярного произведения к задачам аналитической геометрии | 102
|
| 52. Проекция вектора | 105
|
| 53. Координаты вектора как проекции | 107
|
| § 5. Преобразование координатной системы | 107
|
| 54. Преобразование координат вектора | 107
|
| 55. Преобразование координат точки | 110
|
| 55 bis. Обратная задача | 111
|
| 56. Преобразование прямоугольных декартовых правых координат | 112
|
| § 6. Комплексные векторы и точки | 114
|
| 57. Алгебра комплексных векторов | 114
|
| 57 bis. Комплексные точки | 116
|
| Задачи к главе III | 118
|
| Глава IV. Уравнение геометрического места | 121
|
| § 1. Уравнение прямой линии | 122
|
| 58. Аналитический метод разыскания точек геометрического места | 122
|
| 59. Геометрическое место, определяемое уравнением первой степени | 124
|
| 60. Уравнение прямой линии | 125
|
| 61. Упрощения, возникающие вследствие специального выбора координатной системы | 126
|
| 62. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки | 128
|
| 63. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору | 128
|
| § 2. Окружность | 129
|
| 64. Уравнение окружности, заданной своим центром и радиусом (в прямоугольной координатной системе) | 129
|
| 65. Уравнение второй степени, определяющее окружность | 130
|
| 66. Приложение: окружность Аполлония | 132
|
| § 3. Эллипс | 134
|
| 67. Определение эллипса. Уравнение эллипса | 134
|
| 68. Исследование формы эллипса по его уравнению | 136
|
| 69. Эллипс, определяемый уравнением x2/a2+y2/b2 =1 | 140
|
| 70. Афинное построение точек эллипса | 143
|
| § 4. Гипербола | 145
|
| 71. Определение гиперболы. Уравнение гиперболы | 145
|
| 72. Исследование формы гиперболы по её уравнению | 145
|
| 73. Пересечение гиперболы с прямой, проходящей через её центр | 147
|
| 74. Асимптоты гиперболы | 149
|
| 75. Уравнения асимптот гиперболы | 151
|
| 76. Замечание | 151
|
| 77. Сопряжённые гиперболы | 152
|
| 78. Гипербола, определяемая уравнением x2/a2 – y2/b2 =1 | 154
|
| 79. Гипербола, определяемая уравнением ху = 1 | 155
|
| § 5. Парабола | 157
|
| 80. Определение параболы. Уравнение параболы | 157
|
| 81. Исследование формы параболы по её уравнению | 157
|
| 82. Парабола, определяемая уравнением у = ах2+ 2bх +с | 159
|
| § 6. Уравнения некоторых геометрических мест, заданных метрически | 162
|
| 83. Фокальное определение эллипса | 162
|
| 84. Фокальное определение гиперболы | 166
|
| 85. Определение эллипса, гиперболы и параболы с помощью фокуса и директрисы | 167
|
| 86. Замечание | 172
|
| § 7. Уравнение геометрического места в полярных координатах | 173
|
| 87. Уравнение геометрического места в необобщённых полярных координатах | 173
|
| 88. Уравнение геометрического места в обобщённой полярной координатной системе | 177
|
| § 8. Аналитический метод изучения геометрических мест на плоскости (заключительные замечания) | 179
|
| 89. Уравнение линии | 179
|
| 90. Параметрическое задание линии | 183
|
| 91. Замечание | 185
|
| Задачи к главе IV | 185
|
| Глава V. Прямая линия | 189
|
| § 1. Афинные задачи | 189
|
| 92. Уравнение прямой линии | 189
|
| 93. Взаимное расположение прямых, заданных своими уравнениями | 190
|
| 94. Специальные виды уравнения прямой | 196
|
| 95. Уравнение прямой, принадлежащей пучку («уравнение пучка») | 198
|
| 95 bis. Бесконечно удалённые точки. Обогащенная плоскость | 204
|
| 96. Отношение, в котором прямая делит отрезок | 205
|
| 97. Теорема Менелая для многоугольника | 206
|
| 98. Знак трёхчлена Ах +By+С | 207
|
| 99. Двойное отношение четырёх прямых, принадлежащих пучку | 208
|
| § 2. Метрические задачи | 210
|
| 100. Вычисление угла между двумя прямыми в ориентированной плоскости | 210
|
| 101. метрическое (векторное и координатное) уравнение прямой линии | 212
|
| 102. Формула для вычисления расстояния от точки до прямой | 214
|
| 103. Единичный вектор нормали. Нормальное уравнение прямой | 216
|
| Задачи к главе V | 218
|
| Глава VI. Кривые второго порядка | 221
|
| 104. Предварительные замечания | 221
|
| § 1. Исследование кривой, заданной уравнением Ах2 + Су2 + F=0 | 222
|
| 105. Общие соображения | 222
|
| 106. Примеры | 223
|
| 107. Случай F ≠ 0 (эллипс, гипербола, пара параллельных прямых) | 227
|
| 108. Случай F = 0 (пара пересекающихся, пара слившихся прямых) | 227
|
| § 2. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (афинная классификация кривых второго порядка) | 229
|
| 109. Индексные обозначения для коэффициентов уравнения второго порядка | 229
|
| 110. Алгебраическое преобразование квадратичного многочлена (преобразование Гаусса); случай a11 ≠ 0, Δ2 ≠ 0 | 230
|
| 111. Афинная классификация кривых второго порядка (случай Δ2 ≠ 0) | 231
|
| 112. Построение кривой, заданной общим уравнением второго порядка (случай Δ2 ≠ 0) | 233
|
| 113. Классификация и построение кривых второго порядка в случае, когда Δ2 ≠ 0 | 237
|
| 114. Распространение полученных результатов на случай а11 = 0 | 241
|
| 115. Итоги исследования | 243
|
| 116. Канонические представления квадратичной функции от двух переменных | 244
|
| § 3. Взаимное расположение кривой второго порядка и прямой линии | 246
|
| 117. Предварительные замечания | 246
|
| 118. Основное квадратное уравнение | 247
|
| 119. Случай I: старший коэффициент основного уравнения не равен нулю | 248
|
| 120. Случай II: особые (асимптотические) направления линии второго порядка | 250
|
| 121. Случай III: асимптоты линии второго порядка | 253
|
| 122. Асимптоты центральной линии второго порядка | 254
|
| 123. Асимптоты линии параболического типа | 255
|
| 124. Бесконечно удалённые точки линии второго порядка | 256
|
| § 4. Касательная к кривой второго порядка | 262
|
| 125. Направление касательной, проведённой из заданной точки | 262
|
| 126. Асимптота, как касательная в бесконечно удалённой точке | 263
|
| 127, Внешние и внутренние точки нераспадающейся кривой второго порядка | 264
|
| 128. Уравнение касательной, проведённой через заданную точку, лежащую на линии второго порядка | 266
|
| § 5. Диаметры кривой второго порядка | 268
|
| 129. Уравнение диаметра кривой второго порядка | 268
|
| 130. Уравнения диаметров, сопряжённых координатным осям | 268
|
| 131. Пучок диаметров центральной кривой | 269
|
| 132. Параллельный пучок диаметров параболы | 269
|
| 133. Диаметральная прямая, сопряжённая особому направлению | 270
|
| 134. Асимптота параболы—бесконечно удалённая прямая | 270
|
| 135. Пара направлений, взаимно сопряжённых относительно кривой второго порядка. Условия сопряжённости | 271
|
| 136. Главная пара сопряжённых направлений кривой второго порядка. Главные диаметры | 273
|
| § 6. Упрощение уравнения кривой второго порядка | 275
|
| 137. Формулы преобразования коэффициентов уравнения кривой второго порядка | 275
|
| 138. Упрощения, возникающие в результате специального выбора направления новых координатных осей | 276
|
| 139. Упрощения, возникающие в результате специального выбора начала новой координатной системы | 278
|
| 140. Упрощения, возникающие в результате специального выбора расположения новых координатных осей | 279
|
| Задачи к главе VI | 283
|
| ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ | 290
|
| Глава VII Основные понятия и формулы аналитической геометрии в пространстве | 290
|
| § 1. Задание вектора с помощью скалярных величин | 290
|
| 141. Разложение произвольного вектора по трём заданным некомпланарным векторам | 290
|
| 142. Теорема обединственности разложения вектора | 292
|
| 143. Координаты вектора в пространстве | 292
|
| 144. Теорема о координатах линейной комбинации нескольких векторов | 293
|
| 145. Координатные оси и координатные плоскости | 294
|
| 146. Декартова и прямоугольная координатная система | 295
|
| 147. Формула для вычисления длины вектора, заданного своими прямоугольными декартовыми координатами | 296
|
| 148. Координаты точки в пространстве | 296
|
| § 2. Координатный метод решения геометрических задач. Приложения к аналитической геометрии | 298
|
| 149. Условие коллинеарности двух векторов | 298
|
| 150. Условие компланарности трёх векторов | 299
|
| 151. Координаты вектора, заданного координатами своих концов. Условие коллинеарности трёх точек. Условие компланарности четырёх точек | 301
|
| 152. Координаты точки, делящей отрезок в данномотношении | 301
|
| 153. Координатная форма параметрического задания прямой | 302
|
| 154. Две метрические задачи | 302
|
| Задачи к главе VII | 303
|
| Глава VIII. Векторная алгебра в пространстве. Приложения к геометрии | 304
|
| § 1. Вычисление объёмов в ориентированном пространстве. Тройное произведение | 304
|
| 155. Репер; ориентация репера | 304
|
| 156. Объём ориентированного параллелепипеда | 306
|
| 157. Формальные свойства символа abc | 306
|
| 158. Тройное произведение | 309
|
| 159. Формула для вычисления тройного произведения векторов, заданных своими координатами | 310
|
| 160. Условие компланарности трёх векторов, заданных своими координатами | 312
|
| 161. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами | 313
|
| 162. Объём ориентированного тетраэдра | 313
|
| 163. Объём многогранника | 316
|
| § 2. Приложения тройного произведения к некоторым вопросам высшей алгебры | 318
|
| 164. Свойства определителя третьего порядка | 318
|
| 165. Решение системы трёх линейных уравнений | 320
|
| § 3. Скалярное произведение | 322
|
| 166. Определение. Формальные свойства | 322
|
| 167. Замечание | 323
|
| 168. Приложения скалярного произведения к задачам элементарной геометрии | 323
|
| 169. Приложение скалярного произведения к выводу некоторых формул аналитической геометрии | 325
|
| 170. Введение индексной системы обозначений | 328
|
| 171. Проекция вектора | 330
|
| 172. Прямоугольные декартовы координаты вектора суть его проекции на координатные оси | 332
|
| 173. Направляющие косинусы | 332
|
| 174. Полярная (сферическая) координатная система в пространстве | 334
|
| 175. Замечательное тождество | 337
|
| 176. Геометрические следствия | 338
|
| § 4. Векторное произведение двух векторов | 339
|
| 177. Определение векторного произведения. Обозначение | 339
|
| 178. Связь между векторным, скалярным и тройным произведениями | 342
|
| 179. Формулы для вычисления координат векторного произведения в прямоугольной декартовой и правой координатной системе | 344
|
| 180. Формальные свойства векторного произведения | 345
|
| 181. Сложные произведения нескольких векторов | 347
|
| 182. Приложение векторного произведения к вычислению площадей | 349
|
| 183. Вращение твёрдого тела вокруг оси. Формулы Эйлера | 349
|
| 184. Взаимные координатные системы | 351
|
| 185. Векторное деление | 357
|
| § 5. Преобразование координат | 359
|
| 186. Преобразование общих координат вектора | 359
|
| 187. Преобразование координат точки | 362
|
| 188. Обратная задача | 363
|
| 189. Преобразование прямоугольных декартовых координат | 364
|
| 190. Ортогональные матрицы | 367
|
| 191. Существенные параметры, определяющие взаимное расположение двух прямоугольных декартовых координатных систем | 368
|
| 192. Эйлеровы углы | 369
|
| 193. Формулы Эйлера | 370
|
| 194. Теорема Эйлера | 372
|
| 195. Формулы Кэли | 373
|
| Задачи к главе VIII | 374
|
| Глава IX. Геометрические места в пространстве | 378
|
| 196. Уравнение геометрического места в пространстве | 378
|
| 197. Построение геометрического места точек | 380
|
| 198. Эллипсоид | 387
|
| 199. Однополостный гиперболоид | 392
|
| 200. Двуполостный гиперболоид | 394
|
| 201. Эллиптический параболоид | 396
|
| 202. Гиперболический параболоид | 398
|
| 203. Цилиндрическая поверхность | 399
|
| 204. Уравнение плоскости | 400
|
| 205. Уравнение цилиндра, образующая которого параллельна координатной оси | 401
|
| 206. Коническая поверхность | 402
|
| 207. Поверхность вращения | 404
|
| 208. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус вращения | 405
|
| 209. Классификация поверхностей | 407
|
| 210. Векторное уравнение поверхности. Уравнение сферы | 407
|
| 211. Уравнение линии в пространстве | 408
|
| 212. Параметрическое задание линии в пространстве | 409
|
| 213. Параметрическое задание поверхности | 410
|
| Задачи к главе IX | 411
|
| Глава X. Плоскость | 412
|
| § 1. Аналитическое изучение плоскости в пространстве (афинные свойства) | 412
|
| 214. Уравнение плоскости | 412
|
| 215. Уравнение первой степени | 414
|
| 216. Исследование плоскости по её уравнению | 415
|
| 217. Взаимное расположение двух плоскостей | 417
|
| 218. Уравнение пучка плоскостей | 422
|
| 219. Взаимное расположение трёх плоскостей | 424
|
| 220. Уравнение связки плоскостей | 426
|
| 221. Бесконечно удалённые элементы в пространстве | 428
|
| 222. Взаимное расположение четырёх плоскостей | 429
|
| 223. Отношение, в котором плоскость делит отрезок. Взаимное расположение плоскости и прямой | 431
|
| 224. Знак линейного четырёхчлена | 432
|
| 225. Двойное отношение четырёх плоскостей, принадлежащих одному пучку | 432
|
| § 2. Аналитическое изучение плоскости (метрические свойства) | 433
|
| 226. Метрическое уравнение плоскости | 433
|
| 227. Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости | 435
|
| 228. Единичный вектор нормали. Нормальное уравнение плоскости | 436
|
| 229. Решение .нескольких метрических задач | 437
|
| 230. Решение метрических задач в случае, когда плоскость задана уравнениями в общей афинной координатной системе | 439
|
| Задачи к главе X | 442
|
| Глава XI. Прямая линия в пространстве | 443
|
| § 1. Аналитическое изучение прямой линии в пространстве (афинные свойства) | 443
|
| 231. Задание прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору | 443
|
| 232. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки | 446
|
| 233. Прямая, как пересечение двух плоскостей | 447
|
| 234. Взаимное расположение двух прямых | 448
|
| 235. Взаимное расположение прямой и плоскости | 450
|
| 236. Несколько афинных задач на прямую и плоскость | 451
|
| § 2. Аналитическое изучение прямой линии (метрические задачи) | 453
|
| 237. Несколько метрических задач | 453
|
| 238. Векторное уравнение прямой линии | 458
|
| 239. Решение задач в случае, когда прямая задана векторным уравнением | 459
|
| 240. Нормальное уравнение прямой | 460
|
| Задачи к главе XI | 462
|
| Глава XII. Поверхности второго порядка | 464
|
| 241. Предварительные замечания | 464
|
| § 1. Афинная классификация поверхностей второго порядка | 465
|
| 242. Исследование поверхности, заданной уравнением Ах2 + By2+ Cz2 + D = 0 | 466
|
| 243. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду | 468
|
| 244. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (окончание) | 472
|
| 245. Критерии для распознавания типа поверхности второго порядка | 473
|
| 246. Полная схема исследования уравнения поверхности второго порядка | 474
|
| § 2. Взаимное расположение поверхности второго порядка и прямой линии | 478
|
| 247. Пересечение поверхности второго порядка с прямой линией | 478
|
| 248. Квази-скалярное умножение векторов, ассоциированное с поверхностью второго порядка | 482
|
| 249. Векторное уравнение поверхности второго порядка | 484
|
| 250. Векторное решение задачи о пересечении поверхности второго порядка с прямой линией | 485
|
| 251. Уравнение конуса асимптотических направлений | 486
|
| 252. Уравнение асимптотической плоскости | 488
|
| 253. Уравнение касательного конуса. Уравнение касательной плоскости | 489
|
| 254. Взаимное расположение поверхности и её касательной плоскости. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка | 491
|
| § 3. Полярная плоскость; полярное соответствие | 497
|
| 255. Двойное отношение, в котором поверхность второго порядка делит заданный отрезок | 497
|
| 256. Полярная плоскость, соответствующая заданному полюсу | 498
|
| 257. Полярное соответствие | 499
|
| 258. Свойства полярного соответствия | 501
|
| § 4. Диаметральные плоскости | 503
|
| 259. Полярная плоскость, соответствующая бесконечно-удалённой точке | 503
|
| 260. Диаметральная плоскость | 504
|
| 261. Исследование диаметральных плоскостей. Центр. Диаметры | 506
|
| 262. Сопряжённые направления | 508
|
| 263. Некомпланарная тройка сопряжённых направлений | 509
|
| § 5. Упрощение уравнения поверхности второго порядка | 511
|
| 264. Формулы преобразования коэффициентов уравнения поверхности второго порядка | 511
|
| 265. Упрощения, возникающие в результате специального выбора направления новых координатных осей | 514
|
| 266. Новое доказательство основной теоремы | 515
|
| 267. Исследование диаметральных плоскостей поверхности второго порядка | 517
|
| 268. Упрощения, возникающие в результате специального выбора начала новой координатной системы | 519
|
| 269. Упрощения, возникающие в результате специального выбора новых координатных осей | 521
|
| § 6. Некоторые метрические задачи теории поверхностей второго порядка | 521
|
| 270. Главные направления поверхности второго порядка | 521
|
| 271. Признак, характеризующий главное направление | 522
|
| 272. Плоскость симметрии поверхности второго порядка | 523
|
| 273. Система уравнений, определяющих координаты главного направления | 524
|
| 274. Нахождение главных направлений (в прямоугольной декартовой системе координат) | 527
|
| 275. Пример | 530
|
| 276. Построение главной тройки направлений. Приведение к главным осям | 531
|
| 277. Метрическая классификация поверхностей второго порядка. Исследование возможной симметрии | 534
|
| 278. Ортогональные инварианты уравнения поверхности второго порядка | 536
|
| 279. Нахождение главных направлений поверхности второго порядка, заданной уравнением в произвольной афинной координатной системе | 538
|
| 280. Инварианты квадратичной формы относительно афинного преобразования координат | 539
|
| 281. Теорема Аполлония (приложение понятия инварианта) | 540
|
| 282. Приложение понятия инварианта: вычисление полуосей эллипсоида, заданного в произвольной афинной координатной системе | 543
|
| Задачи к главе XII | 544
|
| Глава XIII. Теория преобразований | 547
|
| § 1. Точечное преобразование пространства | 547
|
| 283. Определение. Примеры | 547
|
| 284. Аналитическое задание (векторное и координатное) точечного преобразования. Линейное однородное преобразование | 551
|
| 285. Геометрические свойства линейного преобразования | 553
|
| § 2. Афинные преобразования пространства | 558
|
| 286. Свойства афинного преобразования | 558
|
| 287. Линейная векторная функция (афиннор) | 560
|
| 288. Основная теорема | 565
|
| 289. Афинные понятия и теоремы | 566
|
| Ответы и решения задач | 568
|
Лопшиц Абрам Миронович 
