|
Оглавление
Предисловие к первому изданию
В данной книге изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд» (конечное число точечных шаров, движущихся по отрезку, лучу или по всей бесконечной прямой). Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона и рассказывается в книге. Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы. Многие из излагаемых в книге результатов являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой. Проблемы этой теории непосредственно близки к переднему краю сегодняшней математики. Поэтому книга, возможно, будет интересна не только школьникам, ио и студентам, и специалистам — математикам, механикам, физикам. В ней сформулировано немало вопросов, остающихся открытыми, и мы надеемся, что кому-нибудь из читателей книги удастся продвинуться в их исследовании. Учитывая элементарность методов (при неэлементарности результатов) и плодотворность свежего взгляда иа рассматриваемые вопросы и проблемы, мы особенно рассчитываем на читателей-старшеклассников. Многие из решаемых в книге задач разбирались на занятиях кружков в физико-математической школе-интернате при МГУ, в летнем лагере Малой академии наук Крыма «Искатель». Часть материала публиковалась в журнале «Квант» (см. список литературы в конце книги). Некоторые идеи и результаты, приводимые в книге, неоднократно обсуждались с участниками семинара МГУ по теории динамических систем и с его руководителем Я. Г. Синаем. Этот семинар является одним из наиболее известных мировых центров по теории динамических систем и, в частности, по теории бильярдов; часть приводимых нами результатов принадлежит его участникам. Многолетнее участие авторов в работе этого семинара в значительной мере способствовало написанию этой книги. Читателю не следует рассчитывать на легкое чтение — через некоторые параграфы, наверное, придется буквально продираться, вооружившись карандашом и бумагой, иногда — ножницами и клеем, а может быть, микрокалькулятором или компьютером. Книгу не обязательно читать подряд — напротив, проскочив (как бильярдный шар) через параграф или главу, читатель может найти интересующий его (и доступный ему) материал — потом можно и возвратиться. В книге много отступлений от чисто бильярдной тематики, вызванных тем, что бильярды имеют отношение к большому числу интересных и, иа наш взгляд, красивых задач, и поэтому мы надеемся, что читатель сможет разнообразить свои впечатления, узнать что-то новое и даже не совсем обычное. Но стоит сразу предупредить любителей игры в бильярд — в нашей книге нет не только соответствующих полезных советов, но даже и правил этой древней игры. Эта книга — по математике, а любителям обычного бильярда мы можем порекомендовать публикации журнала «Наука и жизнь» (см. [1] в списке литературы) н книгу Г. Г. Кориолиса «Математическая теория явлений бильярдной игры» (М.: Гостехиздат, 1956), а также посетить возродившиеся чемпионаты страны по бильярду. Как известно, «нестрого» не означает «неверно», равно как и «строго» не означает «уместно» или «интересно» (это высказываение принадлежит современному американскому физику Дж. Лебови-цу — одному из ведущих специалистов по статистической механике). Поэтому в большинстве важных математических вопросов (при изложении методов) мы старались придерживаться полной (насколько это возможно при принятом элементарном подходе) строгости, однако в ряде вопросов более общего (физического) характера (когда касались общих принципов или идей) ограничились интуитивным уровнем описания. Это следует иметь в виду и читателю-ригористу, и читателю-«физику», привыкшему больше доверять своей интуиции. Представление о структуре книги можно получить не только из оглавления — в конце Введения, в котором сформулирована основная часть рассматриваемых далее вопросов и проблем, коротко рассказано и о последовательности изложения. Читатель, заинтересовавшийся дальнейшими деталями «математики бильярдов» или другими подходами к излагаемым вопросам, может обратиться к списку литературы в конце книги. Мы благодарны Я. Г. Синаю, внимательно прочитавшему всю рукопись и сделавшему много замечаний и предложений по улучшению ее текста, а также Л. А. Бунимовичу, Я. Б. Песину, А. М. Степину и Ю. П. Соловьеву, своими замечаниями способствовавшими улучшению отдельных мест книги.
1990 г.
Об авторах
 Гальперин Григорий Александрович Кандидат физико-математических наук, профессор математики Университета Восточного Иллинойса (США; с 2003 г.). Специалист в области теории динамических систем и теории информации, создатель способа получения значения числа π с помощью опытов с бильярдными шарами — «пи-бильярда». Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова и его аспирантуру (научный руководитель А. Н. Колмогоров). В 1978 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «Асимптотическое поведение некоторых многокомпонентных динамических систем с локальным взаимодействием». Вместе с академиком Я. Г. Синаем работал над математической теорией бильярда. В 1980-е гг. — старший преподаватель, доцент физико-математического факультета Московского государственного заочного педагогического института (МГЗПИ). С 1992 г. — член Фонда Александра фон Гумбольдта (Германия). В 1992–1993 гг. — приглашенный профессор Северо-Западного университета (г. Эванстон, Иллинойс, США). В начале 2000-х гг. работал в Билефельдском университете (Германия).
Г. А. Гальперин был организатором и координатором московских, всесоюзных и американских математических олимпиад. С 1999 г. по настоящее время — член жюри Американской математической олимпиады (USAMO), составитель задач. В 2003 г. — руководитель команды США на Международной математической олимпиаде в Токио. Награжден премией имени Карла Аллендорфера Математической ассоциации Америки (2004), премией им. Т. Шапиро Университета штата Пенсильвания (2011), премией за выдающиеся заслуги перед Иллинойской секцией Математической ассоциации Америки (2014), премией Фонда Александра фон Гумбольдта (2015).  Земляков Александр Николаевич Советский и российский математик-педагог, автор учебно-педагогической литературы. Кандидат педагогических наук. В 1967 г. окончил физико-математическую школу-интернат № 18 при МГУ с золотой медалью и поступил на механико-математический факультет МГУ. Будучи еще студентом, начал работать в школе-интернате № 18, проработав там в общей сложности 15 лет. С 1975 г. работал в Институте общего среднего образования РАО, ведущим научным сотрудником которого оставался до конца жизни, параллельно продолжая преподавать в экспериментальной школе в Черноголовке. В 1983 г. защитил диссертацию по методике преподавания математики.
Научные интересы А. Н. Землякова лежали в области эргодической теории. Он был одним из учеников Я. Г. Синая, ставшего впоследствии академиком РАН. А. Н. Земляков создавал собственные курсы алгебры, анализа, геометрии, математики для летней школы «Как решать конкурсные задачи» и оригинальные учебные пособия к ним. Он опубликовал в общей сложности около 200 научно-педагогических работ, среди которых книги по геометрии, ставшие настольными для учителей по всей стране и выдержавшие несколько переизданий. Его многочисленные спецкурсы неизменно собирали полные аудитории, и для многих учеников А. Н. Земляков на всю жизнь остался любимым учителем. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||